绝对值三角不等式

综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
分析法： 只需证 a b 2 ( a b )2 成立 即证a2 b2 2ab a 2 b 2 2 a b 即证ab a b ab a b明显成立， a b ( a b )成立 (当ab 0时，等号成立，)
a b ab a b
例1、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
当a b 0时，a b a b
a b ab (当且仅当ab 0时等号成立) ab a b (当且仅当ab 0时等号成立)
绝对值三角不等式：
a b ab a b
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
rr 如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
a b ab a b
应用二：求最值
1.求 x 3 的x最 9小值
解：由绝对值三角不等式 x 3 x 9 (x 3) (x 9) 6 当且仅当(x 3)(x 9) 0 即3 x 9时取到最小值
2.求 x 3 的x最 9大值
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
复习回顾： 实数 a 的绝对值的意义:
a (a 0) ⑴ a 0 (a 0) ;（定义）
， a (a 0)
注：绝对值的几何意义:
a
⑴ a 表示实数 a 在数轴上对应的点与原点的距离; g
g
O
A
(2) a b 表示数轴上的实数 a 对应的点 A 与实数 b 对应
ab a b (当且仅当ab 0时等号成立)
② a b 与 a b 之间有什么关系？
oa b
ba o
b
oa
ao
b
当a 0,b 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
解：由绝对值三角不等式
x 3 x 9 (x 3) (x 9) 6 求 当且仅当(x 3)(x 9) 0
即x 3或x 9时等号成立 x3 x9 6 当且仅当x 9时取到最大值
练习：
1、
2、
x4 3 x
3、
4、
_______
思考：1、在这个不等式里 ,a,b 替换成哪些量，不等式仍成立？
式子，向量，复数
思考：2、若用 b 替换 b ，不等式是什么样的？等号什么时候成立？
a b a (b) a b a b ab a b
ab 0时等号成立
a b ab a b
ab 0时等号成立
a b ab a b