第十二章 扭转与弯曲的几个补充问题

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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
二.闭口薄壁截面杆(任意闭口截面
的变厚度薄壁等直杆件)
近似假设：横截面上各点处的 切应力的大小沿壁厚无变化，切 应力的方向与壁厚中线相切。
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§ 12-2
源自文库薄壁杆件的自由扭转
1. 应力的计算公式
由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵
截面取出如图所示的分离体。如果横截面上C 和D两点处 的切应力分别为1和2，则根据切应力互等定理，上下两 纵截面上亦有切应力1和2。
横截面不再保持为平面而发生翘 曲。平面假设不再成立。 自由扭转(纯扭转)——等直杆，两 端受外力偶作用，端面可自由翘曲。
由于各横截面的翘曲程度完全相同，
横截面上只有切应力而无正应力。
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
约束扭转——非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端
面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面
z
y
( b)
d A F
A
R
FSy F
其作用线沿竖直板的中线，如图b所示。
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§ 12-3
弯曲中心的概念
从梁中截取长度为a的一段梁(图c)进行分析，该段梁上
两个反向平行力F组成一个力偶，其矩为
Mx F e
该力偶矩使梁产生扭转。只有当力 F的作用线沿竖直板的中线，Mx=0 时,梁只产生弯曲，不产生扭转。
§ 12-3
弯曲中心的概念
为了分析产生扭转的原因，先分析梁横截面上的切应力。
非对称开口薄壁截面梁横截面上的切应力公式仍为
FS S z Izd
图a所示梁横截面的水平板上和y方 向平行的切应力很小，可以忽略不
FR FSy F
C
计。竖直板上与切应力相应的合力
FR几乎等于横截面的剪力FSy，即
FSy
FSz
y (d) z
FSz
y

z A
(e)
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§ 12-3
弯曲中心的概念
开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小，当横向力不通过弯 曲中心A时，将引起很大的扭转变形，并且当扭转时横截
面不能自由翘曲时，梁中还要产生附加的正应力和切应力，
称为约束扭转。因此研究开口薄壁截面梁的弯曲中心具有 十分重要的意义。弯曲中心是剪力FSy和FSz的交点，其位 置仅取决于截面的形状和尺寸，它是截面的几何量，与外 力的大小和方向及梁的约束等均无关。现将几种截面的弯
思考：P120 1
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§ 12-3
弯曲中心的概念
§12-3 弯曲中心的概念
T字形截面悬臂梁如图a所
C
z y x
F C
示。图中，z为对称轴，y, z轴
为形心主惯性轴。横向力F平 行于y轴，到竖直板中线的距 离为e。试验表明：梁将在xy z e 面内发生平面弯曲，同时还伴
a y (a)
随有扭转。
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G 1 可解得 ：Ti ( 3 hi i3 ) (i 1,2 n) l
记 T T1 T2 Ti Tn Ti
T G 3 ( 1 h (i 1,2 n) 3 i i ) l
则
记
1 n I t hi i3 3 i 1
有

Tl GIt
横截面上短边中点处的切应力：
1 max
相对扭转角：
Tl Tl GIt G hb3
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
2. 狭长矩形截面等直杆
1 由表12 1可见 ，当 m 10 时 , 故有 3
T T max 1 2 Wt 3 h
曲中心位置列于表12－2中。
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§ 12-3
弯曲中心的概念
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§ 12-3
弯曲中心的概念
由表12－2可见:
Ⅰ. 当截面具有一根对称轴时，例如，槽形,开口薄壁圆环,
T字形,等边角形等，其弯曲中心一定位于对称轴上。 Ⅱ. 当截面具有两根对称轴时，例如工字形等，其弯曲中心
和形心位置重合。Z字形截面为反对称截面，其弯曲中心也与
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
Tl GIt
Ti l i 1 3 (i 1,2 n) G 3 hi i
3 1 h Ti l Tl 由 1 3 得 Ti 3 i i T G 3 hi i GIt It
Ti 由假设(2)有 i max 1 2 h 3 i i T i max i It
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
若C 和D 两点处的壁厚分别为1和2，则由该分离体
的平衡条件∑Fx=0有
11d x=22d x
从而知
11 2 2
亦即横截面上沿周边任一点处 为常量。
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
从而有(参见图)：
T r d s r d s 2 A0
（ 2） 不考虑横截面相邻组成部分(矩形)在连接处的 复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分 布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即
i max
Ti Ti 1 Wti 3 hi i2
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
2. 应力及变形的计算公式 由假设(1)有
i
Ti l (i 1,2 n) 3 1 G 3 hi i
加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后 n 1 的相当极惯性矩It： I t h hi i3 3 i 1
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
根据实验结果有：
角钢截面h =1.00,槽钢截面h =1.12,T形钢截面h =1.15， 工字钢截面h =1.20。
对于中线是曲线的开口薄壁杆，计算时可将截面展直， 视为狭长矩形截面处理；如上图右的开口薄壁圆环。
式中：T 为杆的整个横截面上的扭矩，It 为整个横截面的 相当极惯性矩。
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
而整个杆的横截面上的最大切应力max在厚度最大(max)
的那个矩形的长边中点处：
max
T T max n max 1 It 3 h ii 3 t 1
n 1 式中，I t hi i3。对于型钢，由于其横截面的翼缘部分 3 i 1 是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增
s s
式中，A0为壁厚中线所围的面积。
于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计
算公式：
T 2 A0
薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公 式。
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力max在最
小壁厚min处：
T max 2 A0 min
形心位置重合。 Ⅲ. 由两个狭长矩形组成的截面，例如，T字形,等边和不等 边角形等，其弯曲中心位于两狭长矩形中线的交点处。 第十二章完
材料力学结束
T 30 103 179.1 MPa 所以： max Wt 167.5
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
横截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如下左图。
2. 无纵向切缝的杆(薄壁圆筒)
T 30103 6 MP a 2 A0 2 π 402 2 4 横截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如上右图。
上除切应力外还有附加的正应力。 本章研究矩形截面的自由扭转。
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
二. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解
一般矩形截面等直杆
狭长矩形截面等直杆
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
1. 一般矩形截面等直杆 横截面上的最大切应力在长边中点处:
T T max Wt hb 2
注意：开口薄壁截面等直杆横截 面上的最大切应力max是在壁厚 最大的组成部分的长边中点处。
T max T max n 1 It 3 h i i 3 t 1
max
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
2. 变形的计算公式 利用功能原理可求得

其中：
Tl GIt
4 A02 It ds
FSy F
F
z
a
y e (c)
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§ 12-3
弯曲中心的概念
若力F沿梁自由端的z轴，略去竖直板上平行于z方向切应
力，水平板上与切应力相应的合力FR≈FSz，其作用线沿z轴
(图d)。剪力FSy和FSz相交于A点(图e)，A点称为截面的弯曲 中心或剪力中心。当横向力F通过弯曲中心A时，梁只产生弯 曲，不产生扭转。
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材料力学
Mechanics of Materials
长沙理工大学土建学院
文海霞
2017年12月7日星期四
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第十二章 扭转和弯曲的几个补充问题
§12-1 矩形截面杆的扭转 §12-2 薄壁杆件的自由扭转 §12-3 弯曲中心的概念
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§ 12-1
矩形截面杆的扭转
＊§12-1
矩形截面杆的扭转
一. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
面上的最大切应力。
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
解： 1. 有纵向切缝的杆(开口薄壁截面杆)
计算中可将开口环形薄壁截面展开为
狭长矩形截面来处理。
T M e 30 N m
1 2 1 Wt h (d 0 ) 2 3 3 1 ( π 40 ) 2 2 3
167.5mm3

Tl Tl 1 3 GIt G 3 h
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
§12-2 薄壁杆件的自由扭转 一. 开口薄壁截面杆(例如角钢、工字钢和槽钢)
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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
1. 近似假设
（1） 认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分
的扭转角与整个横截面的扭转角相等，即
i , i 1,2n

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§ 12-2
薄壁杆件的自由扭转
例题12-2-1 钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图 所示。已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为Me= 30 N· m，平均
直径d0= 40 mm，壁厚 = 2 mm；试计算：
(1) 该开口环形截面杆横截面上 的最大切应力;
(2) 若该杆无纵向切缝，求横截