吐血分享：研究生非线性有限元作业(翻译)
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图2.12
图2.13
所有元素的大小可以是近似相同的，如图2.12（b）所示。然而，在图2.13（a）所示的带有孔的平板的应力分析的情况下，就需要使用不同大小的单元了，如图2.13（b）所示。在孔附近（可能出现期应力集中），与离孔远的地方相比，单元的尺寸是非常小的。在一般情况下，无论什么地方，只要这地方空间变量的梯度可能会很大，我们必须在这些区域使用细网格。和单元件的尺寸有关的影响有限元求解的另一个特征因素是单元的纵横比。纵横比描述了单元集合中单元的形状。对于二维单元，纵横比作为单元的最小尺寸与最大尺寸的比值。纵横比接近1的单元通常得到的结果是最好的。
在图2.18中，通过只考虑土壤的有限部分，半无限土壤已经被模拟。在一
图2.17几何形状和受力均匀的坝体
图2.18集中力作用下的地基
图2.19四节点有限单元
些应用中，决定有限区域的大小尺寸可能会产生问题。在这种情况下，人们可以使用无限单元建模。作为一个例子，图2.19显示出了一种在x方向无限长的四节点单元。这无限的单元节点的坐标可以转化为自然坐标系[请参见第4.3.3节为自然坐标系的定义]
学科专业
：
机械设计及理论
所 在 单 位
：பைடு நூலகம்
机械工程学院
Nonlinear finite element analysis
DISCRETIZATION OF THE DOMAIN
by Li Yuan
Supervisor: ProfessorSunJingna
Yanshan University
June, 2013
整体或全局特征矩阵的带宽取决于节点编号策略和每个节点所考虑到的自由度的数量。如果我们可以最大限度地减少带宽，那么存储的要求以及求解时间也可以随之减少。对于任何给定类型的问题，由于每个节点自由的度数一般是固定的，因此，使用适当的节点编号策略，带宽可以最小化。作为一个例子，考虑一个带有刚性接头三交叉框架，如图2.20所示，高20层。假设每个节点有三个自由度，最后的方程中就有240个未知数（不包括固定节点对应的自由程度），并且，如果整个刚度矩阵存储在计算机中，它会
图2.16几何图形和受力对称的孔板
完整的半无限土壤进行理想化。幸运的是，这类问题是不需要把无限体理想化的。由于随着加载点的距离的增加，加载的效果逐渐减小，因此，我们可以只考虑如图2.18（b）所示的加载会产生显著效果的连续加载部分。一旦无限体的显著程度如图2.18（b）图中所示被确定下来，这个有限物体的边界条件就要包括在问题的求解之中。例如，如果水平运动只限制在AB边和CD边（即，u=0），那么这些边都应该在如图2.18（b）图所示的柱状体上面。在这种情况下，底部边界可以完全固定（u=v=0）或只限制垂直方向的运动（v=0）。如果下边界视为基岩表面的已知位置，那么我们就会经常使用固定条件（沿BC边u=v=0）。
在大部分的问题中，例如在梁，板和壳体的分析情况下，物体或连续的边界是可以明确界定的。因此。整个物体，可以考虑为单元的理想化。然而，在某些情况下，例如在水坝，地基和半无限体分析的情况下，边界是不能不明确定义。在水坝（图2.17）的情况下，由于几何体是均匀的，在长度方向上的加载是不变的，大坝的单元界面可以被理想化而被作为和平面应变问题进行分析。然而，在如图2.18（a）所示的地基问题的情况下。我们不能通过有限单元把
2.3.1
通常情况下，物理的问题中使用的单元类型将是显而易见的。例如，如果问题涉及根据一组给定的负载条件下的（图2.8（a））的桁架结构的分析，那么，用于理想化的单元类型显然是“杆或线单元”，如在图2.8（b）所示。同样地，在图2.9（a）所示的短梁的应力分析的情况下，可以通过使用在图2.9（b）中所示的三维实体单元来完成有限单元的理想化。然而，用于理想化的单元类型可能不是显而易见的，在这种情况下，我们就需要进行有判断的选择单
第二章
2.1
在大多数工程问题中，我们需要找到，如位移，应力，温度，压力和速度作为空间坐标（x，y，z）的函数的一个空间变量的值。在瞬态或不稳定状态的问题中，空间变量的值不仅是空间坐标（X. Y，Z）的函数值，也是时间坐标（t）的函数值。所研究问题的几何形状（区域或求解区域）往往是不规则的。有限元分析的第一个步骤涉及把不规则区域离散成较小和规则的的子域，也就是有限的单元。这是相当于用有限数目的自由度的系统来替代有无限多的自由度区域。
非线性有限元分析
Nonlinear finite element analysis
作业题目区域的离散化
作者姓名黎 原
作者学号S12080203030
学科专业机械设计及理论
指导教师孙静娜教授
2013年6月
非线性有限元分析
区域的离散化
硕士研究生
：
黎 原
硕士生学号
：
S12080202030
导师
：
孙静娜教授
图2.2
图2.3两个或四个三角形单元集合成四边形单元
如果所研究物体的几何形状，材料特性，以及其他参数可以由三个独立的空间坐标所描述，我们可以通过使用如图2.4所示的三维单元来对身体进行理想化。基本的三维单元，类似于在二维问情况下的三角形单元，是四面体单元。在某些情况下，六面体单元，它可以通过组装在图2.5中所示的5个四面体而得到，用起来也是很有力的。一些问题实际上是三维问题，它们可以只由一个或两个独立的坐标来进行描述。采用轴对称或环型单元，如图2.6所示，可以对这些问题进行理想化。具有轴对称的问题，如活塞，储罐，阀门，火箭喷嘴以及可重复进入飞行器的热防护罩，都属于这一类问题。
2.3.5
如果物体的特性以及外部条件是对称的，我们可以考虑只对物体的一半进行有限元理想化。然而，对称条件需要考虑到问题的求解过程之中。如图2.16所示，在几何形状和加载载荷都是对称的情况下，只考虑对孔板的一半进行分析。由于沿对称性线AA不能有水平位移，所以在求解的时候需要考虑约束条件：u=0。
2.3.6无限
图2.5五个四面体单元集合六面体单元
图2.6轴对称单元
图2.7带有曲线边界的有限单元
图2.8
图2.9
图2.10受压的薄壁壳
元类型。作为一个例子，如图2.10（a）所示，考虑薄壁壳的分析问题。在这种情况下，外壳可以被理想化了几种类型的单元，如图2.10（b）所示。这里，需要给定自由度的数量，预期的精度，推导出必要的方程的难易程度，以及，没有近似地模拟物理结构所要达到的程度，这种程度将决定选择用于理想化的单元类型。在某些问题中，给定的物体不能表示成只有一种类型单元的集合。在这种情况下，我们可能会使用两种或两种以上的单元进行理想化。飞机机翼的分析就是这样的一个例子。由于机翼由顶盖和底盖，硬化网以及法兰组成，因此，三种类型的单元，即三角形平板单元（用于盖），矩形剪切平板单元（用于腹板），和框架单元（用于凸缘），如图2.11所示，已被应用于理想化。
2.4
从第1章中可以看出，实际问题的有限元分析往往涉及矩阵方程，方程中所包含的矩阵是带状的。由于矩阵的带状性质，大型实用系统的有限元分析的进步已成为可能。此外，因为所涉及的大多数矩阵（例如，刚度矩阵）是对称的，所以，计算机上存储空间的需求大幅减少，因为计算机只需存储所涉及到的半带宽的单元，而不是存储整个矩阵。
前面的方程表明，D应取有最小值，以尽量减少带宽。因此，较短的带宽可以简单地通过为贯穿物体最短距离的节点编号的方式获得。从图2.22中也可以清楚的看到。其中，沿较短尺寸的节点的编号产生的带宽为B =15（D= 4），而沿较长尺寸的编号产生带宽B=63（D= 20）。
当所研究问题的配置和其他细节可以描述成两个独立的空间坐标时，我们可以使用如图2.2所示的二维单元。有益于二维分析的基本单元是三角形单元。虽然通过装配两个或四个三角形单元，如图2.3所示，可以获得的四边形（或
图2.1
它的特殊形式，矩形，平行四边形），但是，在某些情况下，四边形单元（或矩形或平行四边形）的使用证明是有利的。对于平板的弯曲分析，多自由度（横向位移和它的附加位移）用于每个节点上。
2.3.3节点位置
如果物体有没有突然的几何形状，材料特性，外部条件（例如，负载和温度）的变化，那么物体可以分为相等的部分，因此节点的间距也是均匀的。另一方面，如果所研究的问题有任何的不连续性的部分，节点必须在这些不连续的位置引入，如图2.14所示。
图2.14不连续处的节点位置
图2.15不同单元数量的影响
图2.11使用不同类型单元的机翼的理想化
2.3.2元件的大小
单元的尺寸直接影响求解的收敛性，因此它必须小心选择。如果单元的尺寸很小，那么最终的解决方案更准确。然而。我们必须记住，使用尺寸更小的单元，也将意味着更多的计算时间。有时，在同一个研究体中，我们可能要使用不同尺寸的单元。例如，在图2.12（a）所示的箱形梁的应力分析的情况下，
图2.4三维有限单元
对于涉及弯曲的几何形状问题的离散化，弯曲侧的有限元与是有用的。具有弯曲边界的典型单元，如图2.7所示。建立曲线边界模型的能力已经成为可能，该过程可以通过添加中间节点来实现。直边的有限单元被称为线性元素，而那些有曲边的单元被称为高阶单元。
2.3
在离散化过程中应采取的各种考虑因素，会在以下各节中给出。
需要2402=57600个位置。的整体刚度矩阵的带宽（严格来说，是半带宽）是15，因此所需的上半频带的存储空间只有15×240=3600个位置。
在我们试图尽量减少带宽之前，我们讨论计算带宽的方法。对于这一点，我们再考虑如图2.20所示的刚性连接框架。通过将约束应用于除外节点1（接头A）处的数字1外的所有节点的自由度，很明显，强加于1方向的单元位移将要求在与节点A直接连接到的所有节点处（也就是，B和C）的约束力。在这些制约力都不过是在刚度矩阵中出现的交叉刚度，同时，这些力被限制在节点B和C。因此，整体刚度矩阵（图2.21）的第一行中的非零项将被限制的到之前的15个位置处。这样便把带宽（B）定义为：
2.2
单元的形状，大小，数量和配置必须仔细选取，使得原来物体或区域尽可能精确模拟二不增加求解所需要的计算工作量。大多数情况下，不同的单元的选择是由物体的几何形状以及描述系统所需的独立坐标数目来决定的。如果所研究问题的的几何形状，材料属性和空间变量能够由具有一个空间坐标情况来描述，那么我们可以使用图2.1（a）所示的一维的或线的单元。例如，杆（或片）单元的温度分布，管道流体的压力分布以及受轴向载荷作用下的杆单元的变形，都可以使用这些单元进行确定。虽然这些单元具有横截面面积，但它们一般都示意性地示看成线性单元（图2.1（b））。在某些情况下，单元的横截面面积可能是不均匀的。对于一个简单的分析，一维的元素被假定为具有两个节点，每端一个，与空间变量的值相对应，这些变量被看做是未知量（自由度）。然而，对于梁的分析，该空间变量的值（横向位移）及其导数（斜率）的值被选择作为每个节点处的未知量（自由度），如图2.1（c）所示。
有限单元区域的建模可以有多种方法来实现。把所研究区域划分成有限个单元的不同方法的域涉及不同数量的的计算时间，并往往会导致物理问题求解的不同的近似解。离散化的过程本质上是一中工程判断的实践过程。有限元理想化的有效的方法需要一定的经验和简单指引的知识。对于较大的问题，涉及复杂的几何形状，基于手动程序的有限元理想化的分析阶段需要大量的时间和精力。用于网格自动生成某些程序已经被开发，这些程序可以实现复杂区域的理想化，并且能够实现分析区域接口的最小化。
2.3.4
为理想化而选择的单元的编号与所要达到的准确性有关，同时也涉及到单元的尺寸，以及自由度的数目。尽管单元数量的增加通常意味着求解更精确，但对于任何给定的问题，将会有一定数量的单元超出范围，在超出的范围内，增加单元的数量并不能使精度得到改善。这种行为如图2.15所示。此外，由于大量的单元的使用会涉及到大量的自由度，因此，在可用的计算机内存中，我们有可能存储不了所产生的矩阵。
带宽（B）=（任何单元的端部处的编号的自由度之间的最大差异+1）
此定义可以是广义的，其适用于任何类型的有限元：
带宽（B）=（D+1）f
其中，D是发生在组合中所有单元节点编号差异的最大的极大值，f是在每个节点上的自由度的数量。
图2.20
图2.21图2.20框架刚度矩阵的带宽性质
图2.22不用的节点编号策略
图2.13
所有元素的大小可以是近似相同的，如图2.12（b）所示。然而，在图2.13（a）所示的带有孔的平板的应力分析的情况下，就需要使用不同大小的单元了，如图2.13（b）所示。在孔附近（可能出现期应力集中），与离孔远的地方相比，单元的尺寸是非常小的。在一般情况下，无论什么地方，只要这地方空间变量的梯度可能会很大，我们必须在这些区域使用细网格。和单元件的尺寸有关的影响有限元求解的另一个特征因素是单元的纵横比。纵横比描述了单元集合中单元的形状。对于二维单元，纵横比作为单元的最小尺寸与最大尺寸的比值。纵横比接近1的单元通常得到的结果是最好的。
在图2.18中，通过只考虑土壤的有限部分，半无限土壤已经被模拟。在一
图2.17几何形状和受力均匀的坝体
图2.18集中力作用下的地基
图2.19四节点有限单元
些应用中，决定有限区域的大小尺寸可能会产生问题。在这种情况下，人们可以使用无限单元建模。作为一个例子，图2.19显示出了一种在x方向无限长的四节点单元。这无限的单元节点的坐标可以转化为自然坐标系[请参见第4.3.3节为自然坐标系的定义]
学科专业
：
机械设计及理论
所 在 单 位
：பைடு நூலகம்
机械工程学院
Nonlinear finite element analysis
DISCRETIZATION OF THE DOMAIN
by Li Yuan
Supervisor: ProfessorSunJingna
Yanshan University
June, 2013
整体或全局特征矩阵的带宽取决于节点编号策略和每个节点所考虑到的自由度的数量。如果我们可以最大限度地减少带宽，那么存储的要求以及求解时间也可以随之减少。对于任何给定类型的问题，由于每个节点自由的度数一般是固定的，因此，使用适当的节点编号策略，带宽可以最小化。作为一个例子，考虑一个带有刚性接头三交叉框架，如图2.20所示，高20层。假设每个节点有三个自由度，最后的方程中就有240个未知数（不包括固定节点对应的自由程度），并且，如果整个刚度矩阵存储在计算机中，它会
图2.16几何图形和受力对称的孔板
完整的半无限土壤进行理想化。幸运的是，这类问题是不需要把无限体理想化的。由于随着加载点的距离的增加，加载的效果逐渐减小，因此，我们可以只考虑如图2.18（b）所示的加载会产生显著效果的连续加载部分。一旦无限体的显著程度如图2.18（b）图中所示被确定下来，这个有限物体的边界条件就要包括在问题的求解之中。例如，如果水平运动只限制在AB边和CD边（即，u=0），那么这些边都应该在如图2.18（b）图所示的柱状体上面。在这种情况下，底部边界可以完全固定（u=v=0）或只限制垂直方向的运动（v=0）。如果下边界视为基岩表面的已知位置，那么我们就会经常使用固定条件（沿BC边u=v=0）。
在大部分的问题中，例如在梁，板和壳体的分析情况下，物体或连续的边界是可以明确界定的。因此。整个物体，可以考虑为单元的理想化。然而，在某些情况下，例如在水坝，地基和半无限体分析的情况下，边界是不能不明确定义。在水坝（图2.17）的情况下，由于几何体是均匀的，在长度方向上的加载是不变的，大坝的单元界面可以被理想化而被作为和平面应变问题进行分析。然而，在如图2.18（a）所示的地基问题的情况下。我们不能通过有限单元把
2.3.1
通常情况下，物理的问题中使用的单元类型将是显而易见的。例如，如果问题涉及根据一组给定的负载条件下的（图2.8（a））的桁架结构的分析，那么，用于理想化的单元类型显然是“杆或线单元”，如在图2.8（b）所示。同样地，在图2.9（a）所示的短梁的应力分析的情况下，可以通过使用在图2.9（b）中所示的三维实体单元来完成有限单元的理想化。然而，用于理想化的单元类型可能不是显而易见的，在这种情况下，我们就需要进行有判断的选择单
第二章
2.1
在大多数工程问题中，我们需要找到，如位移，应力，温度，压力和速度作为空间坐标（x，y，z）的函数的一个空间变量的值。在瞬态或不稳定状态的问题中，空间变量的值不仅是空间坐标（X. Y，Z）的函数值，也是时间坐标（t）的函数值。所研究问题的几何形状（区域或求解区域）往往是不规则的。有限元分析的第一个步骤涉及把不规则区域离散成较小和规则的的子域，也就是有限的单元。这是相当于用有限数目的自由度的系统来替代有无限多的自由度区域。
非线性有限元分析
Nonlinear finite element analysis
作业题目区域的离散化
作者姓名黎 原
作者学号S12080203030
学科专业机械设计及理论
指导教师孙静娜教授
2013年6月
非线性有限元分析
区域的离散化
硕士研究生
：
黎 原
硕士生学号
：
S12080202030
导师
：
孙静娜教授
图2.2
图2.3两个或四个三角形单元集合成四边形单元
如果所研究物体的几何形状，材料特性，以及其他参数可以由三个独立的空间坐标所描述，我们可以通过使用如图2.4所示的三维单元来对身体进行理想化。基本的三维单元，类似于在二维问情况下的三角形单元，是四面体单元。在某些情况下，六面体单元，它可以通过组装在图2.5中所示的5个四面体而得到，用起来也是很有力的。一些问题实际上是三维问题，它们可以只由一个或两个独立的坐标来进行描述。采用轴对称或环型单元，如图2.6所示，可以对这些问题进行理想化。具有轴对称的问题，如活塞，储罐，阀门，火箭喷嘴以及可重复进入飞行器的热防护罩，都属于这一类问题。
2.3.5
如果物体的特性以及外部条件是对称的，我们可以考虑只对物体的一半进行有限元理想化。然而，对称条件需要考虑到问题的求解过程之中。如图2.16所示，在几何形状和加载载荷都是对称的情况下，只考虑对孔板的一半进行分析。由于沿对称性线AA不能有水平位移，所以在求解的时候需要考虑约束条件：u=0。
2.3.6无限
图2.5五个四面体单元集合六面体单元
图2.6轴对称单元
图2.7带有曲线边界的有限单元
图2.8
图2.9
图2.10受压的薄壁壳
元类型。作为一个例子，如图2.10（a）所示，考虑薄壁壳的分析问题。在这种情况下，外壳可以被理想化了几种类型的单元，如图2.10（b）所示。这里，需要给定自由度的数量，预期的精度，推导出必要的方程的难易程度，以及，没有近似地模拟物理结构所要达到的程度，这种程度将决定选择用于理想化的单元类型。在某些问题中，给定的物体不能表示成只有一种类型单元的集合。在这种情况下，我们可能会使用两种或两种以上的单元进行理想化。飞机机翼的分析就是这样的一个例子。由于机翼由顶盖和底盖，硬化网以及法兰组成，因此，三种类型的单元，即三角形平板单元（用于盖），矩形剪切平板单元（用于腹板），和框架单元（用于凸缘），如图2.11所示，已被应用于理想化。
2.4
从第1章中可以看出，实际问题的有限元分析往往涉及矩阵方程，方程中所包含的矩阵是带状的。由于矩阵的带状性质，大型实用系统的有限元分析的进步已成为可能。此外，因为所涉及的大多数矩阵（例如，刚度矩阵）是对称的，所以，计算机上存储空间的需求大幅减少，因为计算机只需存储所涉及到的半带宽的单元，而不是存储整个矩阵。
前面的方程表明，D应取有最小值，以尽量减少带宽。因此，较短的带宽可以简单地通过为贯穿物体最短距离的节点编号的方式获得。从图2.22中也可以清楚的看到。其中，沿较短尺寸的节点的编号产生的带宽为B =15（D= 4），而沿较长尺寸的编号产生带宽B=63（D= 20）。
当所研究问题的配置和其他细节可以描述成两个独立的空间坐标时，我们可以使用如图2.2所示的二维单元。有益于二维分析的基本单元是三角形单元。虽然通过装配两个或四个三角形单元，如图2.3所示，可以获得的四边形（或
图2.1
它的特殊形式，矩形，平行四边形），但是，在某些情况下，四边形单元（或矩形或平行四边形）的使用证明是有利的。对于平板的弯曲分析，多自由度（横向位移和它的附加位移）用于每个节点上。
2.3.3节点位置
如果物体有没有突然的几何形状，材料特性，外部条件（例如，负载和温度）的变化，那么物体可以分为相等的部分，因此节点的间距也是均匀的。另一方面，如果所研究的问题有任何的不连续性的部分，节点必须在这些不连续的位置引入，如图2.14所示。
图2.14不连续处的节点位置
图2.15不同单元数量的影响
图2.11使用不同类型单元的机翼的理想化
2.3.2元件的大小
单元的尺寸直接影响求解的收敛性，因此它必须小心选择。如果单元的尺寸很小，那么最终的解决方案更准确。然而。我们必须记住，使用尺寸更小的单元，也将意味着更多的计算时间。有时，在同一个研究体中，我们可能要使用不同尺寸的单元。例如，在图2.12（a）所示的箱形梁的应力分析的情况下，
图2.4三维有限单元
对于涉及弯曲的几何形状问题的离散化，弯曲侧的有限元与是有用的。具有弯曲边界的典型单元，如图2.7所示。建立曲线边界模型的能力已经成为可能，该过程可以通过添加中间节点来实现。直边的有限单元被称为线性元素，而那些有曲边的单元被称为高阶单元。
2.3
在离散化过程中应采取的各种考虑因素，会在以下各节中给出。
需要2402=57600个位置。的整体刚度矩阵的带宽（严格来说，是半带宽）是15，因此所需的上半频带的存储空间只有15×240=3600个位置。
在我们试图尽量减少带宽之前，我们讨论计算带宽的方法。对于这一点，我们再考虑如图2.20所示的刚性连接框架。通过将约束应用于除外节点1（接头A）处的数字1外的所有节点的自由度，很明显，强加于1方向的单元位移将要求在与节点A直接连接到的所有节点处（也就是，B和C）的约束力。在这些制约力都不过是在刚度矩阵中出现的交叉刚度，同时，这些力被限制在节点B和C。因此，整体刚度矩阵（图2.21）的第一行中的非零项将被限制的到之前的15个位置处。这样便把带宽（B）定义为：
2.2
单元的形状，大小，数量和配置必须仔细选取，使得原来物体或区域尽可能精确模拟二不增加求解所需要的计算工作量。大多数情况下，不同的单元的选择是由物体的几何形状以及描述系统所需的独立坐标数目来决定的。如果所研究问题的的几何形状，材料属性和空间变量能够由具有一个空间坐标情况来描述，那么我们可以使用图2.1（a）所示的一维的或线的单元。例如，杆（或片）单元的温度分布，管道流体的压力分布以及受轴向载荷作用下的杆单元的变形，都可以使用这些单元进行确定。虽然这些单元具有横截面面积，但它们一般都示意性地示看成线性单元（图2.1（b））。在某些情况下，单元的横截面面积可能是不均匀的。对于一个简单的分析，一维的元素被假定为具有两个节点，每端一个，与空间变量的值相对应，这些变量被看做是未知量（自由度）。然而，对于梁的分析，该空间变量的值（横向位移）及其导数（斜率）的值被选择作为每个节点处的未知量（自由度），如图2.1（c）所示。
有限单元区域的建模可以有多种方法来实现。把所研究区域划分成有限个单元的不同方法的域涉及不同数量的的计算时间，并往往会导致物理问题求解的不同的近似解。离散化的过程本质上是一中工程判断的实践过程。有限元理想化的有效的方法需要一定的经验和简单指引的知识。对于较大的问题，涉及复杂的几何形状，基于手动程序的有限元理想化的分析阶段需要大量的时间和精力。用于网格自动生成某些程序已经被开发，这些程序可以实现复杂区域的理想化，并且能够实现分析区域接口的最小化。
2.3.4
为理想化而选择的单元的编号与所要达到的准确性有关，同时也涉及到单元的尺寸，以及自由度的数目。尽管单元数量的增加通常意味着求解更精确，但对于任何给定的问题，将会有一定数量的单元超出范围，在超出的范围内，增加单元的数量并不能使精度得到改善。这种行为如图2.15所示。此外，由于大量的单元的使用会涉及到大量的自由度，因此，在可用的计算机内存中，我们有可能存储不了所产生的矩阵。
带宽（B）=（任何单元的端部处的编号的自由度之间的最大差异+1）
此定义可以是广义的，其适用于任何类型的有限元：
带宽（B）=（D+1）f
其中，D是发生在组合中所有单元节点编号差异的最大的极大值，f是在每个节点上的自由度的数量。
图2.20
图2.21图2.20框架刚度矩阵的带宽性质
图2.22不用的节点编号策略