空间角的计算 PPT课件

设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
r
a
Fra Baidu bibliotek
r b
rr
a， b
|
r
a ar， br br
|
结论：
rr
|cosa,b|
例一：R t V A B C 中 ， B C A 9 0 0 , 现 将 V A B C 沿 着 平 面 ABC 的 法 向 量
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是
______ . 3. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, E为PC中点 ,
BAC900 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
4. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .
Dy
u A 所 AuD u (r以 0,0A(,10 0D,)是 8 , ,平 0 A)1,面 (0,u A A0u 1 M u ,D u 4rN ) ,的 (D0 法 ,(8 0向 ,, 8量 4 ,0)。 ),,co s x u A u BD u r,u A u 1 u D u r 2 5
C 5
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
7.正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角DBC 1C的余弦值。
8.已知正方体 AB C A 1B D 1 C 1D 1 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD 1 的中点
x
|
1 1 4
53
30 10
所以 B D与1 A所F 1成角的余弦值为
42 30
10
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM .
cxo 2y s 2yz n u r1,00 n uu r2 | n u xzn u r1 r1|g |n u n u 22u yyr2 u r2|3 任 6的 量取 情 夹即 n u 况 角u r2 所 ，求 二(1,面2 二 ,角1 面 )等角 于法得 向余 弦 值 是36
小结：
1.异面直线所成角：
D1
C1
y
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
得 所y以=zxx=-zy1， 0故 0，nr取 =(x1， =-11， ，-1)，cosn rx， u B u1u C ur1
010 3 1 3 3
所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3。
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
A
D1
B
u u u ru u u r
r D C ,A B 与 的 关 r 系 ？
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[ 0 , ]范围内 的角；
斜线与平面所2 成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [ 0 , ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [ 0 , ] 。
A(1,0,0),B(0,1,0), F1(12,0,1),D1(12,12,1) A 1
所以：uAuFur1
(1,0,1), 2
uBuDuur1 (12,12,1)
A
C1
F1
D1
C
B1
By
u u u ru u u u r cosA F 1,B D 1
|
uuur uuuur uAuuFr1gBuuDu1ur AF1 || BD1
a2 b2 c2 d2 .
2ab
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②法向量法
ur uur
n1，n2
uur uur
u ur n1， n2
n2
u ur
n2
uuruur
n1， n2
ur uur
n1，unur2 n1
u ur
n1
l
l
uruu r
uruu r
cos cosn1,n2 cos cosn1,n2
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM .
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 . z
简解：
A1
N
D1
由(1)知A1DAM，又A1DAN
B1 M
C1
AMIuuuAurNA，所以A1D平面AMN A
c o s
rr |cosa,b|
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
2.直线与平面所成角：
ruuu r
sin | cosn,AB|
B
Ar
n
O r n
3.二面角：
B
A C l
D
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
ABCD
u ur
n2
C D
AB AC CD DB
A
d2A2B (A CC D D)B 2 u u u r 2 u u u r 2 u u u r 2u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
A C C D B D 2 ( A C C D A C D B C D D B )
a2c2b22AC DB a2c2b22CA DB
于是，得 2 CD A a B 2 b 2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此 2 a cb o a 2 s b 2 c 2 d 2 .
所以 cosa2b2c2d2.
2ab
所以库底与水坝所成二面角的余弦值为
B1(0,a,b)D(
3 a, 1 a,0) 44
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 四 ： 如 所 示 ， ABCD是 一 直 角 梯 形 ， ABC=900,
SA平 面 ABCD,SAABBC1,AD1 2,求 面 z SCD 与 面 SBA
所 成 二 面 角 的 余 弦 值 .
解 ： 建 立 空 直 角 坐 系 A -x y z 如 所 示 , S
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCCACC1， 取 A1B1、 A1C1的 中 取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C ,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
A
2
思考：
B
O
r
设 平 面 的 法 向 量 为 n， 则
r uuur
n,BA与 的 关 系 ？
A
r n
A
r uuur n， BA
2
B
结论：sin
r uuur n， BA
B
2
ruuu r
r n
|cosn,AB|
例二：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
ABCD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，A a ， C B b ， D C c ， D A d . B
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1MA C的余弦值.
C1
B1
D1
C1
A1
A1 M
B1
C D
B A
D O
A
C B
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设
底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0)
A(
3 2
a,
1 2
a,0)
B(0,a,0)
C1(0,0,b)
A (0,0,0), C(-1,1,0), D (0 ,1 , 0 ), S (0, 0,1)
B
C
易 知 面 S B A 的 法 向 量 n r1 u A u D u r 2 (0 ,1 ,0 )
C u u D u r(1 ,1,0),u S u D u r(0,1, r 1 ) 2 rx
A
Dy
设平面 S C 2 D 的 法 向 量 n u u r 2 2 ( 面nx 1, 内方y , ，向z ) 属朝,于由 面“外n u u r 2 一， n进2 C u 方一u D u 向出r,朝”n u u r 2 u S u D u r,得 ：
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
练习:
uuur
uuur
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2影、的如方果向平向面量的分一别条a是r 斜线=（与1它，在0，这1个）平，br 面上=（的0射，1， 1），那么这条斜线与平面所成的角是_6_0__0__ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，
一进一出， 二面角等于
法向量的夹
角；
u ur
n1
l
同进同出，
二面角等于 法向量夹角 的补角。
u ur
n2
l
u ur n1
uruu r
cos cosn1,n2
uruu r
cos cosn1,n2
uuur
uuur
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
则两平面所成的钝二面角为__1_3__5_0 .
4. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的
余弦值为________6 _ .
6
5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为__3 _1_0_1 _0___ .
简解：
z
A(0,0,0), A1(0,0, 4),
A1
N
D1
D(0,8,0), M(5, 2, 4) uuuu r
B1 M
C1
u A uu M u r(5,2,4),
A
A 1D(0,8,4),
B
uuuu ruuuu r AMgA1D ＝ 0A1DAM.
x
Dy
C
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图，设二面角 l 的大小为，
其中 A B l,A B ,C D l,C D
B
CA l
D
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 2 5 所以~~~~
5
练习：正方体 ABCDA1B1C1D 1的棱长为1.
求 B 1 C 1 与 面 u A u u r B u 1 u C u r所 u u u u r成 的 角 .z
设位 Cu u 正(正 u 1u ，r 1交 方，0)基 体，C底 棱1 (， 1长，u 1u ，可 u 为1r )，得 1，则 以 Au B u (A 1 u C 0u B ，r1 0， ， A 0(D )0 ，， ， B1 A ， 10 (A 1)1 ， ，为 0，1单 )，B 1 A 1 设 A 平 B r 1 面 u u ( A 1 u ， u r B 0 ， 1 1 C ) ， 的 A r C 法 u u 向 u ( r 1 ， 量 1 ， 0 为 ) r n r ( x ， y ， z )A