第二章 初等数学建模教材

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思考题：
一块1立方米的正方体的木块，分成 1立方毫米的小木块，再把小木块排起 来，问能排多长？
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四、“奇偶校验”方法
问题：铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺设如图所示的地面上， 但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于 方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试 着铺地面，结果弄来弄去始终无法完整铺好， 你能给解决吗？
Fn 2 1
F0 3
F3 257
2n
进行试算：
F2 17
F1 5
都是素数
Fn 都是 费尔马断言：“对任意自然数n， 素数。”，这是著名的费尔马猜想。
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相隔近100年后，欧拉算出： F5 ＝4294967297 ＝6700417×641 不是素数。
后来又有很多人算出： n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素数。 3）不要被前人的条框所约束。
5 6 8 6 7 10 ….
8 9 ) 12 10 ) 12 15 ) …
2
欧拉猜想 F+V-E=2 然后，欧拉证明了这一猜想，这便是著名的 欧拉定理。
说明： 1)用观察、归纳发现数学定理（建立模型） 是一种重要方法。 2）观察应该是大量的，仅凭少量的观察 就去猜想有时会铸成错误。
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例如：17世纪大数学家费尔马 （Fermat.1601-1655年）对公式
由SLRM SMPN SNQL S PQR
,所以
1 1 1 1 2 Ba sin Cb sin Ac sin k sin 3 2 3 2 3 2 3 2
即
Ac Ba Cb k
2
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问题２：
在圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如 下：原来相邻棋子若是同色的，就在其间放一枚黑子， 若异色就在其间放一枚白子，然后把原来4枚棋子取走， 完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时园 周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次， 圆周上就全是黑子。
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思考题： Fibonacci数 假设有一对兔子，两个月后每月可生一对 兔子，一对小兔子两个月后每月又可生一对 小小兔子，依次类推，问一年后共有多少对 兔子？能否用计算机算出任意月份兔子的对 数？
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二、鸽笼原理 问题１： 在一个边长为1 的正三角形内最多能找到 几个点，而使这些点彼此间的距离大于 1 ? 2 方法：
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三、学会估算 问题：能否将一张纸对折100次？
对折100 次共2
10
100
层
3
2 1024 1000 10
100 30
所以 2 10 30 10 层就有 若每层纸厚度为0.05毫米，
5 1022 千米
即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不 过1.5亿千米。 对折100次就无法办到了。
分别化简为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) ( x1 x3 )( x2 x4 )
( x3 x1 ) ( x4 x2 )
第三次操作后得到的4枚棋子可表示为：
( x2 x4 )( x3 x1 )
( x3 x1 )( x4 x2 )
最后都是
( x4 x2 )( x1 x3 )
第一次操作后得到的4枚棋子可表示为：
( x1 x 2 ) ( x 2 x3 )
( x1 x 2 )( x 2 x3 )
( x3 x 4 )( x 4 x1 )
( x3 x 4 ) ( x 4 x1 )
( x 2 x3 )( x3 x 4 ) ( x 4 x1 )( x1 x 2 )
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第二次操作后得到的4枚棋子可表示为：
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五、问题的转化处理法
问题１：
已知正数a、b、c、A、B、C满足条件 a A b B cC k
求证：
aB bC ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA k 2
分析：本题局限在代数不等式的范畴不易求证， 但将其转化到几何上，构造反映题目要求的几何模 型即容易解决。
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根据题意作正三角形△PQR及△NML如图
思考题： (1)设一所监狱有64间囚室，其排列类似8×8 棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯，只 要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室 （所有相邻囚室间都有门相通），他将被释放。 问囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的排列 共72间，将会出现什么情况？
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(2)某班有49个学生，坐成7行7列。每 个坐位的前后左右的坐位叫做它的“邻 座”，要让这49个学生都换到他的邻座上 去，问这种调换位置的方案能否实现？
下面构造一个反映题设要求的赋值模型，可使问 题简化。
设开始的 4枚棋子为xi (i 1,2,3,4)并给棋子赋值：
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令
并规定
1 xi 1
若xi为黑子 若xi为白子
i 1.2.3.4
1 xi xi 1 1
若xi与xi 1为同色 若xi与xi 1为异色
及
xi 2 1
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〔方法〕：在40个方格上黑白相间地染色 （思考：发现了什么？），
仔细观察，发现共有19个白格和21个黑格。一块 长方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上19块长方 形瓷砖后（无论用什么方式），总要剩下2个黑格没有 铺，而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格，唯一的办 法是把最后一块长方形瓷砖一分为二。 14
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思考题： 在一个边长为1的正三角形内，若要 1 彼此间距离大于 ，最多不超过多少个 n 点？
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问题２：
能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别 填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、 每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相 同？为什么？
A D
B 图 2-2
C
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如图2-2，因为每行、每列及对角线上的 数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8， 最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由 题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个 数的和应有8+8+2=18个，所以要想使每行、 每列及两对角线上18个和都不相同是办不到 的。
第二章 初等数学方法建模
§1 几 种 简 单 的 数 学 方 法
一、观测实验和抽象分析法 欧拉多面体问题 问题：一般凸的多面体其面数F、顶 点数V和边数E之间有何关系？ 对此欧拉具体地观察了四面体、五 面体… 结果如下：
1
多面体 四面体
F 4
V 4
E 6
五面体
六面体 七面体 ……
5 (5 6 (6 7 (7 …