高中数学 函数模型及其应用

2.11 函数模型及其应用

一、填空题

1.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1 x 2(0＜x ＜240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本

时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．

解析 设利润为f (x )(万元)，

则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 150

2．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x 件 (x ∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．

解析 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，

4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，

4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}

这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论． 答案 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，

4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，

4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}

3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．

解析 所倒次数1次，则y ＝19；所倒次数2次，则y ＝19×1920

……所倒次数x 次，则y ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x －1＝20⎝ ⎛⎭

⎪⎫1920x . 答案 y ＝20⎝ ⎛⎭

⎪⎫1920x 4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，

那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车(精确到 1小时)．

解析 设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3.x ≥log 0.750.3≈5.

答案 5

5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文

已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.

答案 4

6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg ，配料的价格为1.8元/kg ，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg 支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P ＝________.

解析 当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用

P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．

答案 88元

7．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________． 解析 已知本金为a 元，利率为r ，则

1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )，

2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，

3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，

……

x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.

答案y＝a(1＋r)x，x∈N*

8．2002年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2010年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是________(填序号)．①甲多②乙多

③甲乙一样多④不能确定

解析设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n}，

由于企业甲年增长数相同，所以数列{a n}是等差

数列，则a n是关于n的一次函数．设企业乙每年

缴纳的地税组成数列{b n}，由于企业乙年增长率

相同，所以数列{b n}是等比数列，则b n是关于n的

指数型函数．根据题意，a1＝b1，a8＝b8，如图知

a

9

＜b9，故2010年企业乙缴纳的地税多．

答案②

9．将函数y2－x－12－1(x∈[0,2])图象绕原点逆时针方向旋转θ角(0≤θ≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值是________．

解析由函数定义，若曲线对应的方程为函数

解析式时，直线x＝a与该曲线若相交，则仅有

一个交点，如图，当α＝π

4

时符合题意．

答案π4

10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴．