2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册课件：第6章 6.1 幂函数

第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
学习目标 1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，
核心素养
1
y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性 质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大
通过学习本节内容， 提升学生的数学抽象 和逻辑推理的数学核 心素养．
[跟进训练]
1．下列函数是幂函数的有
．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝ ；④y＝x2＋1；⑤y＝－1x；⑥y＝x23． ③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过
＝
．
2，
2
2
1 10
[由题知2α＝ 22＝2－12，∴α＝－12．
∴f(x)＝x－12，
1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性； (2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究 其它象限的图象． 2．幂函数在第一象限的图象与性质 (1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函 数．
3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 (1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数 由大变小； (2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数 由大变小．
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ． ∵( 2)α＝2，(－2)β＝－21， ∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1．分别作出它们的图象，如图所示．由图 象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
[跟进训练]
3.比较下列各组中两个数的大小：
(1)3－52，3.1－52；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
2
2
(3)(－0.88)3，0.893.
[解] (1)因为函数 y＝x－52在(0，＋∞)内是减函数，所以 3－52＞3.1－52.
(2)函数 y＝x1.5 在(0，＋∞)内是增函数，又 a＞0，a＋1＞a，
[解] (1)因为函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3．1，所以3－52>3．1－52．
(2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35
2
<0，所以4.15
>3.8－23>(－1.9)－35．
课时 分层 作业
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[(1)令a＝2，b＝
1 2
，c＝－
1 3
，d＝－1，正好和题目
所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指
数增大，所以a>b>c>d．故选B．
1
(2)y＝x 2 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升
1
1
的，函数y＝x 2 －1的图象可看作由y＝x 2 的图象向下平移一个单位得
1．幂函数的概念 一般地，我们把形如 量，α是 常数 ．
y＝xα
的函数称为幂函数，其中x是自变
2．幂函数的图象和性质
3．在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1
x2，y＝x－1的图象如源自文库所示：
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象不经过第四象限． (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点． (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．
．
3 [由题意得m2n＝－14，＝0， 所以mn＝＝21，， m＋n＝3．]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)
＝
．
－8 [8＝2α，所以α＝3， 所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8．]
合作 探究 释疑 难
幂函数的概念
1
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x m2－1 ＋2n－3是幂函数，求m，n 的值．
[解] (1)∵y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且31>14， ∴1312>1412． (2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35， ∴－23－1>－53－1．
(3)0.25－14＝14－14＝212，
1
1
6.254＝2.52．
1
∵y＝x2是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5，
增函数．
③利用偶函数的图象关于y轴对称，得到第二象限的图象．(图
略)
2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？
[提示] ①先求定义域，判定函数的奇偶性； ②再看α，按α<0，α>0来分类确定在第一象限的图象的形状； ③结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．
3．作出y＝x －13 的图象(草图)，并说明若x －13 >y －13 时，x，y与0的大 小关系有多少种？
[跟进训练]
1
5．已知x2>x3，则x的取值范围是
．
1
(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y＝x2和y＝x 3 的图象(如图所
示)，易得x<0或x>1．]
课堂 小结 提素 养
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，只有一项，系 数为1．
2．简单幂函数的图象与性质的探究策略 (1)先求幂函数的定义域，若对称，判定其奇偶性(一定具有奇偶 性)．
1
到的(如选项A中的图所示)，将y＝x 2 －1的图象关于x轴对称后即为选
项B．]
幂函数的图象与性质的综合应用
[探究问题]
2
1．幂函数y＝x3的图象应该怎么作？
[提示]
①因为0<
2 3
<1，故幂函数y＝x
2 3
＝
3
x2
的定义域为R，且
为偶函数，
2
②函数y＝x 3 在第一象限的图象恒过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是
(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质 ①α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)上是增 函数． ②α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． (3)结合幂函数的奇偶性，得到第三或第二象限的图象与性质， 幂函数的图象一定不经过第四象限．
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
[跟进训练] 4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中 的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( ) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
1
(2)函数y＝x2－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A
B
C
D
(1)B
(2)B
A．y＝x－3
B．y＝－x3
C．y＝2x3
D．y＝x3－1．
A [幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是 幂函数．]
2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2， 2)，则f(4)的值是
．
2
[将点(2，
2 )代入幂函数可得f(2)＝2α＝
2
，解得α＝
1 2
，即
1
1
幂函数为f(x)＝x2，可得f(4)＝42＝2．]
小．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格 x 与需求量 y 之间近似地满足关系 式 y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
3．下列幂函数中，过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是
序号)
1
(1)y＝x2；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3．
．(填
(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函 数，只有(2)符合题意．]
4．比较下列各组数的大小： (1)3－52与3.1－52； (2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35．
[思路点拨] 据题中条件 → 列出不等式组 → 求出m → 利用幂函数的单调性 → 对底数分类讨论 → 得a
[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m－9<0，解得m<3． 又m∈N*，∴m＝1,2． 又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1． ∴有(a＋1)－13 <(3－2a) －13． ∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
[提示] y＝x －13 在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草 图如下，
从图象可以看出，若x－13>y－13，则有以下情况： ①0<x<y；②x<y<0；③x>0>y．
【例4】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且 在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－m3 <(3－2a) －m3 的a的取值范 围．
() () ()
[提示] (1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当 x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．
(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．
1
(3)y＝x2，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝
∴f(100)＝100－12＝ 1100＝110．]
，则f(100)
比较大小
【例2】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)1312与1412；(2)－23－1与－35－1； (3)0.25－14与6.2514；(4)1.20.6与0.30.4；
2
5
(5)(－3)3与(－2)3．
[思路点拨] 可以借助幂函数y＝x2的单调性或化为同指数或借 助于中间量进行比较．
[思路点拨] 由幂函数的定义列式求解．
[解]
m2＋2m－2＝1，
由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝23，
∴m＝－3，n＝23为所求．
1．幂函数y＝xα满足的三个特征 (1)幂xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项． 2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝ xα，根据条件求出α．
所以(a＋1)1.5＞a1.5.
2
(3)函数 y＝x3为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，
2
2
2
所以(－0.88)3＝ 0.883<0.893.
【例3】 点( 2，2)与点－2，12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
∴212<2．512，即0．25－14<6．2514．
(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而
0.30.4<1.20.6.
2
2
5
5
(5)由幂函数的奇偶性，(－3)3＝33>0，(－2)3＝－23<0，
2
5
所以(－3) 3>(－2) 3.
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数 不在同一单调区间，则用奇偶性； (2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否 可以引入中间量．
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得
2 3
<a<32或a<－1．
所以a的取值范围为(－∞，－1)∪23，23．
1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步： 第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单 调性求出m的值或范围； 第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值 范围．