含有参数的线性规划问题的研究

含有参数的线性规划问题的研究

简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．

类型一 目标函数中含参数

若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．

1．目标函数中x 的系数为参数

例1．【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试7】x ，y 满足约束条件20

220220x y x y x y +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪-+≥⎩

，若z y ax

=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）

A ．

12或1-B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或1- 例2．【河南省南阳市2014届高三第三次联考】设实数x ，y 满足约束条件220

8400,0x y x y x y -+≥⎧⎪

--≤⎨⎪≥≥⎩

，若目标函

数z abx y =+（0,0a b >>）的最大值为8，则a b +的最小值为．

2．目标函数中y 的系数为参数

例3．【2014届福建省厦门市高三5月适应性考试】已知变量,x y 满足约束条件23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪

+-≥⎨⎪-+≥⎩

若目

标函数()0z x ay a =->的最大值为1，则a =．

3．目标函数中,x y 的系数均含参数

例4．【2014年高考原创预测卷】设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪

-≥⎨⎪≥⎩

，若目标函数

)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2，则ab 的最大值为 ．

4．目标函数为非线性函数且含有参数

例5．【北京市顺义区2013届高三第一次统练】设不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆

()()22

2

11:r y x C =+++()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( )

A ．[]

52,22

B ．(]23,22

C ．(]

52,23

D ．()()

+∞⋃,5222,0

类型二 约束条件中含参数

由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．

例6．【广东省汕头市2014届高三3月模拟考试】“3m ≥”是“关于x 、y 的不等式组020100

x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪

⎨

-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

类型三 目标函数及约束条件中均含参数

例7．【2013-2014江西临川】设,1>m 在约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x

y 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，

则m 的取值范围为（）

A ．()21,1+

B ．()

+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3

突破强化训练

一、选择题：

1．【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三文科起点考试5】若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪

--≥⎨⎪+≤⎩

，

若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（）

A ．0

B ．2

C ．8

D ．－1

2．【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试8】已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)

x x y y a x ≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩，

且z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝（）

A ．1

B ．2

C ．14

D ．12

3．【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试6】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

且

z y x =-的最小值为－2，则k 的值为（）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

4．【资阳市高中2014级高考模拟考试数学文】已知不等式组,

,y x y x x a ≤⎧⎪

≥-⎨⎪≤⎩（其中0a >）表示的平面区域的

面积为4，点(,)P x y 在该平面区域内，则2z x y =+的最大值为（）

（A ）9（B ）6

（C ）4（D ）3

5．【2014年福建省福州市高中毕业班质量检测】已知x,y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2,且目标函数z=2x+y 的最大值

是最小值的8倍,则实数a 的值是（）

A ．1

B ．

31 C ．41 D ．8

1 6．【2014年高考原创预测卷新课标文】已知,x y 满足不等式420,

280,2,

x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

设y z x =，则z 取得最大

值时的点在直线220mx ny +-=上，其中0mn >则

11

m n

+的最小值为（） A ．423+ B ．43+ C ．4 D ．23

7．【2014年高考原创预测卷安徽版文科】点(,)P x y 在不等式组10,10,(0)y x y x a a -⎧⎪

-+⎨⎪>⎩

≥≥≤ 表示的平面区域内，P

到原点的距离的最大值为5，则a 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．【2013学年第一学期温州市十校联合体期末联考】当变量,x y 满足约束条件

34,3y x x y z x y x m ≥⎧⎪

+≤=-⎨⎪≥⎩

时的最大值为8，则实数m 的值是（）