2021秋高一数学(人教A版必修1)尖子生同步培优题典《2.2.2对数函数及其性质》(解析版)

专题2.2.2 对数函数及其性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数2()log 3
f x x =+（） ） A ．(3,1)- B ．(3,1]-
C ．sin 20θ≤
D ．[3,1]-
【答案】B
【解析】由函数()2log 3
f x x （）=+30
10
x x +>⎧⎨-≥⎩ ，解得31-<≤x ，
2．函数y=2lg 11x ⎛⎫
-
⎪+⎝⎭
的图象关于 ( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y=x 对称
【答案】C
【解析】函数()()()21lg 11111-⎛⎫⎛⎫
=-==--+
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
x f x lg lg x lg x x x ， ()()()()1 111+⎛⎫
-==+--=- ⎪-⎝⎭
x f x lg lg x lg x y x x ，则()()=--f x f x ，∴函数关于原点对称。

3.（2020·镇平县第一高级中学高一月考）已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．11(,)22-
B ．11(,)(,)22
-∞-+∞ C ．1(,)2+∞ D ．11
(,)[,)22-∞-+∞
【答案】C
【解析】已知2
()lg()f x ax x a =-+的定义域为R ，即210ax x -+>恒成立，当0a =时，10x -+>不恒成立，∴2
0140
a a >⎧⎨
∆=-<⎩，解得：12a >，所以实数a 的取值范围是1
(,)2+∞.
4．（2020·石嘴山市第三中学）已知(21)4(1)
()log (1)
a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值
范围为（ ） A ．(0,1) B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,
62⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．1,16⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】由题意210
01214log 1
a a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-+≥⎩
，解得1162a ≤<．
5．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.8
2c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C
【解析】由题意()2
21log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，
且0.822log 5log 4.12,122>><<，据此0.8
22log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有()()()0.8
22log 5log 4.12
f f f >>，即,a b c c b a >><<.
6．对任意实数x ，都有log (e 3)1x
a +≥（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是
A ．1
(0,)3
B ．(]1,3
C ．(1,3)
D ．[3,)+∞
【答案】B
【解析】∵log a （e x +3）≥1＝log a a ，∴a ＞1且a ≤e x +3对任意实数x 都成立，又e x +3＞3，∴1＜a ≤3。

7．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）若函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠的图象过定点(),m n ，则不等式2x x m n >的解集为（ ） A ．21,
1log 3⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭ B ．210,1log 3⎛⎫ ⎪+⎝⎭ C ．21,1log 3⎛⎫-∞ ⎪+⎝⎭ D ．21
,01log 3⎛⎫ ⎪-⎝⎭
【答案】A
【解析】函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠的图象过定点()2,3，则2m =，3n =，223x
x
>⨯，223x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
223
1
log 21log 3
x <=
-.
8．（2020·河北衡水中学）已知正实数,a b 满足21
()log 2
a
a =，21()log 3
b
b =，则（ ） A ．1a b << B ．1b a <<
C ．1b a <<
D ．1a b <<
【答案】B
【解析】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 2
3
x
x
y y y x ===的图象，结合图象可得：
1b a <<，故选B ．
9．（2020·宁夏银川一中）已知lg ,010()13,105x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
，若,,a b c 互不相等，且
()()()f a f b f c ==，则a b c
⋅⋅的取值范围为（ ） A ．（1，15） B ．（10，15）
C ．（15，20）
D ．（10，12）
【答案】B
【解析】不妨设a b c <<，画出()f x 的图像如下图所示，由于()()f a f b =，故1ab =，所以
()10,15a b c c ⋅⋅=∈.
10．（2020·公主岭市第一中学校）当104
x <<
时，16log x
a x <，则a 的取值范围是（） A ．1(,1)2
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1(0,)2
D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【答案】B
【解析】当1a >时，[]161,2x
∈ ，log 0a x < ，不成立，当01a <<时，当14x =时，1
41
16log 4
a =，解
得：12a =
，如图，若10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，16log x
a x <时，112a ≤<.
11．（2020·浙江高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,2]
B ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
【答案】C 【解析】函数
是定义在上的偶函数，∴
，等价为
），即
．∵函数
是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为
．即
，∴
，解得
,故选项为C ．
12．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ）
A ．3
4
a >
B ．304a <<或4
3
a >
C ．3
04
a <<
或1a > D ．1a >
【答案】C 【解析】因为1
x y e
-=与44y x =-都是R 上的增函数，所以
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，
又因为11
(1)441f e -=+-=，所以()3(log )114a
f f <=等价于3lo
g 14a <，由1log a a =，知3log log 4
a a a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而3
04
a <<；当1a >时，log a y x =在
()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >，综上所述， a 的取值范围是304
a <<或1a >，故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·全国高一课时练习）若()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数，且(2)1f =，则()f x ＝
________． 【答案】2log x
【解析】()21f =，则点(2,1) 在()y f x =的函数图像上，又互为反函数的图像，关于直线y x = 对称，
所以(2,1)关于直线y x =的对称点(1,2)在函数(0,1)x
y a a a =>≠上，所以2a =，所以()f x =2log x 。

14．（2020·河北路南�唐山一中）已知函数
2
12
()log ()f x x mx m =--．若函数()f x 的值域为R , 则实数m 的取值范围为________． 【答案】][()
,40,;∞∞--⋃+
【解析】若函数()f x 的值域为R ,则2x mx m --能取遍一切正实数,240m m ∴∆=+≥,即
][(),40,m ∞∞∈--⋃+,∴实数m 的取值范围为][(),40,;∞∞--⋃+
15．（2020·甘肃省甘谷第一中学）已知函数2
()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增
区间是________． 【答案】(1,)+∞
【解析】由题意，令2230x x +->，解得3x <-，或1x >，故函数()f x 的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，
()2(2)log 2223log 50a a f =+⨯-=>，得1a >，令()2
22314t x x x =+-=+-，则()()log 1a f x t a =>，
根据复合函数的单调性，即求()214t x =+-在定义域内的增区间，由二次函数的性质，()2
14t x =+-的增区间为1,
，所以函数()f x 的单调递增区间为1,
.
16．（2020·天津和平耀华中学高一期末）已知()()
2
log log a a f x x x =-+对任意10,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
都有意义,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,116⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
【解析】要使函数()f x 有意义，则当意1
(0,)2
x ∈时，2log 0a x x -+>恒成立，即2log a x x >．若1a >时，当1(0,)2x ∈时log 0a x <，此时不成立．若01a <<，当1(0,)2
x ∈时，作出函数log a
y x =和2y x 的图
象，当12x =时，11log 24a =，得1
41
2a =，即116
a =，∴若2()log (log )a a f x x x =-+对任意1(0,)2x ∈恒意
义，则
1116
a <，即实数a 的范围是1
[,1)16．
三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·盘锦市第二高级中学）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2.
（1）求实数a 的值； （2）若()()1f
f x >，求实数x 的取值范围.
【答案】（1）1
2
a =
或2 （2）见解析 【解析】（1）当01a <<时，()f x 在1
,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是减函数，()f x 是最大值124f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，1log 24a =，∴1
2a =，
当1a >时，()f x 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数，()f x 最大值为()42f =，log 42a =，∴2a =，∴1
2a =或2
（2）当12a =时，由()()1f f x >得()11
22
log lo 1g 2f x >，解得：()102f x <<
∴12
10log 2x <<
1x <<，∴x
的取值范围是2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，当2a =时，由()()1f f x >得()222log log f x >，解得：()2f x >，∴2log 2x >，∴4x >，∴x 的取值范围是()4,+∞.
18．（2020·开鲁县第一中学）设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
【答案】（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2
【解析】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,
则10
30x x +>⎧⎨
->⎩
,解得13x ,故()f x 的定义域为()1,3-. （2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦
,
由2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,可得
()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()21log 42f ==.
19．（2020·辽宁辽阳高一期末）已知函数(
)
2
()ln 23f x x ax =++. （1）若()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值及()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[3,1]-上是减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）0a =，[ln3,)+∞；（2）(5,4]a ∈--
【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()
22
ln 23ln 23x ax x ax ++=-+，
故0a =，此时，(
)
2
()ln 23f x x =+，定义域为R ，符合题意.令223t x =+，则3t ， 所以ln ln3t ，故()f x 的值域为[ln3,)+∞.
（2）设2
()23,()ln u x x ax g u u =++=.因为()f x 在[3,1]-上是减函数，
所以2
()23u x x ax =++在[3,1]-上是减函数，且()0u x >在[3,1]-上恒成立，
故min 1,4()(1)50,
a
u x u a ⎧-
⎪⎨⎪==+>⎩，解得54a -<≤-，即(5,4]a ∈--. 20．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）已知函数()2
()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. (1)当2a =时,求(2)f ；
(2)求解关于x 的不等式()0f x >；
(3)若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2-；（2）见解析；（3
）(3
1,
22⎫
⎤⎪⎦⎪⎣⎭
【解析】（1）当2a =时，()()2
22log log 2f x x x =-- ()21122f ∴=--=-
（2）由()0f x >得：()()()2
log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>，log 1a x ∴<-或log 2a x >
当1a >时，解不等式可得：1
0x a <<
或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1
x a
>或20x a <<
综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()2
10,,a a
⎛⎫+∞ ⎪
⎝
⎭
；当01a <<时，()0f x >的解集为
(
)
2
10,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（3）由()4f x ≥得：()()()2
log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥，log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥ ①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =
2log 42log a a a -∴≤-=
或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤
②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =
2log 22log a a a -∴≤-=
或3log 43log a a a ≥=
，解得：
12
a ≤< 综上所述：a 的取值范围为(3
,11,
22⎫
⎤⎪⎦⎪⎣⎭。