浅谈如何实践线性代数的实例教学模式
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Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式系数应为整数， 故取 k=6 ， 即 x1=2,x2=3,x3=1,x4=6 。配平的化学方程式 为 2Na3PO4+3Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+6NaNO3 通过以上两个实例说明，在现实生活中有无穷多解的线性方程组 是如何自然产生的。 除此之外， 通过求解线性方程组还能解决道路交通 电路网络等诸多实际问题。 在教学过程中针对不同专业学生的不 流量、 同需求， 我们可以选取相应的实例， 帮助学生更好地理解掌握线性方程 组的理论知识， 并培养学生解决实际问题的能力。 例 3. （捕食者—食饵模型） 在古老的冷杉林中， 猫头鹰主要以老鼠 pk 为食。用 xk= 表示在时间 k （k 的单位是月 ） 猫头鹰和老鼠的数量， pk qk 的单位是只， qk 的单位是千只。若没有老鼠为食物， 每月仅有 40%的猫 头鹰存活下来， 如果有足够多的老鼠， 猫头鹰增长的数量为 0.39k。若没 由猫头鹰捕食所引 有猫头鹰捕食老鼠， 那么老鼠的数量每月增长 20%， 起老鼠的死亡数量为 - r · pk 。 (1)当 r=0.325， 预测该系统的发展趋势。 (2)当 r=0.5， 预测该系统的发展趋势。 (3)r 取何值时， 两者数量保持稳定。 解： 由已知可得 pk+1=0.4pk +0.3qk， qk+1=(- r)pk +1.2qk。 pk+1 0.4 0.3 pk 0.4 0.3 即 q = ， 记 A= 。A 的特征方程为 - r 1.2 qk - r 1.2 k+1 2 0.4-λ 0.3 f(λ)= =λ -1.6λ+0.48+0.3r -r 1.2-λ
ξ
— ξ
→
ξ
(1)当 r=0.325 时， f(λ)=λ -1.6λ+0.5775=0， 求得矩阵 A 的特征值为 λ1=1.05,λ2=0.55， 对应的特征向量分别为 v1=(6,13)T， v2=(2,1)T。显然{v1,v2} 2 是 R 的基， 故初始向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v（ ） 。因为 v1,v2 2 c1,c2 为常数 是 A 的特征向量， 故 Av1=1.05v1， Av2=0.55v2。由此容易算出每个 xk， x1=Ax0=c1Av1+c2Av2=c1(1.05)v1+c2(0.55)v2， x2=Ax1=c1(1.05)Av1+c2(0.55)Av2=c1(1.05)2v1=c2(0.55)2v2。 依次下去， 有 xk=c1(1.05)kv1+c2(0.55)kv2。当 k→∞ 时， (0.55)k 很快趋于 零。假设 c1酆0， 那么对足够大的 k， xk≈c1(1.05)k(6,13)T。k 越大近似程度 越好， 故 对 足 够 大 的 k， xk+1 ≈c1 (1.05)k+1 (6,13)T= (1.05)c1 (1.05)k (6,13)T ≈ 1.05xk， 该近似式表明 xk 的两个分量每月以大约 1.05 倍增长， 即猫头鹰 和老鼠的月增长率为 5%， 且 xk 近似于(6,13)T 的倍数， 故 xk 的两个分量 之比近似于 6:13， 即对应每 6 只猫头鹰， 大致有 13000 只老鼠。 (2)当 r=0.5 时， f(λ)=λ2- 1.6λ+0.63=0， 求得矩阵 A 的特征值为 λ1=0.9, λ2=0.7， 对应的特征向量分别为 v1=(3,5)T， v2=(1,1)T。 初始向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v2， 那么对 k≥0， xk=c1(0.9)kv1+c2(0.7)kv2。当 k→∞ 时， (0.9)k→0， (0.7)k →0。对足够大的 k， xk→0， 即两个种群最终都会灭亡。 (3)若 A 有一个特征值等于 1， 另一个特征值 λ2 刍1 时， 两者数量 保持稳定。 A 有一个特征值等于 1， 即 λ1=1 代入特征方程 f(λ)使其为零， 求得 r=0.4， 从而 λ2=0.6。 对应的特征向量分别为 v1=(1,2)T， v2=(3,2)T。 初始 向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v2，那么对 k≥0， xk=c1v1+c2 (0.6)kv2。当 k→∞ 时， (0.6)k→0， xk≈c1v1。k 越大近似程度越好， 故对足够大的 k， xk+1=Axk≈ c1Av1=c1v1≈xk。 系统处于状态 xk， 到下一次测量系统没有发生变化。 故此 （下转第 107 页 ） 时两者数量保持稳定， 两者数量的比率近似于
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高校理科研究
浅谈如何实践线性代数的实例教学模式
西安工业大学数理系 李 蕊
［摘 要］ 线性代数是一门较抽象的大学数学基础课。在该课程的教学实践中， 通过实例提炼相关概念， 并应用理论解决实际问题， 不仅可以激发学生学习的兴趣， 更能培养学生的应用能力和创造能力。本文通过三个实例说明如何在线性代数教学中实现该课程 理论性与实用性的统一。 ［关键词］ 线性代数 实用性 实例 数学建模 线性代数是高等院校针对理工及经管专业学生开设的一门数学基 础课。该课程具有较强的逻辑性、 抽象性和广泛的实用性， 对培养学生 严密的逻辑思维能力有着重要的作用。学生在后续专业课的学习中以 及走上工作岗位后， 将不断用到该课程的内容。瑞典数学家 Lars Gard《数学概观》 中提出 “如果不熟悉线性代数的概念， 如线性 ing 在其著作 性质、 向量、 线性空间、 矩阵等， 要去学习自然科学， 现在看来就和文盲 差不多， 甚至学习社会科学也是如此” 。如此重要的一门数学基础课， 学生在学习过程中却往往存在如下问题： 1. 线性代数课程中许多概念 比较抽象， 现行教材大多没有给出具体的实例背景， 学生觉得难于理解 往往忽 接受。2.传统教学中多侧重该课程理论知识体系的建立和陈述， 视了线性代数的实用性。学生不知道为什么学、 学了有什么用， 从而失 去了学习的兴趣。3.学生学习该课程除了准备期末考试和研究生入学 考试外， 体会不到其重要性和实用性所在， 从而不善于运用所学线性代 如此一来， 学生就成了应试教育的必然产物—— — 数知识解决实际问题。 考试型人才。 存在上述问题归根结底是因为教师没有充分引导学生如何将理论 与实际联系， 学生无法体会到学以致用的乐趣。 学有所用是激发学生学 好这一课程的关键。知道理论， 却不知该如何应用， 面对这样的状况学 培养学生的应用能力 生会对这门课程产生距离感， 乃至丧失学习兴趣。 和创造能力， 成了目前数学教育改革的热点问题。线性代数在工程学、 计算机科学、 物理学、 生物学、 经济学和统计学等学科均有广泛的应用。 在线性代数课程的教学实践中， 若引用相关的实例， 展现如何从中提炼 出数学概念， 建立相关数学理论， 如何用这些理论去解决实际问题， 体 下 现出用数学方法处理实际问题的优势， 必然会激发学生学习的兴趣。 面通过经济学、化学及生态学中的三个实例说明如何培养学生建立数 学模型 ， 并应用相关的线性代数知识解决这些实际问题。 例 1. （经济学中的应用） 假设一个经济体系由五金化工 、 石油能源 和机械三个部门构成。化工部门销售 30%的产出给石油部门和 50%的 产出给机械部门， 保留余下的产出。 石油部门销售 80%的产出给化工部 门和 10%的产出给机械部门， 保留余下的产出。 机械部门销售 40%的产 出给化工部门和 40%的产出给石油部门并保留余下的产出。求出该经 济体系的一组平衡价格使得每个部门的收支平衡。 解： 经济体系交易表 部门的产出分配 采购部门 化工 石油 机械 化工 0.2 0.3 0.5 石油 0.8 0.1 0.1 机械 0.4 0.4 0.2 解： 设 (x1)Na3PO4+(x2)Ba(NO3)2→(x3)Ba（ 3 PO4)2+(x4)NaNO3 为配平该方程式， 要使方程式左边钠、 磷、 氧、 钡、 氮原子的总数等 于右边相应原子的总数， → → → → → → → → → → → 0 → 3 → → 0 → 0 → → 1 → 3 → → 0 → -1 → → → → → → → → 0 → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → 1 → → 0 → 2 → → 0 → 1 → → 0 → -2 → → → → → → → → → 0 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →， → → → → x1 → +x =x +x 即 x +x +x +x = 0 →。 4 6 8 3 4 6 8 3 1→ 2→ 3→ 4→ 2 3 4 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → → 0 → 0 → → 1 → → 3 → → 0 → 0 → → 1 → → -3 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → → 2 → 0 → → 1 → 0 → → 2 → 0 → -1 → → → → → → → → 0 → → → → → → → 该齐次线性方程组的系数矩阵为 → → 1 0 -2 0 → 3 0 0 -1 → → → → → → → → 0 1 -3 0 → 1 0 -2 0 → → → → → → → → 初等行变换 → 0 0 6 -1 → 4 6 -8 -3 → A= → → → → → ξξξ→ → → → → 0 0 0 0 0 1 3 0 → → → → → → → 0 0 0 0 → 0 2 0 -1 → → → → 该方程组的通解为 ξ=k 1 , 1 , 1 ,1 k 为任意常数。化学方程 ξ →， 3 2 6
ξ→
ξ →ξ
→ ξ→
2
ξ
→
该表的每一列表示每个部门产出的去向，每一行表示每个部门从 哪些部门获得了投入。 为使每个部门收支平衡， 每个部门的总收入要等 于其总支出。 设 x,y,z 分别为化工、 石油、 机械部门年度总产出的价格 （即 货币价值 ） 。化工部门采购 20%的化工产出， 80%的石油产出和 40%的 机械产出， 因此化工部门的总支出是 0.2x+0.8y+0.4z ， 化工部门的总收 入 x 等于其总支出， 即 x=0.2x+0.8y+0.4z 。石油部门的收支平衡条件是 y=0.3x+0.1y+0.4z 。 机械部门的收支平衡条件是 z=0.5x+0.1y+0.2z 。 故可 - 0.8x+0.8y+0.4z=0 得收支平衡方程组 0.3x- 0.9y+0.4z=0 0.5x+0.1y- 0.8z=0 该齐次线性方程组的系数矩阵为 - 0.8 0.8 0.4 1 0 - 1.42 A= 0.3 - 0.9 0.4 初等行变换 0 1 - 0.92 （数值精确到小数点后 ξξξ→ 0.5 0.1 - 0.8 0 0 0 两位 ） 该经济问题的平衡价格向量为 ξ=k(1.42,0.92,1)T（k 为任意非负常 数 ） 。如， k=1000000 ， 即化工的产出价格是 142 万， 石油的产出价格是 92 万， 机械的产出价格是 100 万， 那么每个部门的收支平衡。 例 2. （化学方程式的配平 ） 磷酸钠和硝酸钡溶液混合时产生磷酸钡 沉淀和硝酸钠， 配平化学方程式 Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3 。
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高校理科研究
大学化学教学改革的初步探索与研究
徐州空军学院航空油料物资系 吴 楠 王玉梅 吴 超
［摘 要］ 本文从如何将人文精神渗透化学教学过程， 如何培养学生的创新素质， 如何将教学与前沿科学相衔接三个方面， 初步探讨 了大学化学教学改革的措施。 ［关键词］ 人文精神 创新素质 大学化学 21 世纪， 现代社会已经进入知识经济的时代， 知识信息量剧增。要 适应新形势的发展， 培养出满足新时代要求的高素质人才， 教育方式必 然要从应试型向素质型转变， 人才观念也要从单一专业型向复合型、 创 新型转变。作为高校教育中一门文理兼容，理论与实践并重的基础课 程，大学化学的教学为高校教育工作者提供了更广阔的空间和展示的 舞台。 但是大学化学教学常常会遭遇教学内容多、 授课时间少， 重视理论 轻视实验操作的尴尬。如何在有限的授课时间内， 不仅使学生学 讲授、 到丰富的知识， 更使他们的能力得到全面提升， 保持大学化学旺盛的生 命力是我们教育工作者迫切要解决的问题。 一、 将人文精神渗透化学教学过程 有人说， 化学属于自然科学范畴， 其研究的是物质的组成、 结构、 性 “无生命运动” 。 事实上 “化学” 的外 质及其变化规律， 是物质之间的一种 延被我们懒惰的思考方式缩小了， 化学教学与素质教育息息相关。 人类知识是统一的整体， 文理之间、 学科之间都存在一定的关联[1]。 随着当今理工科的高度发展，与各学科之间特别是与人文科学之间的 相互渗透、 交叉和融合越来越显著。 越来越多的人们认识到现代社会需 要的是兼有科学和人文双重品质的人才。 而大学生正处于世界观、 人生 观、 价值观成型的时期,广泛接受人文精神的教育对于正确树立 “三观” ， 理性思考人生价值， 提高自身的文化道德修养有很重要的帮助。 例如谈到化学热力学中的能量守恒原理 （即孤立系统中， 能量不会 消失， 只是从一种形式转化为另一种形式） ， 教师可以结合这条定律引 导学生联想人生旅途中其实也有能量守恒定律。 短短人生数十载， 不如 不用怨天尤人， 也不用一直扼腕 意之处总有十之二三。当遇到挫折时， 因为人生的能量是守恒的。 上天在关上一扇门的同时一定会打开 叹息。 从生活中得到的启示， 学生容易理解， 也容易接受， 同时也拉 另一扇窗。 近了学生与教师的距离。 正所谓 “亲其师信其道” ， 学生只有接受教师才 会接受上他的课， 只有信任教师才会信任他所教的知识。 又比如自然界 在讲 中的化学反应常利用公式△G＝△H－T△S 来判断反应的自发性， 授时可以将其与学生自身的学习动力作类比，把△G 定义为人类行为 △H 定义为社会需求， △S 定义为个人需求，由此可见， 只 的自发依据， 有当个人的需求越大时， 人类行为的自发性才越强。 正所谓 “不愤不启， 不悱不发” 。 化学可以给人知识、 给人智慧、 给人启迪、 给人思想。 将化学知识浓 缩提炼， 融知识、 趣味、 哲理、 素质教育于课堂教学之中， 则课堂教学活 矣！如催化剂与人生信念， 碳的成键特点对人生的启迪， 化学平衡与心 理平衡等。 二、 创新素质的培养 目前世界科学技术突飞猛进， 知识经济已初现端倪。 传统教育正面 知识经 临着严峻的挑战， 同时也为高等教育的发展提供了广阔的空间。 济的核心是创新， 包括知识创新和技术创新， 而知识创新和技术创新的 基础是教育[2]。 知识经济要求教育必须是能造就具有创新素质人才的创 培养青年学生的创新素质关键是培养他们的创新能力。 包括创 新教育。 新思维能力和动手实践能力。 （上接第 106 页 ） 1:2， 即对应每只猫头鹰， 大致有 2000 只老鼠。 该问题利用特征值和特征向量的理论，讨论了离散动力系统的离 散演变过程。 除此之外， 特征值还被用来研究微分方程和连续动力系统 等问题。 从教学效果看， 这些实际问题的提出， 引起了学生浓厚的兴趣， 使 他们看到了实际问题是如何和数学概念、 理论联系起来的， 看到了实际 问题的数学表述的简洁，从而对数学的基本概念形成和应用有一定的 了解， 培养学生的创新意识和应用能力。 很多实际问题的解决往往需要 数学建模和大量的计算， 这种计算如果单靠手工完成， 效率太低。随着 计算机软硬件技术的快速发展，应注意让学生掌握相关的数学软件知 识 （如 Maple 和 Matlab ） 。北京交通大学王亮主编的 《基于 Matlab 的线性 培养创新思维， 要使学生具有良好的学习心态、 强烈的求知欲和强 烈的好奇心， 这是一切创新的基础。 古希腊教育家亚里斯多德讲过一段 “思维自惊奇和疑问开始” 。在人类认识史上， 正是个别人对事物 名言： 或某种现象产生了惊奇感、 好奇感， 从而导致重大的发明创造的产生。 例如： 在学习了烷烃、 烯烃、 炔烃和环烷烃四章内容之后， 可以让学 生根据各类有机物的化学特性鉴别： 环丙烷、 丙烯、 丙炔和 1,3- 戊二烯 这五种有机物。 该鉴别题虽看似简单， 却综合了四章当中比较重要的内 这样 容， 而且， 鉴别过程中所用试剂的顺序并不是固定的， 即一题多解。 的质疑和解疑， 学生将避免解决问题途径的单一性， 而是多角度 、 多方 法去解决问题。即从惯常的思维方式上升到创造性思维方式。 实践是将创意付之实现的精心设计， 是创意与创新的桥梁。 化学是 一门以实验为基础的学科，实验教学可以加强学生动手实践能力的培 养。 化学实验教学是化学教学的重要组成部分，是培养学生把书本知 识运用于实际， 提高学生动手能力和创新能力的重要途径， 是实施素质 教育不可缺少的重要环节， 而现在的实验教学大多为注入式教学， 实验 怎样通过实验课的教学调动学生 大多为验证型， 这样做学生比较被动。 的积极性， 变被动为主动， 培养学生的独立能力和创新能力？ 三、 教学与前沿科学相衔接 在课堂教学中， 适时地增加介绍与大学化学相关的科学前沿领域、 重大发现等，使学生能自觉地将经典的内容与当今化学发展的前沿领 域联系起来， 逐步领悟到 21 世纪的今天是一个知识爆炸的时代， 新知 识、 新规律、 新概念、 新兴边缘学科不断涌现以及不同学科间综合交叉 介 不断发展和深化使得科学技术飞速发展[3]。例如在讲化学热力学中， 随着科技的进步和生产力的发展， 绍现代新能源的开发与有效的应用。 人类目前的能源仍然以煤、 天然气和石油为 能源问题显得越来越重要。 主要燃料， 而这些燃料在地球上的储量是很有限的。因此， 探索新能源 是人类目前面临的一项急切任务。 目前主要开发的新能源有核能、 太阳 地热能和潮汐能等。在讲配位化合物时， 适当介绍配合物的研究与 能、 目前研究热门的有医用配合物、 导电配合物、 分子电子器件、 超分 应用。 子化学等等。在物质结构中简要的介绍现代光谱仪器。在元素部分中， 相应的介绍最新合成研究进展。这些都使得学生开阔视野、 激发兴趣。 教学艺术丰富多彩， 千变万化， 对教学艺术的追求永无止境， 只有 更好， 没有最好， 不断创新、 追求完美是一个教师常教常新、 永葆教学艺 术青春的源泉。 参考文献 ［1］ 王星敏， 傅敏. 人文精神在 “大学化学” 教学中的实践. 高等理科 教育， 2005， 4， 121- 123. ［2］ 刘晓宇， 明霞， 王洪来.浅论大学化学教学中的创新教育.教学研 究与改革， 2004， 5， 66- 67. ［3］ 乐善堂， 汤又文.基础化学课教学改革探索.湖北师范学院学报， 2002， 22 （4 ） ， 94- 96.
式系数应为整数， 故取 k=6 ， 即 x1=2,x2=3,x3=1,x4=6 。配平的化学方程式 为 2Na3PO4+3Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+6NaNO3 通过以上两个实例说明，在现实生活中有无穷多解的线性方程组 是如何自然产生的。 除此之外， 通过求解线性方程组还能解决道路交通 电路网络等诸多实际问题。 在教学过程中针对不同专业学生的不 流量、 同需求， 我们可以选取相应的实例， 帮助学生更好地理解掌握线性方程 组的理论知识， 并培养学生解决实际问题的能力。 例 3. （捕食者—食饵模型） 在古老的冷杉林中， 猫头鹰主要以老鼠 pk 为食。用 xk= 表示在时间 k （k 的单位是月 ） 猫头鹰和老鼠的数量， pk qk 的单位是只， qk 的单位是千只。若没有老鼠为食物， 每月仅有 40%的猫 头鹰存活下来， 如果有足够多的老鼠， 猫头鹰增长的数量为 0.39k。若没 由猫头鹰捕食所引 有猫头鹰捕食老鼠， 那么老鼠的数量每月增长 20%， 起老鼠的死亡数量为 - r · pk 。 (1)当 r=0.325， 预测该系统的发展趋势。 (2)当 r=0.5， 预测该系统的发展趋势。 (3)r 取何值时， 两者数量保持稳定。 解： 由已知可得 pk+1=0.4pk +0.3qk， qk+1=(- r)pk +1.2qk。 pk+1 0.4 0.3 pk 0.4 0.3 即 q = ， 记 A= 。A 的特征方程为 - r 1.2 qk - r 1.2 k+1 2 0.4-λ 0.3 f(λ)= =λ -1.6λ+0.48+0.3r -r 1.2-λ
ξ
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(1)当 r=0.325 时， f(λ)=λ -1.6λ+0.5775=0， 求得矩阵 A 的特征值为 λ1=1.05,λ2=0.55， 对应的特征向量分别为 v1=(6,13)T， v2=(2,1)T。显然{v1,v2} 2 是 R 的基， 故初始向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v（ ） 。因为 v1,v2 2 c1,c2 为常数 是 A 的特征向量， 故 Av1=1.05v1， Av2=0.55v2。由此容易算出每个 xk， x1=Ax0=c1Av1+c2Av2=c1(1.05)v1+c2(0.55)v2， x2=Ax1=c1(1.05)Av1+c2(0.55)Av2=c1(1.05)2v1=c2(0.55)2v2。 依次下去， 有 xk=c1(1.05)kv1+c2(0.55)kv2。当 k→∞ 时， (0.55)k 很快趋于 零。假设 c1酆0， 那么对足够大的 k， xk≈c1(1.05)k(6,13)T。k 越大近似程度 越好， 故 对 足 够 大 的 k， xk+1 ≈c1 (1.05)k+1 (6,13)T= (1.05)c1 (1.05)k (6,13)T ≈ 1.05xk， 该近似式表明 xk 的两个分量每月以大约 1.05 倍增长， 即猫头鹰 和老鼠的月增长率为 5%， 且 xk 近似于(6,13)T 的倍数， 故 xk 的两个分量 之比近似于 6:13， 即对应每 6 只猫头鹰， 大致有 13000 只老鼠。 (2)当 r=0.5 时， f(λ)=λ2- 1.6λ+0.63=0， 求得矩阵 A 的特征值为 λ1=0.9, λ2=0.7， 对应的特征向量分别为 v1=(3,5)T， v2=(1,1)T。 初始向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v2， 那么对 k≥0， xk=c1(0.9)kv1+c2(0.7)kv2。当 k→∞ 时， (0.9)k→0， (0.7)k →0。对足够大的 k， xk→0， 即两个种群最终都会灭亡。 (3)若 A 有一个特征值等于 1， 另一个特征值 λ2 刍1 时， 两者数量 保持稳定。 A 有一个特征值等于 1， 即 λ1=1 代入特征方程 f(λ)使其为零， 求得 r=0.4， 从而 λ2=0.6。 对应的特征向量分别为 v1=(1,2)T， v2=(3,2)T。 初始 向量 x0 可表示为 x0=c1v1+c2v2，那么对 k≥0， xk=c1v1+c2 (0.6)kv2。当 k→∞ 时， (0.6)k→0， xk≈c1v1。k 越大近似程度越好， 故对足够大的 k， xk+1=Axk≈ c1Av1=c1v1≈xk。 系统处于状态 xk， 到下一次测量系统没有发生变化。 故此 （下转第 107 页 ） 时两者数量保持稳定， 两者数量的比率近似于
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高校理科研究
浅谈如何实践线性代数的实例教学模式
西安工业大学数理系 李 蕊
［摘 要］ 线性代数是一门较抽象的大学数学基础课。在该课程的教学实践中， 通过实例提炼相关概念， 并应用理论解决实际问题， 不仅可以激发学生学习的兴趣， 更能培养学生的应用能力和创造能力。本文通过三个实例说明如何在线性代数教学中实现该课程 理论性与实用性的统一。 ［关键词］ 线性代数 实用性 实例 数学建模 线性代数是高等院校针对理工及经管专业学生开设的一门数学基 础课。该课程具有较强的逻辑性、 抽象性和广泛的实用性， 对培养学生 严密的逻辑思维能力有着重要的作用。学生在后续专业课的学习中以 及走上工作岗位后， 将不断用到该课程的内容。瑞典数学家 Lars Gard《数学概观》 中提出 “如果不熟悉线性代数的概念， 如线性 ing 在其著作 性质、 向量、 线性空间、 矩阵等， 要去学习自然科学， 现在看来就和文盲 差不多， 甚至学习社会科学也是如此” 。如此重要的一门数学基础课， 学生在学习过程中却往往存在如下问题： 1. 线性代数课程中许多概念 比较抽象， 现行教材大多没有给出具体的实例背景， 学生觉得难于理解 往往忽 接受。2.传统教学中多侧重该课程理论知识体系的建立和陈述， 视了线性代数的实用性。学生不知道为什么学、 学了有什么用， 从而失 去了学习的兴趣。3.学生学习该课程除了准备期末考试和研究生入学 考试外， 体会不到其重要性和实用性所在， 从而不善于运用所学线性代 如此一来， 学生就成了应试教育的必然产物—— — 数知识解决实际问题。 考试型人才。 存在上述问题归根结底是因为教师没有充分引导学生如何将理论 与实际联系， 学生无法体会到学以致用的乐趣。 学有所用是激发学生学 好这一课程的关键。知道理论， 却不知该如何应用， 面对这样的状况学 培养学生的应用能力 生会对这门课程产生距离感， 乃至丧失学习兴趣。 和创造能力， 成了目前数学教育改革的热点问题。线性代数在工程学、 计算机科学、 物理学、 生物学、 经济学和统计学等学科均有广泛的应用。 在线性代数课程的教学实践中， 若引用相关的实例， 展现如何从中提炼 出数学概念， 建立相关数学理论， 如何用这些理论去解决实际问题， 体 下 现出用数学方法处理实际问题的优势， 必然会激发学生学习的兴趣。 面通过经济学、化学及生态学中的三个实例说明如何培养学生建立数 学模型 ， 并应用相关的线性代数知识解决这些实际问题。 例 1. （经济学中的应用） 假设一个经济体系由五金化工 、 石油能源 和机械三个部门构成。化工部门销售 30%的产出给石油部门和 50%的 产出给机械部门， 保留余下的产出。 石油部门销售 80%的产出给化工部 门和 10%的产出给机械部门， 保留余下的产出。 机械部门销售 40%的产 出给化工部门和 40%的产出给石油部门并保留余下的产出。求出该经 济体系的一组平衡价格使得每个部门的收支平衡。 解： 经济体系交易表 部门的产出分配 采购部门 化工 石油 机械 化工 0.2 0.3 0.5 石油 0.8 0.1 0.1 机械 0.4 0.4 0.2 解： 设 (x1)Na3PO4+(x2)Ba(NO3)2→(x3)Ba（ 3 PO4)2+(x4)NaNO3 为配平该方程式， 要使方程式左边钠、 磷、 氧、 钡、 氮原子的总数等 于右边相应原子的总数， → → → → → → → → → → → 0 → 3 → → 0 → 0 → → 1 → 3 → → 0 → -1 → → → → → → → → 0 → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → 1 → → 0 → 2 → → 0 → 1 → → 0 → -2 → → → → → → → → → 0 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →， → → → → x1 → +x =x +x 即 x +x +x +x = 0 →。 4 6 8 3 4 6 8 3 1→ 2→ 3→ 4→ 2 3 4 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → → 0 → 0 → → 1 → → 3 → → 0 → 0 → → 1 → → -3 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 0 → → 2 → 0 → → 1 → 0 → → 2 → 0 → -1 → → → → → → → → 0 → → → → → → → 该齐次线性方程组的系数矩阵为 → → 1 0 -2 0 → 3 0 0 -1 → → → → → → → → 0 1 -3 0 → 1 0 -2 0 → → → → → → → → 初等行变换 → 0 0 6 -1 → 4 6 -8 -3 → A= → → → → → ξξξ→ → → → → 0 0 0 0 0 1 3 0 → → → → → → → 0 0 0 0 → 0 2 0 -1 → → → → 该方程组的通解为 ξ=k 1 , 1 , 1 ,1 k 为任意常数。化学方程 ξ →， 3 2 6
ξ→
ξ →ξ
→ ξ→
2
ξ
→
该表的每一列表示每个部门产出的去向，每一行表示每个部门从 哪些部门获得了投入。 为使每个部门收支平衡， 每个部门的总收入要等 于其总支出。 设 x,y,z 分别为化工、 石油、 机械部门年度总产出的价格 （即 货币价值 ） 。化工部门采购 20%的化工产出， 80%的石油产出和 40%的 机械产出， 因此化工部门的总支出是 0.2x+0.8y+0.4z ， 化工部门的总收 入 x 等于其总支出， 即 x=0.2x+0.8y+0.4z 。石油部门的收支平衡条件是 y=0.3x+0.1y+0.4z 。 机械部门的收支平衡条件是 z=0.5x+0.1y+0.2z 。 故可 - 0.8x+0.8y+0.4z=0 得收支平衡方程组 0.3x- 0.9y+0.4z=0 0.5x+0.1y- 0.8z=0 该齐次线性方程组的系数矩阵为 - 0.8 0.8 0.4 1 0 - 1.42 A= 0.3 - 0.9 0.4 初等行变换 0 1 - 0.92 （数值精确到小数点后 ξξξ→ 0.5 0.1 - 0.8 0 0 0 两位 ） 该经济问题的平衡价格向量为 ξ=k(1.42,0.92,1)T（k 为任意非负常 数 ） 。如， k=1000000 ， 即化工的产出价格是 142 万， 石油的产出价格是 92 万， 机械的产出价格是 100 万， 那么每个部门的收支平衡。 例 2. （化学方程式的配平 ） 磷酸钠和硝酸钡溶液混合时产生磷酸钡 沉淀和硝酸钠， 配平化学方程式 Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3 。
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科技信息
高校理科研究
大学化学教学改革的初步探索与研究
徐州空军学院航空油料物资系 吴 楠 王玉梅 吴 超
［摘 要］ 本文从如何将人文精神渗透化学教学过程， 如何培养学生的创新素质， 如何将教学与前沿科学相衔接三个方面， 初步探讨 了大学化学教学改革的措施。 ［关键词］ 人文精神 创新素质 大学化学 21 世纪， 现代社会已经进入知识经济的时代， 知识信息量剧增。要 适应新形势的发展， 培养出满足新时代要求的高素质人才， 教育方式必 然要从应试型向素质型转变， 人才观念也要从单一专业型向复合型、 创 新型转变。作为高校教育中一门文理兼容，理论与实践并重的基础课 程，大学化学的教学为高校教育工作者提供了更广阔的空间和展示的 舞台。 但是大学化学教学常常会遭遇教学内容多、 授课时间少， 重视理论 轻视实验操作的尴尬。如何在有限的授课时间内， 不仅使学生学 讲授、 到丰富的知识， 更使他们的能力得到全面提升， 保持大学化学旺盛的生 命力是我们教育工作者迫切要解决的问题。 一、 将人文精神渗透化学教学过程 有人说， 化学属于自然科学范畴， 其研究的是物质的组成、 结构、 性 “无生命运动” 。 事实上 “化学” 的外 质及其变化规律， 是物质之间的一种 延被我们懒惰的思考方式缩小了， 化学教学与素质教育息息相关。 人类知识是统一的整体， 文理之间、 学科之间都存在一定的关联[1]。 随着当今理工科的高度发展，与各学科之间特别是与人文科学之间的 相互渗透、 交叉和融合越来越显著。 越来越多的人们认识到现代社会需 要的是兼有科学和人文双重品质的人才。 而大学生正处于世界观、 人生 观、 价值观成型的时期,广泛接受人文精神的教育对于正确树立 “三观” ， 理性思考人生价值， 提高自身的文化道德修养有很重要的帮助。 例如谈到化学热力学中的能量守恒原理 （即孤立系统中， 能量不会 消失， 只是从一种形式转化为另一种形式） ， 教师可以结合这条定律引 导学生联想人生旅途中其实也有能量守恒定律。 短短人生数十载， 不如 不用怨天尤人， 也不用一直扼腕 意之处总有十之二三。当遇到挫折时， 因为人生的能量是守恒的。 上天在关上一扇门的同时一定会打开 叹息。 从生活中得到的启示， 学生容易理解， 也容易接受， 同时也拉 另一扇窗。 近了学生与教师的距离。 正所谓 “亲其师信其道” ， 学生只有接受教师才 会接受上他的课， 只有信任教师才会信任他所教的知识。 又比如自然界 在讲 中的化学反应常利用公式△G＝△H－T△S 来判断反应的自发性， 授时可以将其与学生自身的学习动力作类比，把△G 定义为人类行为 △H 定义为社会需求， △S 定义为个人需求，由此可见， 只 的自发依据， 有当个人的需求越大时， 人类行为的自发性才越强。 正所谓 “不愤不启， 不悱不发” 。 化学可以给人知识、 给人智慧、 给人启迪、 给人思想。 将化学知识浓 缩提炼， 融知识、 趣味、 哲理、 素质教育于课堂教学之中， 则课堂教学活 矣！如催化剂与人生信念， 碳的成键特点对人生的启迪， 化学平衡与心 理平衡等。 二、 创新素质的培养 目前世界科学技术突飞猛进， 知识经济已初现端倪。 传统教育正面 知识经 临着严峻的挑战， 同时也为高等教育的发展提供了广阔的空间。 济的核心是创新， 包括知识创新和技术创新， 而知识创新和技术创新的 基础是教育[2]。 知识经济要求教育必须是能造就具有创新素质人才的创 培养青年学生的创新素质关键是培养他们的创新能力。 包括创 新教育。 新思维能力和动手实践能力。 （上接第 106 页 ） 1:2， 即对应每只猫头鹰， 大致有 2000 只老鼠。 该问题利用特征值和特征向量的理论，讨论了离散动力系统的离 散演变过程。 除此之外， 特征值还被用来研究微分方程和连续动力系统 等问题。 从教学效果看， 这些实际问题的提出， 引起了学生浓厚的兴趣， 使 他们看到了实际问题是如何和数学概念、 理论联系起来的， 看到了实际 问题的数学表述的简洁，从而对数学的基本概念形成和应用有一定的 了解， 培养学生的创新意识和应用能力。 很多实际问题的解决往往需要 数学建模和大量的计算， 这种计算如果单靠手工完成， 效率太低。随着 计算机软硬件技术的快速发展，应注意让学生掌握相关的数学软件知 识 （如 Maple 和 Matlab ） 。北京交通大学王亮主编的 《基于 Matlab 的线性 培养创新思维， 要使学生具有良好的学习心态、 强烈的求知欲和强 烈的好奇心， 这是一切创新的基础。 古希腊教育家亚里斯多德讲过一段 “思维自惊奇和疑问开始” 。在人类认识史上， 正是个别人对事物 名言： 或某种现象产生了惊奇感、 好奇感， 从而导致重大的发明创造的产生。 例如： 在学习了烷烃、 烯烃、 炔烃和环烷烃四章内容之后， 可以让学 生根据各类有机物的化学特性鉴别： 环丙烷、 丙烯、 丙炔和 1,3- 戊二烯 这五种有机物。 该鉴别题虽看似简单， 却综合了四章当中比较重要的内 这样 容， 而且， 鉴别过程中所用试剂的顺序并不是固定的， 即一题多解。 的质疑和解疑， 学生将避免解决问题途径的单一性， 而是多角度 、 多方 法去解决问题。即从惯常的思维方式上升到创造性思维方式。 实践是将创意付之实现的精心设计， 是创意与创新的桥梁。 化学是 一门以实验为基础的学科，实验教学可以加强学生动手实践能力的培 养。 化学实验教学是化学教学的重要组成部分，是培养学生把书本知 识运用于实际， 提高学生动手能力和创新能力的重要途径， 是实施素质 教育不可缺少的重要环节， 而现在的实验教学大多为注入式教学， 实验 怎样通过实验课的教学调动学生 大多为验证型， 这样做学生比较被动。 的积极性， 变被动为主动， 培养学生的独立能力和创新能力？ 三、 教学与前沿科学相衔接 在课堂教学中， 适时地增加介绍与大学化学相关的科学前沿领域、 重大发现等，使学生能自觉地将经典的内容与当今化学发展的前沿领 域联系起来， 逐步领悟到 21 世纪的今天是一个知识爆炸的时代， 新知 识、 新规律、 新概念、 新兴边缘学科不断涌现以及不同学科间综合交叉 介 不断发展和深化使得科学技术飞速发展[3]。例如在讲化学热力学中， 随着科技的进步和生产力的发展， 绍现代新能源的开发与有效的应用。 人类目前的能源仍然以煤、 天然气和石油为 能源问题显得越来越重要。 主要燃料， 而这些燃料在地球上的储量是很有限的。因此， 探索新能源 是人类目前面临的一项急切任务。 目前主要开发的新能源有核能、 太阳 地热能和潮汐能等。在讲配位化合物时， 适当介绍配合物的研究与 能、 目前研究热门的有医用配合物、 导电配合物、 分子电子器件、 超分 应用。 子化学等等。在物质结构中简要的介绍现代光谱仪器。在元素部分中， 相应的介绍最新合成研究进展。这些都使得学生开阔视野、 激发兴趣。 教学艺术丰富多彩， 千变万化， 对教学艺术的追求永无止境， 只有 更好， 没有最好， 不断创新、 追求完美是一个教师常教常新、 永葆教学艺 术青春的源泉。 参考文献 ［1］ 王星敏， 傅敏. 人文精神在 “大学化学” 教学中的实践. 高等理科 教育， 2005， 4， 121- 123. ［2］ 刘晓宇， 明霞， 王洪来.浅论大学化学教学中的创新教育.教学研 究与改革， 2004， 5， 66- 67. ［3］ 乐善堂， 汤又文.基础化学课教学改革探索.湖北师范学院学报， 2002， 22 （4 ） ， 94- 96.