几种特殊类型函数的积分

2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
2
dx
(
x
3x 1 2)(x 1)
dx
(
x
7
2
x
4
)dx 1
7
x
1
2
dx
4
x
1 dx 1
7ln|x2|4ln|x1|C．
, x
(2)
sin 5 cos4
x x
dx,
(3)
x
2
3x 1 3x
2
dx.
(1)
2
dx cos
, x
解
作变换t
tan
x 2
，则有
dx
2 1 t
2
dt
，
cos
x
1 1
t t
2 2
，
2dt
2
dx cos
x
2 2
2
3
1 t
2
dt
2 3
1
1 (t
d )2
3
t 3
2 arctan t C 2 arctan( 1 tan x) C ．
2 tan x
sec 2
2 x
2 tan x
1
tan
2
2
x
，
2
2
cos
x
cos2
x sin 2 2
x 2
1 tan2 x
2 sec2 x
．
2
在积分中，令tan x u ， 2
则有x2arctan u ， dx
1
2 u
2
du
，
sin
x
1
2u u
2
，
cos
x
1 1
u2 u2
．
例3 求
sin
1 sin x x(1 cos
3
3
3
32
(2)
sin 5 cos4
x x
dx,
解
sin 5 cos4
x x
dx
sin 4 cos4
x x
d
cos
x
(1
cos2 x)2 cos4 x
d
cos
x
(1
2 cos2
x
1 cos4
)d x
cos
x
cos x 2
cos x
1 3 cos3
x
+C ．
(3)
x
2
3x 1 3x
§4．4 几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数 真分式的不定积分 分母是二次质因式的真分式的不定积分
二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 练习
一、有理函数的积分
有理函数的形式：
P(x) Q(x)
a0 xn b0 xm
a1 x n 1 b1 x m1
an1x bm1x
1．真分式的不定积分
求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式 分解，然后化成部分分式再积分．
例1 求
x2
x 3 dx 5x 6
．
解
x2
x
3 5x
6
dx
(x
x3 2)(x
3)
dx
(
x
6
3
x
5
)dx 2
x
1
dx 3
5
x
1
2
dx
6ln|x3|5ln|x2|C．
2．分母是二次质因式的真分式的不定积分
4 2 22
2
三、简单无理函数的积分
例4
求
x 1 dx ． x
解 设 x 1 u ，于是xu21，dx2u du ，从而
x 1 dx
x
u
u 2
1
·2u
du
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(uarctan u )C
2( x 1 arctan x 1) C ．
例5
求
1
dx 3 x
2
2
2
二、三角函数有理式的积分
所谓三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四
则运算所构成的函数，由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x
的有理式表示，故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理
式．而sin x 和cos x 又可表示为：
sin x 2sin x cos x 22
x)
dx
．
解 令u tan x ，则
2 1 sin x dx sin x(1 cos x)
(1
1
2u u
2
)
1
2u u2
(1
1 1
u u
2 2
)
2 1 u2
du
1 2
(u
2
1)du u
1 2
(u2 2
2u
ln
|
u
|)
C
1 tan2 x tan x 1 ln | tan x | C ．