原子物理学第3章习题

Y Axis Title
6
4
V0
0
E
L
V0
x
2
解：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维 0 持原坐标不变；另一种为将横坐标向右平移L/2，即取 x = x 0 2 4 6 8 10 − L/2，在这个坐标系中，−L/2 < x < L/2 时 V=0、在其它 X Axis Title 区间 V =V0 （1）E 满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是 定态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形 式
15
2.经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少 ？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？
解：由德布罗意波长与加速电压之间的关系
h / 2meV
对于电子
12.25 12.25 A A 0.1225 A V 10000
对于质子

6.626 10 2 1.67 10
势箱内波函数满足方程
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2 2 2 2m 2 2 2 [ E (Vx Vy Vz )] 0 2 2x 2y 2z h
分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程
( x, y, z ) X ( x)Y ( y)Z ( z )
并将两边同除以
X ( x)Y ( y)Z ( z)，得
8.有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、 高分别为a,b,c,在势箱外，势能 V ；在势箱内， V 0 。试 计算出粒子可能具有的能量 解：由题意知
Vx 0, 0 x a; Vy 0, 0 y b; Vz 0, 0 z c; Vx , x 0和x a Vy , y 0和y b Vz , z 0和z c
n y y nx x nz z 8 ( x, y, z ) sin sin sin abc a b c 2 2 2 ny 2 nz 2 h nx E ( 2 2 2) 2m a b c
可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的 波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量 之和
i ( pr Et ) h
p2 E 2m p2 E 2m
自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有 任意的连续值
7.粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。 即：0 < x < L 时 V = 0；x < 0 和 x > L 时 V = V0。 （1） 试推导粒子在 E < V0 情况下 总能量 E 满足的关系式。 10 （2）利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量 E 只能取 一 些不连续的值 V(X) 8
h/ p
2 2 2
虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系
E 2EK m0c p c
2 K
而被电压V加速的电子的动能为
EK eV
(eV ) p 2m0 eV 2 c
2
2
p 2m0 eV (eV ) 2 / c 2
h h/ p 2m0eV
1 eV 1 2 2m0c
n L 2mE L+ = n − 即 = n/2 − L/2 = 2 2
n = 1, 2, 3, ……
又由tan = / k 得
E E arctan arcsin (0 ) V0 E V0 2 或 E 3 arcsin( )( ) V0 2
波函数的连续性 要求： x = 0 处，u1 = u2 ； du1/dx = du2/dx x = L 处，u2 = u3 ； du2/dx = du3/dx 将上述连续性条件应用于波函数 得 A = C sin Ak = C cos B e−kL = C sin(L+) −B k e−kL = C cos(L+) 进一步推导 tan = / k tan(L+）= −/ k 由 tan = / k > 0，得 0 < < /2、和 3/2 < < 2 由 tan (L+) = tan (−) 得


h eV (1 ) 2 4m0 c 2m0 eV h (1 0.489 106 V ) 2m0 eV
12.25 6 (1 0.489 10 V ) A V
4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布 罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆 轨道，试证明之 证明 对氢原子圆轨道来
2 L 2mE N 2 int( 3) h
(2) 图解法说明 能量取值的不连续性 设
0 f1 ( x) arcsin x / 2
L 2mV0 n f 2 ( x) x 2 2 f3 ( x) arcsin( x) 3 / 2 E 0 x 1 其中 V0
h p x 2
p 2mEK p h 5 3.09 10 p 2x 2mEK
6.证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值
证明：自由粒子的波函数为
2
Ae
i ( pr Et ) h
代入薛定谔方程，得
h 2 [ Ae ] E 2m i h2 2 d 2 d2 d 2 h ( px x p y y pz z Et ) A( 2 2 2 )e E 2m dx dy dz
d 2 X 2m 2 ( Ex Vx ) X 0 2 dx h
连续条件
X (0) X (l ) 0
nx 2 Xn sin x, a a 2 h2 2 Ex n , nx 1, 2,3 2 x 2 a
同样，有
n y 2 Yn sin y b b 2h2 2 Ey n , n y 1, 2,3 2 y 2 b n 2 Zn sin z z c c 2 h2 2 Ez n , nz 1, 2,3 2 z 2 c
因此能量 E 满足的关系式为
E n L 2mE 0 arcsin V0 2 2 2
n=1,2,3,……N1
或
E n L 2mE 3 arcsin( ) V0 2 2 2
n= 3,4,5,…..N2
其中
2 L 2mE N1 int( 1) h
d 2u 2mE 2 u 2 dx
设
2mE 2 2
u C sin( x )
在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
d 2u 2mE 2 u 2 dx
由定态薛定谔方程解得的波函数为： x < 0， u1 = Aekx 0< x < L， x > L， u3 = Be−kx A 待定 C、 待定 B 待定
r
d dr 2 (m r dt mr dt ) dt dt

2
d )

mv dt mvds
2
h ds ds h r ds n

5.带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一 串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电 子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不 小于多少？ 解：根据测不准原理 经典力学的动量为
1 d 2 X 2m 1 d 2Y 2m 1 d 2 Z 2m 2m ( 2 Vx ) ( 2 Vy ) ( 2 Vz ) 2 E 2 2 2 X dx h Y dy h Z dz h h
1 d 2 X 2m 2m 2 Vx 2 Ex X dx 2 h h 1 d 2Y 2m 2m 2 Vy 2 E y Y dy 2 h h 1 d 2 Z 2m 2m 2 Vz 2 Ez 2 Z dz h h 其中E Ex E y Ez , Ex , E y , Ez皆为常数。
1. 波长 1 A 为的X光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得
动量为

6.63 1034 p 6.63 1024 千克 米 秒1 1010 h
能量为
E hv hc / 6.63 10
34
3 10 / 10
8
10
1.986 10 焦耳
2 d 2u Vu Eu 2 2m dx
设
d 2u 2m(V0 E ) u 2 2 dx
u Aekx Be kx
2m(V0 E ) k2 2
利用波函数的有界性知道： x < 0 时，如果 B ≠ 0，那么 x → − 时 波函数 趋于 无穷。所以在x < 0 时 B =0。 类似道理 x > L 时，A = 0 。 因此 x < 0 时，u = A ekx x > L 时，u = B e−kx 在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
则能量E 的解可通过 f2 与f1 的交点、与f3 的交点的横坐标求出
f2
f(x)
n=
5
10
4
3
f3
n= 3
2
n= 2
1
f1
0.50 0.75 1.00
n= 1
0 0.00
0.25
x
做各函数曲线如上图所示。。从f2 函数 与 f1 及f3 函数的交点的 横坐标可求出能量E的解。解的个数与 0 < x < 1区间内交点的个 数相等，而交点的个数决定于f2 函数的斜率。斜率越大，交点个 数越多。当 L 和 m 很大时，交点的横坐标数值趋于连续，对应 宏观现象。当二者不是很大时，交点的横坐标数值是不连续的，也 就是说能量E的取值是不连续的。

27
34 19
1.60 10
10000
2.862 103 A
3.电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原 12.25 来 的电子德布罗意波长与加速电压的关系 A V 12.25 6 式应改为： V (1 0.489 10 V ) A 其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长
2
pr 0, p mr mvr

所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波 长。椭圆轨道的量子化条件是：
其中
pr m r , p mr 2 ( pr dr p d ) nh, n n nr


而
( p dr p d ) (mrdr mr