时间最优控制
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.
1 T (t ) [x *(t ),t ] T (t )B[x *(t ),t ] *(t ) f u 极值条件为：
T
*
g T (T ) x(T )
min (t ) [x (t ),t ] (t )B[x (t ),t ] (t ) 1 f u
T
G j [bj ,Abj ,A bj , A
2
n 1
bj ],j 1, , m 2
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。 定理2 当且仅当
rank G j rank[bj ,Abj ,A bj , A
2
n 1
bj ] n,j 1, , m 2
0 0
A.初始点 在 上,为唯一最优控 制。 B.初始点 (1 , 2 ) , 在 u *(t ) 1 上,为唯一最优控 制。 C.初始点在R4区,u(t)有无穷多组解,但u=[0 1]所用 时间最短.初始点在R2区,u(t)有无穷多组解,但u=[0 -1]所用时间最短. D.初始点在R1，R3区,u(t)无解,但存在一个 燃 料最优问题.
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
式中 bi R ，上述问题是正常的。 , 定理3 若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
n
定理4 有限切换（开关次数）定理 设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特 u *(t )存在，其分量 征值均为实数，时间最优控制 * * * 为 u j (t ) 。令 t j 表示u j (t )的切换时刻，则 u j (t ) 在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
则有
H H x1 x 2 1 0 1 1 , , x 2 H u 2 H 1 2 2
② 边界条件
x 1(0) 1 x 1(t f ) 0 , , x 2(0) 2 x 2(t f ) 0
1
在区间 [ 0 ,tf ] ，至少存在一个子区间，[t1 ,t2 ] [t0 ,tf ] t 使得对所有 t [t1 ,t 2 ] ，至少有一个函数
g j ( ) b (x ,t ) ( ) 0 t t
T j
*
则时间最优控制是奇异的，称 [t1 ,t 2 ] 为奇异区间。 3.Bang-Bang控制原理 设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t ) 是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最 优控制为：
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
则最优控制分量应取
1. j (t ) g u (t ) sgn[ gj(t )] 1, j (t ) g
* j
0 0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H (t f ) g
* *
T
g t f
由以上条件知：若g j(t ) 0, 则可以运用极小值原理 , * 确定 u j (t ) ，此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, * u j (t 不确定，可取满足约束条件的 u (t ) 1任意值， ) j 此时称为奇异情况。 2.正常和奇异控制问题 t 设在区间[ 0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
u j (t ) 1,t [0,t f ]
的最优控制u (t ) ，是系统有任意初态(1, 2) ，转移到状 态空间原点（0.0）且使性能指标 tf J 0 u( ) t dt 为最小。设末端时刻 tf 自由。
① 正则方程，哈密顿函数
H u(t ) 1(t )x 2(t ) 2(t ) (t ) u
1
2
2
1
1
对系统进行相平面分析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
0
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ), (t ),t ] 1 ( ) A[x(t ),t ] B[x(t ),t ] (t ) t u
T
规范方程、边界及横截条件分别为:
H x(t ) f(x(t ),t ) B(x(t ),t ) (t ) u H f T [x(t ),t ] B[x(t ),t ] (t ) u (t ) (t ) (t ) x x(t ) x(t ) x(t 0 ) x 0 , g(x(T ),T ) 0
**
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
* *
uj 1
可得 u *(t ) sgn[ B T (x * ,t )(t )] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b (x ,t ),b (x ,t )...., b (x ,t )], j 1.2....m 1 2 m T (x ,t )(t ),j 1, ,...m g (t ) b 2 j j
*
对协态方程积分可得：
1(t ) 1(0) const 2(t ) 2(0) 1(0) t
式中 1(0)和2(0) 为协态初始条件。根据 u (t ) 的数值情况，1(0) 2(0) 为奇异控制或为正常控 和 制.
*
（1）奇异情况 若 (0) 0为满足H *(t ) 0 ,应有 (0) (t ) 1。此时，只 * 能决定 u (t ) 的符号，而无法确定其数值。 （2）正常情况 t 若 (0) 0 ，则2(t ) 2(0) 1(0) 是时间t的线性函数。 这是，2(t ) 1 至多在两个孤立的时刻成立，因而 u *(t )是正常的，为三位控制，且最 燃料最优控制函数 多有两次切换。
t t j j . 2j ,... [ 0 ,tf ],j 1, ,... t t 2 m 0,t t j T * 使有 g j (t ) bj (x ,t )(t ) 2 ,j 1, ,..., 非零，t t j 在时间最优控制是正常的
u (t ) sgn bi (t ) i 1,bT (t ) 0, i 1, ,...m ) ( 2 i
若A有全部实特征值，则 ④ H函数变化率
*
u j (t ) 的切换次数为N≦n-1.
*
H (tf ) 0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能 量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。 若以非负量(t ) 表示燃料的瞬时消耗率，则控制过程中所 tf 消耗的的燃料总量为 F ( ) ,仅考虑如下形式 t dt 0 m 的关系： (t ) c u (t ),c 0
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题 已知受控系统的状态方程为：
x(t ) f(x(t ),t ) B(x(t ),t ) (t ) u
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t), x u j (t ) 1,j 1, ,...r 使系统从初始状态 (t 0 ) x 0 出发， 2 t 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x( f ),tf ] 0 其中g是p维向量函数, tf 且使 J dt tf t 0 最小值的最优控制u(t). t
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
j
源自文库
j
j
j
1
式中 u j (t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系 数，称为比耗。为了保证控制过程中最省燃料，选择燃料 消耗总量作为性能指标 m
*
J
cj u j (t )dt
0
tf
二次积分模型的状态方程： 求满足约束条件
*
x 1(t ) x 2(t ) x 2(t ) u(t )
u *(t ) sgn BT x *(t ), *(t ) t
定理表明，每个控制分量 u j (t ) 恰好在自己的 两个边界值之间来回切换，满足g j(t ) 0,的各 个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
*
线性定常系统的时间最优控制
t t t 设线性定常系统 x( ) Ax( ) Bu( ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u j (t ) 1 j 1, , m ) ( 2 u(t)： 使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点 tf x(tf)=0的时间最短，性能指标为 J 0 dt 在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1 b 令 B[b1 ,b 2 ,... m ] n 2 式中 bi R ,i 1, ,...m . ，当且仅当m个矩阵
定理5 当系统正常是，存在最优解的必要条件为： ① 正则方程
式中哈密顿函数为
② 边界条件
H (t ) * AT *(t ) x
*
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H (x ,,u ) 1 T (t )[Ax(t ) Bu(t )]
x(0) x 0 ,x(t f ) 0 ③ 极小值条件 1,bT (t ) 0, i 1, ,...m ) ( 2 i T *
1 T (t ) [x *(t ),t ] T (t )B[x *(t ),t ] *(t ) f u 极值条件为：
T
*
g T (T ) x(T )
min (t ) [x (t ),t ] (t )B[x (t ),t ] (t ) 1 f u
T
G j [bj ,Abj ,A bj , A
2
n 1
bj ],j 1, , m 2
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。 定理2 当且仅当
rank G j rank[bj ,Abj ,A bj , A
2
n 1
bj ] n,j 1, , m 2
0 0
A.初始点 在 上,为唯一最优控 制。 B.初始点 (1 , 2 ) , 在 u *(t ) 1 上,为唯一最优控 制。 C.初始点在R4区,u(t)有无穷多组解,但u=[0 1]所用 时间最短.初始点在R2区,u(t)有无穷多组解,但u=[0 -1]所用时间最短. D.初始点在R1，R3区,u(t)无解,但存在一个 燃 料最优问题.
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
式中 bi R ，上述问题是正常的。 , 定理3 若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
n
定理4 有限切换（开关次数）定理 设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特 u *(t )存在，其分量 征值均为实数，时间最优控制 * * * 为 u j (t ) 。令 t j 表示u j (t )的切换时刻，则 u j (t ) 在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
则有
H H x1 x 2 1 0 1 1 , , x 2 H u 2 H 1 2 2
② 边界条件
x 1(0) 1 x 1(t f ) 0 , , x 2(0) 2 x 2(t f ) 0
1
在区间 [ 0 ,tf ] ，至少存在一个子区间，[t1 ,t2 ] [t0 ,tf ] t 使得对所有 t [t1 ,t 2 ] ，至少有一个函数
g j ( ) b (x ,t ) ( ) 0 t t
T j
*
则时间最优控制是奇异的，称 [t1 ,t 2 ] 为奇异区间。 3.Bang-Bang控制原理 设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t ) 是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最 优控制为：
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
则最优控制分量应取
1. j (t ) g u (t ) sgn[ gj(t )] 1, j (t ) g
* j
0 0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H (t f ) g
* *
T
g t f
由以上条件知：若g j(t ) 0, 则可以运用极小值原理 , * 确定 u j (t ) ，此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, * u j (t 不确定，可取满足约束条件的 u (t ) 1任意值， ) j 此时称为奇异情况。 2.正常和奇异控制问题 t 设在区间[ 0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
u j (t ) 1,t [0,t f ]
的最优控制u (t ) ，是系统有任意初态(1, 2) ，转移到状 态空间原点（0.0）且使性能指标 tf J 0 u( ) t dt 为最小。设末端时刻 tf 自由。
① 正则方程，哈密顿函数
H u(t ) 1(t )x 2(t ) 2(t ) (t ) u
1
2
2
1
1
对系统进行相平面分析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
0
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ), (t ),t ] 1 ( ) A[x(t ),t ] B[x(t ),t ] (t ) t u
T
规范方程、边界及横截条件分别为:
H x(t ) f(x(t ),t ) B(x(t ),t ) (t ) u H f T [x(t ),t ] B[x(t ),t ] (t ) u (t ) (t ) (t ) x x(t ) x(t ) x(t 0 ) x 0 , g(x(T ),T ) 0
**
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
* *
uj 1
可得 u *(t ) sgn[ B T (x * ,t )(t )] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b (x ,t ),b (x ,t )...., b (x ,t )], j 1.2....m 1 2 m T (x ,t )(t ),j 1, ,...m g (t ) b 2 j j
*
对协态方程积分可得：
1(t ) 1(0) const 2(t ) 2(0) 1(0) t
式中 1(0)和2(0) 为协态初始条件。根据 u (t ) 的数值情况，1(0) 2(0) 为奇异控制或为正常控 和 制.
*
（1）奇异情况 若 (0) 0为满足H *(t ) 0 ,应有 (0) (t ) 1。此时，只 * 能决定 u (t ) 的符号，而无法确定其数值。 （2）正常情况 t 若 (0) 0 ，则2(t ) 2(0) 1(0) 是时间t的线性函数。 这是，2(t ) 1 至多在两个孤立的时刻成立，因而 u *(t )是正常的，为三位控制，且最 燃料最优控制函数 多有两次切换。
t t j j . 2j ,... [ 0 ,tf ],j 1, ,... t t 2 m 0,t t j T * 使有 g j (t ) bj (x ,t )(t ) 2 ,j 1, ,..., 非零，t t j 在时间最优控制是正常的
u (t ) sgn bi (t ) i 1,bT (t ) 0, i 1, ,...m ) ( 2 i
若A有全部实特征值，则 ④ H函数变化率
*
u j (t ) 的切换次数为N≦n-1.
*
H (tf ) 0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能 量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。 若以非负量(t ) 表示燃料的瞬时消耗率，则控制过程中所 tf 消耗的的燃料总量为 F ( ) ,仅考虑如下形式 t dt 0 m 的关系： (t ) c u (t ),c 0
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题 已知受控系统的状态方程为：
x(t ) f(x(t ),t ) B(x(t ),t ) (t ) u
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t), x u j (t ) 1,j 1, ,...r 使系统从初始状态 (t 0 ) x 0 出发， 2 t 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x( f ),tf ] 0 其中g是p维向量函数, tf 且使 J dt tf t 0 最小值的最优控制u(t). t
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
j
源自文库
j
j
j
1
式中 u j (t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系 数，称为比耗。为了保证控制过程中最省燃料，选择燃料 消耗总量作为性能指标 m
*
J
cj u j (t )dt
0
tf
二次积分模型的状态方程： 求满足约束条件
*
x 1(t ) x 2(t ) x 2(t ) u(t )
u *(t ) sgn BT x *(t ), *(t ) t
定理表明，每个控制分量 u j (t ) 恰好在自己的 两个边界值之间来回切换，满足g j(t ) 0,的各 个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
*
线性定常系统的时间最优控制
t t t 设线性定常系统 x( ) Ax( ) Bu( ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u j (t ) 1 j 1, , m ) ( 2 u(t)： 使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点 tf x(tf)=0的时间最短，性能指标为 J 0 dt 在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1 b 令 B[b1 ,b 2 ,... m ] n 2 式中 bi R ,i 1, ,...m . ，当且仅当m个矩阵
定理5 当系统正常是，存在最优解的必要条件为： ① 正则方程
式中哈密顿函数为
② 边界条件
H (t ) * AT *(t ) x
*
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H (x ,,u ) 1 T (t )[Ax(t ) Bu(t )]
x(0) x 0 ,x(t f ) 0 ③ 极小值条件 1,bT (t ) 0, i 1, ,...m ) ( 2 i T *