1_概率论基础及应用1
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重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
4 条件概率
设A、B是中的两个事件，P(A)>0，则
P( AB) P( B | A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式 计算之外，也可在缩减的样本空间A里直接计算。 条件概率的性质见书P5
正次品
形状 圆形(A)
正品(B)
55
次品(
5
B)
60
90
正方形( A )
80
135
10
15
55 1) P( AB) ; 150
60 2) P( A) ; 150
注意
1) P( B) P( B | A);
55 55 /150 P( AB) 3) P( B | A) 2) P ( AB ) P ( B | A ). 60 60 /150 P( A)
随机试验(E) (1) 在相同条件下可重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能 出现的结果试验前可以确定； (3) 试验之前不能准确预言哪一个结果会出现。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
2 样本空间
★样本点(ω)
随机试验E中可能出现的基本结果。
★样本空间(Ω)
所有样本点组成的集合。如
i ห้องสมุดไป่ตู้1
则称P( A)为A的概率,称(, F , P )为概率空间。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
性质1.1.1
(1) P ( )=0.
(2)(有限可加性) P ( Ai )= P ( Ai ).
n
n
(3) P( A)=1 P( A). (4) P( B A)=P ( B AB)=P ( B) P ( AB). (减法公式). P( BA)=P( B) P( AB). 若A B，则P( B A)=P( B) P( A). (5) (单调性)若A B, 则P( A) P( B). (6) (有界性)A, 有0 P( A) 1. (7) (加法公式) P( A B) P( A) P( B) P( AB).
5 10
4 1 C10 C 30 175 P ( A4 ) 0.0096 5 C40 18278 5 C10 7 P ( A5 ) 5 0.0004 C40 18278 所以： P ( B) P ( A4 ) P ( A5 ) 0.01
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
B
C
5)“三个事件至多有两个发生”表示为 ABC
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
5 事件的运算规则和性质
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
对偶律
A BB A AB BA ( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC ) ( A B)C ( AC ) ( BC ) ( AB) C ( A C )( B C )
AC AC BB BC
A ? BC
BC
AB
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
AB C ?
BC
BC
AB
ABC ABC A( B B)C AC AC
6 事件域
一个样本空间中某些子集及其运算结果组成的集合。
定义 F为样本空间Ω的某些子集所组成的集合，
如果F 满足：
(1) F (2) 若A F, 则A F ； + (3) 若An F, n 1,2,..., 则 An F；
2 几何概率
★定义(几何概率)
样本空间Ω是某个可度量的区域，且基本事件在区 域中是均匀等可能的，某个子区域A构成的随机事 件的概率为 A的几何测度 P ( A) Ω中几何测度 A的发生与几何测度有关而与位置形状无关。
★几何概率的性质
(1)非负性
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
(2)规范性
(3)可列可加性
例2 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候 20分钟过时就离去，试求两人能够会面的概率？ 解：设两人到达的时刻分别为7点x分钟和y分钟。 则0 x 60,0 y 60. y 60 两人能够会面的条件为
x y 20.
所求概率为 602 402 5 p . 2 60 9
40 39 38 37 36 样本空间的样本点总数: n C 5 4 3 21 A4的样本点总数: C 4 C 1 10 9 8 7 30 10 30 4 3 21 1
5 40
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
10 9 8 7 6 A5的样本点总数: C 5 4 3 21
③ 公理化定义 ——1930年后由前苏联数学家 Kolmogorov（柯尔莫哥洛夫）给出
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
概率的统计定义
事件A在随机试验E中可以重复观察 若在n次重复试验中A发生了r 次，则称r/n为A在n次 r 重复试验中出现的频率，记为f n ( A) . n 随n的增加，A发生的频率逼近某个常数p，则定义 A的概率为p， 记为P( A) p. 如：大型足球赛中事件A =“点球射中”, 估算P(A). 观察重大赛事中15382个点球，中11172个 P ( A) f ( A) 11172 / 15382 0.726. ★频率的性质
n i 1
(4) 德摩根律
Ai
n i 1
n
Ai
无消去律 A C B C
AC B C AC BC
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
i 1
Ai
n i 1
Ai
A B A B A B
例2.A, B, C为随机事件, 则( A B) ( B C )等于( )
An 1
乘法公式方便于求解有顺序结构的复合事件的概率。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
性质1.1.4 全概率公式与贝叶斯公式
设A1，…, An是两两互斥的事件组，且P(Ai)>0， (i＝1，…，n)，则对任何事件 B Ai，有
i 1 n
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
全概率公式
P( Aj | B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, ( j 1,
, n)
贝叶斯公式
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
例1.1.2 某个人欲向银行贷款, 银行需要考察他的诚信 度. 如果此人首次贷款, 那么银 行会考察他的现状, 如他的财产情况、工作状况等, 利用这些信息可以估 计他的诚信度, 即按 时还款可能性. 如果此人曾经有 一次贷款没有按期还款, 那么他的诚信度肯定会下降 会下 降多少呢？下面借助贝叶斯公式定量地估计他 的诚信度下降的程度.
i 1
n
A2 A1 A7 A6 A5 A3 A4
A与A为特殊的完备事件组。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
例1.
设A,B,C为三个随机事件，则
1） A发生 2）“A与B发生，而C不发生”表示为 AB C 或 ABC 3）“三个事件都发生”表示为 ABC 4）“三个事件至少有一个发生”表示为A
例如 1）某设备已经使用了10年，问再使用10年的可能性 有多大？ 2）在某部门的抽样检验中，发现了次品，问这件次品 来源于何处？
正次品 正品 55 次品 5
引例
形状 圆形
正方形
80
10
现在从中任取一件，发现是圆形，问这件产品是正品的 概率为多少？
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
分析 假设
A. A C
C . ( A B) C AC BC 解： ( A B) ( B C ) AB
B. A ( B C ) A BC D. ( A B) BC
BC
( A B) BC ( A B)BC ABC
AB AB
A
B
BBC
C
A( B C ) B( B C )
B B B
AB=A 记 对立事件 AB 且A B=
A, B有且只有一个发生。
(5)差事件 A B
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
A B A AB AB
A发生但B 不发生。 A B
(6)完备事件组
n
A1 , ..., An两两互斥且
i 1
Ai 或 Ai
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
性质1.1.3 （乘法公式）
A, B是概率空间的事件，P( A) 0, P( B) 0，则
P( AB) P( A) P( B | A) P( AB) P( B) P( A | B)
称为事件A, B的概率乘法公式.
P( A1 A2
An ) P( A1 ) P A2 A1 P An A1 A2 ( P( A1 A2 An1 ) 0)
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
(1)非负性 (2)规范性 (3)有限可加性
1 古典概率
★古典概率试验：
即 {1 , 2 ,..., n }; (2)等可能性 每个基本事件 {i }发生的可能性相同。 (1)有限性
★定义1.2.1(古典概率)
P ( A)
A中的样本点数 Ω中的样本点数
r n
★古典概率的性质
(1)非负性 P ( A) 0 (2)规范性 P ( ) 1 (3)有限可加性 事件A ,...，A 两两互斥，则P A P( A )
m m 1 m
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
i 1
i
i 1
i
例1．设有40件产品，其中有10件为次品其余为正品， 现从中任取5件，求取出的5件产品中至少有4件次品 的概率？ 解：设：Ai :“取出5件产品恰好有i件次品”， i＝0,1,2,3,4,5； B:“取出的5件产品中至少有4件次品”， 则： B A4 A5 A4 A5 P ( B) P ( A4 ) P ( A5 )
n
i 1
i 1
P(
i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
n
i 1 j ( i j ) 1
n
P( Ai Aj ) ...... (1) n 1 P( A 1A 2 ... A n)
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
问
题
已知一个事件A已经发生，那么另一个事件B也发生的概率？
(1) 掷硬币： { , } 1 2 (2) 某天加你QQ好友的人数： {0,1, 2, 3,...} (3) 电视机的寿命： {t t 0} (4) 某股票的实际涨幅： { x 0.1 x 0.1}
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
3 随机事件
(必然事件)
最小子集φ
(不可能事件)
4 事件之间的关系
(1)子事件 A B A发生必有B 发生。 (2)和事件 A B A,B至少有一个发生。 (3)积事件 A B A,B同时发生。 A
A B A
B A
(4)互斥事件 AB A,B不能同时发生。
B且AB
A
AB
A B B
20
0
20
60
x
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
3 概率的公理化定义
定义1.1.1 E , , F ; A F实值函数P( A)满足：
(1)非负性 P( A) 0； (2)规范性 P()=1 ；
i 1
(3)可列可加性 A1 ,..., An两两互斥, 则P (
Ai )= P ( Ai )
应用数理统计
第1章 概率论基础及应用 主要内容
一、随机事件及概率的基本概念 二、概率的公理化定义及几种特殊定义 三、一维随机变量 四、多维随机向量 五、大数定律和中心极限定理
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1 随机事件及概率
1.1.1 随机事件
1 随机现象
★ 必然现象(确定现象) ★ 随机现象(偶然现象)
★随机事件(A,B,C,…)
某些样本点组成的集合。(样本空间的子集)
★例
(1)掷骰子
{1, 2,...,6}
A {1, 3,5} (2)电视剧的寿命: {t t 0} A "十年以上" {t t 10}
★特殊随机事件
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
最大子集Ω
n=1
则称F 为一个事件域(σ域，或σ代数)。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1.2 概率的定义及性质
★ 统计定义 ★ 古典概率 ★ 公理化定义
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1.2
概率的定义及性质
历史上概率的三次定义 ① 统计定义 ——基于频率的定义 ② 古典定义 —— 概率的最初定义
4 条件概率
设A、B是中的两个事件，P(A)>0，则
P( AB) P( B | A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式 计算之外，也可在缩减的样本空间A里直接计算。 条件概率的性质见书P5
正次品
形状 圆形(A)
正品(B)
55
次品(
5
B)
60
90
正方形( A )
80
135
10
15
55 1) P( AB) ; 150
60 2) P( A) ; 150
注意
1) P( B) P( B | A);
55 55 /150 P( AB) 3) P( B | A) 2) P ( AB ) P ( B | A ). 60 60 /150 P( A)
随机试验(E) (1) 在相同条件下可重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能 出现的结果试验前可以确定； (3) 试验之前不能准确预言哪一个结果会出现。
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2 样本空间
★样本点(ω)
随机试验E中可能出现的基本结果。
★样本空间(Ω)
所有样本点组成的集合。如
i ห้องสมุดไป่ตู้1
则称P( A)为A的概率,称(, F , P )为概率空间。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
性质1.1.1
(1) P ( )=0.
(2)(有限可加性) P ( Ai )= P ( Ai ).
n
n
(3) P( A)=1 P( A). (4) P( B A)=P ( B AB)=P ( B) P ( AB). (减法公式). P( BA)=P( B) P( AB). 若A B，则P( B A)=P( B) P( A). (5) (单调性)若A B, 则P( A) P( B). (6) (有界性)A, 有0 P( A) 1. (7) (加法公式) P( A B) P( A) P( B) P( AB).
5 10
4 1 C10 C 30 175 P ( A4 ) 0.0096 5 C40 18278 5 C10 7 P ( A5 ) 5 0.0004 C40 18278 所以： P ( B) P ( A4 ) P ( A5 ) 0.01
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B
C
5)“三个事件至多有两个发生”表示为 ABC
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5 事件的运算规则和性质
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
对偶律
A BB A AB BA ( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC ) ( A B)C ( AC ) ( BC ) ( AB) C ( A C )( B C )
AC AC BB BC
A ? BC
BC
AB
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AB C ?
BC
BC
AB
ABC ABC A( B B)C AC AC
6 事件域
一个样本空间中某些子集及其运算结果组成的集合。
定义 F为样本空间Ω的某些子集所组成的集合，
如果F 满足：
(1) F (2) 若A F, 则A F ； + (3) 若An F, n 1,2,..., 则 An F；
2 几何概率
★定义(几何概率)
样本空间Ω是某个可度量的区域，且基本事件在区 域中是均匀等可能的，某个子区域A构成的随机事 件的概率为 A的几何测度 P ( A) Ω中几何测度 A的发生与几何测度有关而与位置形状无关。
★几何概率的性质
(1)非负性
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(2)规范性
(3)可列可加性
例2 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候 20分钟过时就离去，试求两人能够会面的概率？ 解：设两人到达的时刻分别为7点x分钟和y分钟。 则0 x 60,0 y 60. y 60 两人能够会面的条件为
x y 20.
所求概率为 602 402 5 p . 2 60 9
40 39 38 37 36 样本空间的样本点总数: n C 5 4 3 21 A4的样本点总数: C 4 C 1 10 9 8 7 30 10 30 4 3 21 1
5 40
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10 9 8 7 6 A5的样本点总数: C 5 4 3 21
③ 公理化定义 ——1930年后由前苏联数学家 Kolmogorov（柯尔莫哥洛夫）给出
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
概率的统计定义
事件A在随机试验E中可以重复观察 若在n次重复试验中A发生了r 次，则称r/n为A在n次 r 重复试验中出现的频率，记为f n ( A) . n 随n的增加，A发生的频率逼近某个常数p，则定义 A的概率为p， 记为P( A) p. 如：大型足球赛中事件A =“点球射中”, 估算P(A). 观察重大赛事中15382个点球，中11172个 P ( A) f ( A) 11172 / 15382 0.726. ★频率的性质
n i 1
(4) 德摩根律
Ai
n i 1
n
Ai
无消去律 A C B C
AC B C AC BC
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i 1
Ai
n i 1
Ai
A B A B A B
例2.A, B, C为随机事件, 则( A B) ( B C )等于( )
An 1
乘法公式方便于求解有顺序结构的复合事件的概率。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
性质1.1.4 全概率公式与贝叶斯公式
设A1，…, An是两两互斥的事件组，且P(Ai)>0， (i＝1，…，n)，则对任何事件 B Ai，有
i 1 n
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
全概率公式
P( Aj | B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, ( j 1,
, n)
贝叶斯公式
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例1.1.2 某个人欲向银行贷款, 银行需要考察他的诚信 度. 如果此人首次贷款, 那么银 行会考察他的现状, 如他的财产情况、工作状况等, 利用这些信息可以估 计他的诚信度, 即按 时还款可能性. 如果此人曾经有 一次贷款没有按期还款, 那么他的诚信度肯定会下降 会下 降多少呢？下面借助贝叶斯公式定量地估计他 的诚信度下降的程度.
i 1
n
A2 A1 A7 A6 A5 A3 A4
A与A为特殊的完备事件组。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
例1.
设A,B,C为三个随机事件，则
1） A发生 2）“A与B发生，而C不发生”表示为 AB C 或 ABC 3）“三个事件都发生”表示为 ABC 4）“三个事件至少有一个发生”表示为A
例如 1）某设备已经使用了10年，问再使用10年的可能性 有多大？ 2）在某部门的抽样检验中，发现了次品，问这件次品 来源于何处？
正次品 正品 55 次品 5
引例
形状 圆形
正方形
80
10
现在从中任取一件，发现是圆形，问这件产品是正品的 概率为多少？
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分析 假设
A. A C
C . ( A B) C AC BC 解： ( A B) ( B C ) AB
B. A ( B C ) A BC D. ( A B) BC
BC
( A B) BC ( A B)BC ABC
AB AB
A
B
BBC
C
A( B C ) B( B C )
B B B
AB=A 记 对立事件 AB 且A B=
A, B有且只有一个发生。
(5)差事件 A B
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A B A AB AB
A发生但B 不发生。 A B
(6)完备事件组
n
A1 , ..., An两两互斥且
i 1
Ai 或 Ai
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性质1.1.3 （乘法公式）
A, B是概率空间的事件，P( A) 0, P( B) 0，则
P( AB) P( A) P( B | A) P( AB) P( B) P( A | B)
称为事件A, B的概率乘法公式.
P( A1 A2
An ) P( A1 ) P A2 A1 P An A1 A2 ( P( A1 A2 An1 ) 0)
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(1)非负性 (2)规范性 (3)有限可加性
1 古典概率
★古典概率试验：
即 {1 , 2 ,..., n }; (2)等可能性 每个基本事件 {i }发生的可能性相同。 (1)有限性
★定义1.2.1(古典概率)
P ( A)
A中的样本点数 Ω中的样本点数
r n
★古典概率的性质
(1)非负性 P ( A) 0 (2)规范性 P ( ) 1 (3)有限可加性 事件A ,...，A 两两互斥，则P A P( A )
m m 1 m
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
i 1
i
i 1
i
例1．设有40件产品，其中有10件为次品其余为正品， 现从中任取5件，求取出的5件产品中至少有4件次品 的概率？ 解：设：Ai :“取出5件产品恰好有i件次品”， i＝0,1,2,3,4,5； B:“取出的5件产品中至少有4件次品”， 则： B A4 A5 A4 A5 P ( B) P ( A4 ) P ( A5 )
n
i 1
i 1
P(
i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
n
i 1 j ( i j ) 1
n
P( Ai Aj ) ...... (1) n 1 P( A 1A 2 ... A n)
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
问
题
已知一个事件A已经发生，那么另一个事件B也发生的概率？
(1) 掷硬币： { , } 1 2 (2) 某天加你QQ好友的人数： {0,1, 2, 3,...} (3) 电视机的寿命： {t t 0} (4) 某股票的实际涨幅： { x 0.1 x 0.1}
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
3 随机事件
(必然事件)
最小子集φ
(不可能事件)
4 事件之间的关系
(1)子事件 A B A发生必有B 发生。 (2)和事件 A B A,B至少有一个发生。 (3)积事件 A B A,B同时发生。 A
A B A
B A
(4)互斥事件 AB A,B不能同时发生。
B且AB
A
AB
A B B
20
0
20
60
x
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
3 概率的公理化定义
定义1.1.1 E , , F ; A F实值函数P( A)满足：
(1)非负性 P( A) 0； (2)规范性 P()=1 ；
i 1
(3)可列可加性 A1 ,..., An两两互斥, 则P (
Ai )= P ( Ai )
应用数理统计
第1章 概率论基础及应用 主要内容
一、随机事件及概率的基本概念 二、概率的公理化定义及几种特殊定义 三、一维随机变量 四、多维随机向量 五、大数定律和中心极限定理
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1 随机事件及概率
1.1.1 随机事件
1 随机现象
★ 必然现象(确定现象) ★ 随机现象(偶然现象)
★随机事件(A,B,C,…)
某些样本点组成的集合。(样本空间的子集)
★例
(1)掷骰子
{1, 2,...,6}
A {1, 3,5} (2)电视剧的寿命: {t t 0} A "十年以上" {t t 10}
★特殊随机事件
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
最大子集Ω
n=1
则称F 为一个事件域(σ域，或σ代数)。
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1.2 概率的定义及性质
★ 统计定义 ★ 古典概率 ★ 公理化定义
重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013
1.1.2
概率的定义及性质
历史上概率的三次定义 ① 统计定义 ——基于频率的定义 ② 古典定义 —— 概率的最初定义