新人教版八年级上册数学总复习勾股定理
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解析 大正方形的面积=c2，小正 方形的面积=(a-b)2.
例5 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=
90， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证： CE⊥BE.
解析 如图，作辅助线，求出各 边长度，借助勾股定理的逆定理 给出证明.
Βιβλιοθήκη Baidu
证明 ∵CF⊥AB，AB∥CD，∠A=90°，
4 问题
勾股定理的逆定理是怎么证明的？
∠C是直角
三？角形全等 A1
b
A cb
△ABC是直角三角形
B1 a C1 B a C
5 问题
一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请 举例说明. 不一定；如“如果两个角是直角，那么它们 相等”，其逆命题为“如果两个角相等，那 么这两个角是直角”，是假命题.
典例解析
例3 一束光线从y轴上点A(0, 1) 出发，经过x轴上点C反射后经 过点B(3, 3)，则光线从A点到B 点经过的路线长是 5 .
解析 作辅助线，利用入射角等于反射角可构建 相似三角形，再进行计算.
例4 我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大 正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方 形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b， 那么(a+b)2的值是 25 .
互逆定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
1 问题
直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2．
2 问题
赵爽是如何证明勾股定理的？他用了什么方 法？
割补法
3 问题
已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不 是直角三角形？你判断的依据是什么？ 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理.
∴四边形ADCF为矩形. ∴FB=AB-AF=2-1=1.
C F B C 2 B F 23 2 1 2 22 A D .
EDAE1AD 2. 2
C E C D 2 D E 2 3 ， B E A B 2 A E 2 6 .
C E 2 B E 2 3 6 9 B C 2 .∴CE⊥BE.
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D. 在△ABC中，AB2+AC2=152+202=252=BC2. ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°.
又∵AB·AC=AD·BC.
∴ A D =1520=12(km )10km 25
∴这条公路不会穿过自然保护区.
一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角
形，且∠B=90°，再测得AC长160米，BC长128米
，则A、B之间的距离为(
A.96米
B.100米
C.86米
D.90米
)A
2.下列命题中，逆命题仍然成立的是( B )
A.全等三角形的面积相等 B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C.同一个角的余角相等 D.等腰三角形是轴对称图形
大家好
章末复习
1.章知识概览 2.勾股定理练习题 3.逆定理练习题
复习目标
1.复习与回顾本章的重要知识点和知识结构. 2.总结本章的重要思想方法及其应用.
复习重、难点
重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关 系.
难点：勾股定理及逆定理的综合运用.
分层复习
回忆本章学习的内容，试着画出知识结构图.
综合应用
7. 如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格 后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西 爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处 有食物，于是便又向东爬1格到B处找到 食物，如果图中每一个方格都是边长为 1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程 是多少？如果蚂蚁从A处沿直线AB到达 B处，则可少爬多远的路程？
例6 如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油 罐建梯子，正好到A点的正上方B点，请你算一 算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是 12米，高是5米)
解析 将油罐沿AB切开铺平，对角 线为最短路线.
解：如图，将油罐侧面展开，
此 时 A B 1 2 25 21 （ 3米 ）
随堂演练
基础巩固
1.如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，
例1 下列各组数中，不是勾股数的是( C )
A.4,3,5
B.5,12,13
C.10,15,18
D.8,15,17
解析 能构成为直角三角形三条边长的三个 正整数称为勾股数.
例2 如图直角三角形中，边长x等于5的三角 形有( B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 用勾股定理算出未知边长度即可.
解：此时蚂蚁爬行的路程是： 8+2+3+6+1=20(cm)， 若蚂蚁从A处沿直线AB到达B处;设由A向 东6格处的点为C(如图所示)， 易知△ABC为直角三角形，
则 A B =A C 2 B C 26 2 8 2 1 0 (c m )
20-10=10(cm). 则可少爬10cm.
如图，已知B、C两个乡镇相距25千米， 有一个自然保护区A与B相距15千米，A 与C相距20千米，以点A为圆心，10千米 为半径是自然保护区的范围，现在要在 B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路， 请问：这条公路是否会穿过自然保护区？ 试通过计算加以说明.
例5 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=
90， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证： CE⊥BE.
解析 如图，作辅助线，求出各 边长度，借助勾股定理的逆定理 给出证明.
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证明 ∵CF⊥AB，AB∥CD，∠A=90°，
4 问题
勾股定理的逆定理是怎么证明的？
∠C是直角
三？角形全等 A1
b
A cb
△ABC是直角三角形
B1 a C1 B a C
5 问题
一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请 举例说明. 不一定；如“如果两个角是直角，那么它们 相等”，其逆命题为“如果两个角相等，那 么这两个角是直角”，是假命题.
典例解析
例3 一束光线从y轴上点A(0, 1) 出发，经过x轴上点C反射后经 过点B(3, 3)，则光线从A点到B 点经过的路线长是 5 .
解析 作辅助线，利用入射角等于反射角可构建 相似三角形，再进行计算.
例4 我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大 正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方 形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b， 那么(a+b)2的值是 25 .
互逆定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
1 问题
直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2．
2 问题
赵爽是如何证明勾股定理的？他用了什么方 法？
割补法
3 问题
已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不 是直角三角形？你判断的依据是什么？ 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理.
∴四边形ADCF为矩形. ∴FB=AB-AF=2-1=1.
C F B C 2 B F 23 2 1 2 22 A D .
EDAE1AD 2. 2
C E C D 2 D E 2 3 ， B E A B 2 A E 2 6 .
C E 2 B E 2 3 6 9 B C 2 .∴CE⊥BE.
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D. 在△ABC中，AB2+AC2=152+202=252=BC2. ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°.
又∵AB·AC=AD·BC.
∴ A D =1520=12(km )10km 25
∴这条公路不会穿过自然保护区.
一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角
形，且∠B=90°，再测得AC长160米，BC长128米
，则A、B之间的距离为(
A.96米
B.100米
C.86米
D.90米
)A
2.下列命题中，逆命题仍然成立的是( B )
A.全等三角形的面积相等 B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C.同一个角的余角相等 D.等腰三角形是轴对称图形
大家好
章末复习
1.章知识概览 2.勾股定理练习题 3.逆定理练习题
复习目标
1.复习与回顾本章的重要知识点和知识结构. 2.总结本章的重要思想方法及其应用.
复习重、难点
重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关 系.
难点：勾股定理及逆定理的综合运用.
分层复习
回忆本章学习的内容，试着画出知识结构图.
综合应用
7. 如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格 后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西 爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处 有食物，于是便又向东爬1格到B处找到 食物，如果图中每一个方格都是边长为 1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程 是多少？如果蚂蚁从A处沿直线AB到达 B处，则可少爬多远的路程？
例6 如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油 罐建梯子，正好到A点的正上方B点，请你算一 算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是 12米，高是5米)
解析 将油罐沿AB切开铺平，对角 线为最短路线.
解：如图，将油罐侧面展开，
此 时 A B 1 2 25 21 （ 3米 ）
随堂演练
基础巩固
1.如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，
例1 下列各组数中，不是勾股数的是( C )
A.4,3,5
B.5,12,13
C.10,15,18
D.8,15,17
解析 能构成为直角三角形三条边长的三个 正整数称为勾股数.
例2 如图直角三角形中，边长x等于5的三角 形有( B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 用勾股定理算出未知边长度即可.
解：此时蚂蚁爬行的路程是： 8+2+3+6+1=20(cm)， 若蚂蚁从A处沿直线AB到达B处;设由A向 东6格处的点为C(如图所示)， 易知△ABC为直角三角形，
则 A B =A C 2 B C 26 2 8 2 1 0 (c m )
20-10=10(cm). 则可少爬10cm.
如图，已知B、C两个乡镇相距25千米， 有一个自然保护区A与B相距15千米，A 与C相距20千米，以点A为圆心，10千米 为半径是自然保护区的范围，现在要在 B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路， 请问：这条公路是否会穿过自然保护区？ 试通过计算加以说明.