高中数学必修三第一章第三节：十进制转换为K进制
高中数学必修三课件(3进位制)
110
101
100
1.除K取余法（十转二）；
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
() =1× + 1× + 1× = ()
() =1× + 1× + 0× = ()
() =1×
示的数。
它的基数为2，进位规则是“逢二进
一”，借位规则是“借一当二”，
由18世纪德国数理哲学大师莱布尼
兹发现。
当前的计算机系统使用的基本上是
二进制系统。
十六进制，我最爱的手游“足球经
理2020移动版”
数字电路用0和1表示开关、是否
如：存储大小
1T=1024G=
能利用数据库编辑器修改各项数据对
+
1× =
() =1× = ()
()
11
10
1
十进制
二进制
0
二进制
位权
2.加权求和法（二转十）
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
2 8
2 4
22
21
0
余数
0
0
0
1
2 7
2 3
21
20
余数
1
1
1
例题讲解
∵ () < ()
∴ () < ()
导图小结
框图
语句
含义
算法
进位制
逢n进一
十进制转
其他进制
除K取余法
其他进制
转十进制
加权求和法
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
高中数学必修三《进位制》课件
都是大于1的整数.
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字
十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
注:为了区分不同的进位制，常在数的右下角 标明基数，十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10) 七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
=81+18+6+1=106.
十进制数化为二进制数：
例 把89化为二进制数。 解：
把上式各步所得的余数 从下到上排列， 得到89=1011001（2）
除2取余法
2 89 2 44 2 22 2 11
25 22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
可以推广为把十进制数化为k进制 数的算法，称为除k取余法。
复习：
1、辗转相除法和更相减损法 2、秦九韶算法
案例3：进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而 约定的计数系统。
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进 制数，它的数值部分是十个不同的
数字符号0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9 来表示的。
其它进制：
满二进一，就是二进制；满七进一，就是 七进制；满十二进一，就是十二进制； 满 六十进一，就是六十进制
110011(2)= 1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 + 1×21+1 ×20
7342(8)= 7×83+3 ×82+4 ×81+2×80
anan1 a1a0(k )
注意这是一个n+1位数.
高一数学必修3知识点
高中数学必修3知识点第一章 算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：2. 算法的特点:(1)有限性；(2)确定性；(3)顺序性与正确性；(4)不唯一性 ；(5)普遍性； 1.1.2程序框图（一）构成程序框的图形符号及其作用（二）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框 指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。
2、条件结构：条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
依据条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。
无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。
一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
1.2.1输入、输出语句和赋值语句1一般格式2、输出语句： 一般格式3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。
赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。
1．2．2条件语句1、条件语句的一般格式：IF 语句的一般格式为图1图1图2IF 语句的最简单格式为图3，对应的程序框图为图4。
1．2．3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。
一般程序设计语言for 语句和while 语句。
1、while 语句（1）while 语句的一般格式是（2）2、for 语句for 语句的一般格式是 对应的程序框图是（图3）1.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。
十进制转k进制的算法
十进制转k进制的算法一、引言十进制和k进制是数学中常见的表示方式，而在计算机科学中经常需要进行进制转换。
本文将介绍一种用于将十进制数转换为k进制数的算法，旨在帮助读者理解和应用这一转换过程。
二、背景知识1. 十进制：十进制是指使用0-9这10个数字来表示数值的方法。
每个数字的权值是10的幂次，例如1234表示1×10³ + 2×10² + 3×10¹ + 4×10⁰。
2. k进制：k进制是指使用0至k-1这k个数字来表示数值的方法。
每个数字的权值是k的幂次，例如二进制表示法中的1011表示1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰。
三、算法描述1. 将十进制数按照k进行除法运算，得到商和余数。
2. 将余数作为k进制数的最低位数字，将商作为新的十进制数。
3. 重复步骤1和步骤2，直到商为0。
4. 将得到的k进制数的各位数字按照从低位到高位的顺序排列，即为最终结果。
四、算法示例为了更好地理解算法，我们以将十进制数27转换为八进制数为例进行演示。
1. 将27除以8，得到商3和余数3。
此时余数即为八进制数的最低位数字。
2. 将商3作为新的十进制数，重复步骤1。
- 将3除以8，得到商0和余数3。
余数即为八进制数的次低位数字。
3. 最终结果为八进制数33。
五、算法分析1. 时间复杂度：该算法的时间复杂度为O(logk(N))，其中N为十进制数，k为目标进制。
2. 空间复杂度：该算法的空间复杂度为O(logk(N))，其中N为十进制数，k为目标进制。
六、应用场景1. 进制转换：该算法可以用于将十进制数转换为其他进制数，如二进制、十六进制等。
2. 数据存储：计算机中的数据存储通常使用二进制表示，但在某些场景下，如数据库中的ID生成，可能需要使用其他进制表示。
七、总结本文介绍了一种将十进制数转换为k进制数的算法，通过不断进行除法运算和取余操作，最终得到目标进制的表示结果。
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
高中数学《进位制(第3课时)》教案 新人教版必修3
福建省长乐第一中学高中数学必修三《进位制（第3课时）》教案
【课程标准】通过阅读中国古数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.
【教学目标】1.应用类比的方法理解k进制的有关概念（与学生熟悉的十进制类比）；
2.通过实例分析k进制与其他进制的互化，让学生归纳到一般的情形.
【教学重点】十进制与其它进制的互化
【教学难点】十进制化为其它进制
【教学过程】
一、进位制的有关概念
1. 进位制
2. 基数
3. k进制的表示
二、十进制与其它进制的互化
1.把k进制的数化为十进制的数的方法是：先把这个k进制的数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.
2.把十进制的数化为k进制的数的方法，即除k取余法：用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数. 三、知识应用
例1：（课本第34页例4）把二进制数110011（2）化为十进制数.
例2：（课本第35页例5）把89化为二进制数.
例3：（课本第35页例6）把89化为五进制数.
练习1：把二进制数101101101（2）化为十进制数.
练习2：把二进制数101101101（2）化为八进制数.
四、课堂小结
1. k进制的数与十进制的数互化的方法；
2. k进制的数之间互化时，先化为十进制的数，再化为其它进制.
五、作业
1.（课本第38页习题1.3A组第4题）
2. 求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的体积.为该问题设计一个算法并分别画出程序框图.
3.（课本第40页复习参考题A组第3题）
4.（课本第40页复习参考题A组第5题）。
【课件】人教版必修3《1.3-3K进制化十进制》
思考5:上述把 k进制数
开始
输入a，k，n
a = anan - 1 L a2a1(k ) 化为十进制数 b的算法的程 序框图如何表 示？
b=0
i=1
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t· k i- 1 i=i+1
i>n?
是 输出b 结束
否
思考6:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入a，k，n
b=0
思考5:一般地，如何将k进制数 anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基 数k的幂的乘积之和的形式？
anan - 1 L a1a 0(k ) = an ? k
n
an - 1 ? k
n- 1
L + a1 ? k
1
a0 ? k
0
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0， 1+1的值分别是多少？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么 二进制、五进制、七进制分别使用哪些 数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制 中10表示2.一般地，若k是一个大于1的 整数，则以k为基数的k进制数可以表示 为一串数字连写在一起的形式： anan-1…a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1， a0的取值范围如何？
i- 1
思考4:按照上述思路，把k进制数 a = anan - 1 L a2a1(k ) 化为十进制数b的算法 步骤如何设计？
第一步，输入a，k和n的值. 第二步，令b=0，i=1.
第三步， b = b + ai ? k
i- 1
，i=i+1.
第四步，判断i>n 是否成立.若是，则 输出b的值；否则，返回第三步.
十进制数化为k进制数
2.通过k进制数与十进制数的转化， 我们也可以将一个k进制数转化为另一个 不同基数的k进制数.
长 沙 市 第 七 中 学 高 中 数 学 教 研 组
孙 贤 忠
作业： P45练习：3. P48习题1.3A组：3(2)， (4).
长 沙 市 第 七 中 学 高 中 数 学 教 研 组
Байду номын сангаас
孙 贤 忠
孙 贤 忠 第 七 中 学 高 中 数 学 教 研 组
191=1231（5）
思考:若十进制数 a 长 沙 除以2所得的商是q0，余数是r0， 市 第 即a=2·q0+ r0； 七 中 学 高 q0除以2所得的商是q1，余数是r1， 中 数 即q0=2·q1+ r1； 学 教 研 …… 组 qn-1除以2所得的商是0，余数是rn， 即qn-1= rn， 孙 贤 那么十进制数a化为二进制数是什么数？ 忠
思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框 长 开始 沙 图如何表示？ 市
输入a，k
求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q
第 七 中 学 高 中 数 学 教 研 组
否 q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束
孙 贤 忠
思考4:该程序框图对应的程序如何表述？
n- 1
长 沙 市 第 七 中 学 高 中 数 学 教 研 组
an - 1 ? k
n- 2
L + a2 ? k
1
a1 ? k
0
孙 贤 忠
2.利用k进制数化十进制数的一般算 长 沙 式，可以构造算法，设计程序，通过计 市 第 七 算机就能把任何一个k进制数化为十进制 中 学 高 数.在实际应用中，我们还需要把任意一 中 数 学 个十进制数化为k进制数的算法，对此， 教 研 我们作些理论上的探讨. 组
高中数学必修三知识点大全
知识点串讲必修三第一章：算法1. 1.1 算法的概念1、算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
2、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
解析：根据质数的定义判断解：算法如下：第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
3、一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
解：算法或步骤如下：S1 人带两只狼过河；S2 人自己返回；S3 人带一只羚羊过河；S4 人带两只狼返回；S5 人带两只羚羊过河；S6 人自己返回；S7 人带两只狼过河；S8 人自己返回；S9 人带一只狼过河．1．1．2程序框图1、基本概念：（1的流程图的首末两端必须是起止框。
（2表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。
（3（4判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支。
2、顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
3、已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
解：程序框图：24、条件结构：根据条件选择执行不同指令的控制结构。
1.3.3算法案例教案(3)——进位制
新课程人教A版数学必修（Ⅲ）教案1.3 算法案例——进位制一、教学目标：1.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，掌握不同进位制之间的互化，并理解其中的数学规律。
3.能写出进位制之间的互化程序，理解数学算法与计算机算法的区别。
二、教学重点：各进位制表示数的形式（方法）及各进位制之间的转换。
三、教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计。
学法：学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
四、教学过程1、【问题引入】我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。
比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制，旧式的称是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......阅读课本P32--33，思考以下问题：（1）、什么是进位制？（2）、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．（3）、不同的进位制之间又又什么联系呢?2、【知识讲解】（1）进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，它用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
约定满二进一，就是二进制；满六十进一，就是六十进制；也就是说“满k进一”，就是k进制；可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。
k进制需要使用k个数字。
比如现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
如：23450123105104103102⨯+⨯+⨯+⨯=。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
高中数学人教A版必修三第一章.3进位制-算法案例ppt课件
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
89 余数
=81+18+6+1=106.
44
1
0
3
11
0
解:第一步:先把三进制数化为十进制数:
按照十进制数的运算规则计算出结果，
1
0
22
0
结果就是十进制下该数的大小了.
∴ 89=324(5)
2
1
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=1101010(2).
课堂小结
1.几进制的基数就是几，基数都是大于1的数.
89=1011001(2)
11
0
17
4
∴ 89=324(5)
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
ABຫໍສະໝຸດ CDEF
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
数的进制转换
第1章 信息技术概述
例：将十进制数(14.125)10转换为二进制数。
整数部分转换如下： 整数部份结果: 1110
余数
2 14 27
0
二进制整数部份低位
1
23
1
21 0
1
二进制整数部份高位
第1章 信息技术概述
十进制小数转换成二进制小数：纯小数转换，采用基 数连乘法。方法如下：
（1）将十进制小数乘以 2 ，记下整数部分。 （2）将上一步乘积中的小数部分再乘以 2，记下整数
第1章 信息技术概述
注意：在计算机中数据的处理不是以“原码” 的 形式，而是以“补码”的形式存在的。
在微处理机中，为了统一加减法运算规则，一 般都不设置专门的减法电路。遇到两个数相减时， 处理器就自动地将减数取补，而后将被减数和减数 的补码相加来完成减法运算。
补码的求法：
1、正数的补码和原码相同。
第1章 信息技术概述
3）二进制数和十进制数的转换
a) 二进制数转换成十进制数： 只需将二进制数的每一位乘上其对应的权值后
累加起来即可。
例如：
(101.01)2= 1×22＋0×21＋1×20＋0×2 -1＋1×2-2 =(5.25)10
b)十进制数转换成二进制数：
整数部分除以二取余法，小数部分乘二取整法。
部分。 （3）重复（2），直到小数部分为 0 , 或者满足精度要
求为止。 （4）将各步求得的整数转换成 2 进制的数码，并按照
和运算过程相同的顺序排列起来，即为所求的 2 进制小数。
第1章 信息技术概述
小数部分转换如下： 小数部份结果: . 001
整数
0.125
×2
二进制小数首位
人教A版数学必修三教案：§1.3算法案例(进位制)
1.3第3课时案例3 进位制（一）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.（三）应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.（四）知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．（六）课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.（七）作业习题1.3A组3、4.。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
高中数学必修三第一章第三节：十进制转换为K进制
思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框 图如何表示？ 开始
输入a，k
求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q
否 q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束
思考4:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入a，k 求a除以k的商q
求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列 a=q
2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以 将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数.
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作业： 1.Ｐ45.3 Ｐ48.B.1
P50.A.6 2.Ｐ48.3
练习册
思考1：上述方法也可以推广为把十进制数 化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么 十进制数191化为五进制数是什么数？
余数 1 3 2 1
5 5 5 5பைடு நூலகம்
191 38 7 1 0
191=1231（5）
练一练
1 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 余数
4
4 4 4
114
28 7
4 5
30241（5）=5450（7）
思考2:利用除k取余法，将十进制数a化 为k进制数的算法步骤如何设计？ 第一步，输入十进制数a和基数k的值. 第二步，求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步，把所得的余数依次从右到左排 列. 第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到 的k进制数.
1.3 算法案例
十进制转换为K进制：
吉林省白山市解放中学 宋丽萍
除2取余法
例1 把89化为二进制数 分析：采取 “满二进一” 的原则，可 以先解课本 中的第一种 解法
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作业： 1.Ｐ45.3 Ｐ48.B.1
P50.A.6 2.Ｐ48.3
练习册
4 5
30241（5）=5450（7）
思考2:利用除k取余法，将十进制数a化 为k进制数的算法步骤如何设计？ 第一步，输入十进制数a和基数k的值. 第二步，求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步，把所得的余数依次从右到左排 列. 第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到 的k进制数.
1.3 算法案例
十进制转换为K进制：
吉林省白山市解放中学 宋丽萍
除2取余法
例1 把89化为二进制数 分析：采取 “满二进一” 的原则，可 以先解课本 中的第一种 解法
2 2 2 2 2 2 2 89 48 22 11 5 2 1 0 余数 1 0 0 1 1 0 1
注意：1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的 余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）
否 q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数
结束
INPUT a，k b=0 i=0 DO q=a/k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
小结:
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数 化为k进制数，并且操作简单、实用.
思考1：上述方法也可以推广为把十进制数 化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么 十进制数191化为五进制数是什么数？
余数8 7 1 0
191=1231（5）
练一练
1 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 余数
4
4 4 4
114
28 7
思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框 图如何表示？ 开始
输入a，k
求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q
否 q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束
思考4:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入a，k 求a除以k的商q
求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列 a=q
2 2 0 3
1
6 6 6 6
458 76 12 2 0
余数
2 4
0 2
1 0
458=13022（4）=2042（6）
k进制转换为其它进制
例2 将五进制数3241（5）转化为七进制数.
30241（5） =3×54+2×52+4×5+1=1946.
余数 0
7 7
7 7
1946 278 39 5 0
5