多相渗流的几种数学模型及相互关系

一般可选择 x i 、z i ( i = 1 , 2 , …, N c - 1) 、L 、S w 、
F 、p 为求解变量 。饱和度约束可修改为
1-
Sw -
L
F ρo
+
1ρo
L
=0
(21)
对该模型已有多种较成熟的解法[2 ,5 ] 。
3 适于注 CO2 的多组分数学模型
由于注 CO2 时 , 大量的 CO2 溶于水中而被损 耗[4 ,6 ] ,通常可影响到 CO2 的利用效率和原油采收 率 。所以 ,注 CO2 驱替或吞吐时 , 为考虑水相的影响 作用 ,应考虑它在水中的溶解度 。设第 N c 个烃组分 为 CO2 , 用 CCO2 ,o 、CCO2 ,g 、CCO2 ,w 分别表示 CO2 在油 、 气 、水三相中的摩尔分数 。于是 ,第 N c 个烃组分的守 恒方程是
(17)
pcgo = pg - po
由式 (13) 或式 (7) 和 (14) ～ (17) 便构成了油
气藏中多相渗流的通用模型 。多相渗流的通用数学
模型是严格地基于相平衡和组分守恒的 , 这是各种 油藏模拟模型的基本出发点 , 所以它在使用上具有 显著的优点 。事实上 ,现有的其它油藏模拟数学模型 都可以由它导出 , 其它模型是它的一些特例 。下面 , 我们由通用模型推导了几个特例模型 , 并校正了现 有的适于注 CO2 驱的多组分数学模型 。
1 通用多相流数学模型的建立
设有油 、气 、水三相 , 共 N 种化学组分 , 并以
Cio 、Cig 、Ciw 分别表示油 、气 、水三相中 i 组分的摩尔
含量 。已知 , 每一相的摩尔流速分别是 ρoυo ,ρgυg , ρwυw 。那么 ,组分 i 的摩尔流速为
Cioρoυo + Cigρgυg + Ciwρwυw
并且易知
(10)
L + V + Lw = 1
(11)
记 Tl =
K Krρl l μl
(12)
将以上述关系式代入 (7) ,可把通用模型写成一
种较简单的形式
( To Cio Φo) + ( T g Cig Φg) +
( Tw Ciw
Φw)
+
qi
=
5 5t
(
<Fz
i)
(13)
方程 (13) 还受到下列条件的约束 :
F = ρo S o + ρg S g + ρw S w
(8)
则L
=
ρo S o
F
,
V
=
ρg S
F
g
,
L
w
=
ρw S
F
w
,
(9)
这里的 L 、V 和 L w 分别表示了系统中油 、气 、水
三相各自所占据的摩尔分数 。因此 , 系统中 i 组分的
摩尔总量
z i = L Cio + V Cig + L w Ciw
Cioρoυo
+
Cigρgυg
+
Ciwρwυw)
]
(3)
其中 α是几何因子 , 由于本文不考虑按几何分类及
几何形状的影响 , 故在以后有类似的地方将略去这
一因子 。根据达西定律
υo = -
K Kro
μg
Φo
(4)
υg = -
K Krg
μg
Φg
(5)
υw = -
K Krw
μw
Φw
(6)
将 (4) ～ (6) 代入 (3) 即得到可用于油藏模拟的
第 24 卷 第 1 期 西 南 石 油 学 院 学 报 Vol. 24 No. 1
2002 年 2 月 Journal of Sout hwest Petroleum Institute Feb 2002
文章编号 : 1000 - 2634 (2002) 01 - 0064 - 03
<ρw S w
(31)
油组分方程
To
ρosc B oρo
Φo
+
qo
=
5 5t
<
S
oρo
Bo
sc
气组分方程
To
R soρgsc B oρo
Φo +
( T g Φg) +
qw
=
5 5t
<
R soρgsc
Bo
So
+ ρg S g
(32) (33)
5 结 论
(1) 从相平衡和物质不灭规律出发 , 导出了多 相渗流的通用数学模型 ;
(2) 由通用模型根据不同假设可导出黑油模
型 、常用的多组分模型和考虑 CO2 于水中溶解度的 模型 ,说明其它多相渗流模型都是通用模型的特例 , 它们有一个共同的基础 ,即相平衡和物质组分守恒 规律 ;
(3) 基于相平衡和物质组分守恒规律导出的考 虑 CO2 溶解度的模型 ,区别于其它考虑 CO2 溶解度 的模型[4 ] 。
C Gg = 1 , COg = 1 , CWg = 0
CWw = 1 , COw = 1 , C Gw = 0
C Go
=
R soρgsc B oρo
,
COo
=
ρosc B oρo
,
CWo
=0
(30)
把式 (30) 代入式 (7) ,得到黑油模型的各组分守
恒方程为有
水组分方程
( Tw
Φw)
+
qw
=
5 5t
符号说明
Bl —l 相的地层体积系数 ; C —盐度 , 重量百分数 ; Cil —i 组 分在 l 相中的摩尔分数 ; f il —i 组分在 l 相中的逸度 ; F —系统 中物质的摩尔总量 ; K —渗透率 , md ; Kr l —l 相的相对渗透 率 ; L —油相摩尔分数 ; L w —水相摩尔分数 ; pl —l 相压力 , MPa ; qi —组分 i 的注入或采出速度 , mol/ d ; ql —注入或采出 速度 , m3/ d ; RCO2 ,w —CO2 在纯水中的溶解度 ; R sb —CO2 在盐 水中的溶解度 ; S l —l 相饱和度 ; T —温度 , K; V —气相摩尔 分数 ; vl —l 相的达西速度 ; xi —i 组分在油相中的摩尔分数 ; yi —i 组分在油相中的摩尔分数 ; zi —i 组分的总摩尔分数 ; ρl —l 相的摩尔密度 , mol/ m3 ;μl —l 相的粘度 ,cp ; < —空隙 度 ;Φl —l 相的相势 , MPa 。
( Tg
Φg)
+
qi
=
5 5t
(
<F)
(20)
由归一化条件 , 加入总烃方程后可删去 (19) 的
第 N c 个方程 。由于烃组分与水不互溶 , 所以只须考
虑各烃组分在油相和气相中的平衡 。于是 , 在该模型
中可以重新定义 F 和 z i 为 F = ρo S o + ρg S g , z i = L x i + (1 - L ) yi
将不能够充分考虑水中溶解 CO2 后的物质平衡 。由 归一化约束 ,有
Nc- 1
∑ CCO2 ,o
=1-
xi
i =1
Nc- 1
∑ CCO2 ,g
=1-
yi
i =1
(24)
CWw = 1 - CCO2 ,w
CCO2 ,w
=
R sbρwsc B wρw
而
z CO2 = L CCO2 ,o + ( 1 - L - L w) CCO2 ,g + L w CCO2 ,w
(25)
zi = L xi + (1 - L - L w) yi , i = 1 ,2 , …, N c - 1
(26)
所以 ,可以选择求解变量为 x i 、z i ( i = 1 ,2 , …, N c - 1) 、R sb 、L 、L w 、S w 、F 、p 共 2 N c + 4 个 。除 (19)
第 1 期 刘昌贵等 : 多相渗流的几种数学模型及相互关系
65
归一化约束
∑ ∑ ∑ Cio = 1 , Cig = 1 , Ciw = 1 ,
(15)
i
i
i
相平衡约束 f io = f ig
f io = f iw
(16)
毛管压力约束 pcwo = po - pw
( To CCO2 ,o Φo) + ( T g CCO2 ,g Φg) +
( Tw CCO2 ,w 水组分方程 :
Φo)
+
qCO2
=
5 5t
(
<Fz
CO2 )
(22)
( Tw CWw
Φw)
+
qw
=
5 5t
(
<ρw
S
w
CWw)
(23)
其中 F , z i ( i = 1 , 2 , …, N c - 1) 及 z CO2 仍采用
的前 N c - 1 个方程和 (22) 、(23) 外 ,还有以下辅助方 程。
饱和度约束 :
1-
Sw -
F
L
ρo
1+
L-
ρg
Lw
=0
(27)
相平衡约束 :
66
西南石油学院学报 2002 年
f io = f ig , i = 1 , 2 , …, N c
f CO2 ,o = f CO2 ,w
(8) 和 (10) 的定义 。这里所给出的水组分方程与其
他考虑 CO2 溶解度的水方程[4 ] 略有不同 。本文利用 通用模型从严格的相平衡和物质不灭规律出发导出
了 (23) 式 。虽然 , 由于水中 CO2 所占的分数很小 , CWw 应接近于 1 ,但不会等于 1 。所以 ,把 CWw 取作 1
0 sw
都是与温度
T 有关的
常数 , C 是盐度 。
4 黑油模型
黑油模型把油 、气 、水三相系统看作只由三个组
分组成 ,它们是油组分 、气组分和水组分 。油 、气 、水 组分区别于油 、气 、水三相 ,因此以大写字母 O , G ,W 分别表示油 、气 、水组分 ,以小写字母 o ,g ,w 分别表 示油 、气 、水相 。根据黑油模型的假定 , 气相中只有气 组分 ,水相中只有水组分 ,油相中含有油组分和气组 分 ,所以有[1 ]
通用模型
K Kroρo μg
C
io
Φo +
K Krgρg μg
C
ig
Φo +
K
Krwρw μg
பைடு நூலகம்
Ciw
Φo
+
qi
=
5 5t
[
<(
Cioρo
So
+
Cigρg S g +
Ciwρw S w) ]
(7)
式 (7) 中 , Kr l ,ρl ,μl ( l = o ,g ,w) 及 <, K 是可用某 种方式取得的已知量 。而 Φl , S l 及 Cil ( i = 1 ,2 , …, N ) 是待求的未知量 。记
∑ ∑ 一化条件 x i = 1 , yi = 1 。于是可导出常用的
多组分油藏模拟数学模型 。
水组分的方程 :
( Tw
Φw)
+
qw
=
5 5t
(
<ρw
S
w)
(18)
i 组分方程 :
( To x i Φo) + ( T g yi Φg) +
qi
=
5 5t
(
<FS
i)
(19)
总烃守恒方程 :
( To Φo) +
多相渗流的几种数学模型及相互关系 Ξ
刘昌贵 ,孙 雷 ,李士伦 ,周守信
(西南石油学院石油工程学院 ,四川 南充 637001)
摘要 : 在注气提高采收率过程中 ,油藏流体各物质组分之间的相互传质以及由此引起的相变起着极其重要的作用 。 因此 ,研究油藏流体在传质和相变过程中的渗流规律是非常必要的 。从相平衡和物质组分守衡规律出发 ,利用达西 线性渗流定律 ,推导了多相渗流的通用数学模型 。在此基础上 ,又导出了常用的多组分数学模型 、适于注 CO2 的多组 分数学模型和黑油模型 。指出这三个模型都是通用数学模型的特例模型 ,它们的共同基础是相平衡和物质组分守衡 规律 。所导出的适合于注 CO2 驱的多相渗流数学模型 ,区别于 YihΟBor Chang ,B. K. Coats 的模型 。 关键词 : 多相流动 ;数学模型 ;黑油模型 ;相平衡 ;注二氧化碳 ;多组分 中图分类号 : TE377 文献标识码 : A
(28)
关于 CO2 溶解度 R sb 的关系式[4 ] :
R sb lg R CO2 ,w R CO2 ,w =
= - 0. 028 C T - 0. 12
ap
1-
bsin
π cp 2 cp + 1
, p > p0
R
0 sw
+
m( p
-
p0) , p ≥ p0
(29)
其中
a
、b 、c 、m
、p0
、R
饱和度约束 So + S g + S w = 1
(14)
Ξ 收稿日期 : 2001 - 05 - 14 基金项目 :“九五”国家攻关项目“注气提高采收率室内机理研究”(96 - 121 - 07 - 04) 。 作者简介 : 刘昌贵 (1969 - ) ,男 (汉族) ,四川遂宁人 ,在读博士 ,主要从事油藏数值模拟方面的研究 。
(1)
然而 ,组分 i 在单位孔隙体积中的摩尔数量可
表示如下
<( Cioρo S o + Cigρg S g + Ciwρw S w)
(2)
如果再考虑注入项或采出项 , 便可得到组分 i
的连续性方程
- [α( Cioρoυo + Cigρgυg + Ciwρwυw) ] + αqi =
α5 5t
[
<(
2 常用的多组分油藏模拟数学模型
设共有 N c 个烃组分 ,烃组分可存在于油相和气 相中 ,但不存在于水相中 , 水相中只有水组分 。令 , Cio = x i , Cig = yi , i = 1 , 2 , …, N c 。显然有 Ciw = 0 ,
i = 1 , 2 , …, N c ; CWw = 1 , Cwg = 0 , Cwo = 0 ,并有归