3-载流子输运现象

hv Pn(x) 0 Pn(0) x
获得一个新解
Pn0 0
L p D p p
x
dp J p q p pE qD p dx
q[ pn (0) pn 0 ]
W
p J p qDp n 中令E=0，得扩散电流为： x
Dp
1
Lp sinh( W ) Lp
表面的少数载流子 光照下，当表面复合在半导体样品的一端发生时，从半导 体内部流至表面的空穴电流密度为qUs，如图。假设样品均匀 光照，且载流子均匀产生。表面复合将导致在表面具有较低的 载流子浓度。这个空穴浓度的梯度产生了一个等于表面复合电 流的扩散电流密度。因此在x=0处的边界条件为 dpn qDp qU s qSlr [ pn (0) pn 0 ] dx x 0 hv
半导体器件物 理与工艺
载流子输运现象

载流子漂移与扩散 产生与复合过程 连续性方程式 热电子发射、隧穿及 强电场效应
连续性方程式（continuity equation） 方程的内涵： 描述半导体物质内当漂 移、扩散及复合同时发生时 的总和效应的方程式。 导出：
连续性方程
In
V
dx Rn Jn(x) Gn x x+dx Jn(x+dx)
D
A

原则上，上述各式加上适当的边界条件只有一个唯一解。由于 这组方程式的代数式十分复杂，大部分情形在求解前，都会将 方程式以物理上的近似加以简化。
连续性方程
单边稳态注入 如图显示一个n型半导体 由于光照而使得超量载流子 由单边注入的情形。假设光 的穿透能力很小而可忽略（ 亦即假设对x>0而言，电场及 产生率为零）。在稳态下， 表面附近存有一浓度梯度， 由
EvqVn半导Fra bibliotek (a) 隔离N型半导体的能带图
}
q
适合热电子发射 电子分布
qVn (b) 热电子发射过程
Ec Ef Ev
连续性方程
描述与表征 能量高于qχ的电子浓度可通过类似于导带电子浓度的表示 法来获得，不过积分的下限为qχ ，而非EC，即
q( Vn ) nth n( E )dE N c exp[ ] q kT
n
隧穿过程 对于E<qV ，上式的解为
0
( x) Fe x Ge x .
其中
2mn (qV0 E ) / 2
一个跨过势垒的波函数的如图(c)所示。根据边界条件的需求， 在x=0及x=d处，Ψ及dΨ/dx的连续性提供了五个系数（A、B、C 、F及G）间的四个关系，可解出隧穿系数(C/A)2： 1
10E6
右图为在硅晶中测量到的电子与 空穴漂移与电场的函数关系。显 然，最初漂移速度与电场间的依 存性是线性的，这相当于固定的 迁移率。当电场持续增加，漂移 速度的增加速率趋缓。在足够大 的电场时，漂移速度趋近于一个 饱和速度。
8 漂 移 速 度
Vn =UnE
电子
6 4
Vp=UpE 空穴
(cm/s)
注入表面
hv Pn(x) 0 Pn(0) x
Pn0 0
L p D p p
x
pn pn 2 pn p pn 0 E pn p pE Dp Gp n t x x x2 p
连续性方程
半导体内少数载流子的微 分方程式为
注入表面 hv
pn pn pn pn 0 0 Dp 2 t x p

其中NC为导带中等效态密度, Vn为导带底部与费米能级间的差 值。
例 8 ： 一 n 型 硅 晶 样 品 ， 具 有 电 子 亲 和 力 qχ=4.05eV 及 qVn=0.2eV，计算出室温下被热电子式地发射的电子浓度nth。 假如我们将等效的q χ降至0.6eV, nth为多少？ 解: 根据上式，得：
表面复合
连续性方程
N型
在x=∞的边界条件为
0 Pn(x)
x
pn pn0 pGL
因此在稳态下，微分方程式为
pn pn p pn0 0 Dp GL n t x2 p
2
Pn(0) Pn0 0
p G L
连续性方程 以上述的边界条件求得方程式的解为
S e Lp p lr pn ( x) pn 0 pGL 1 Lp p Slr 右图为对一有限的S1r 值上面 表面复合 方程式解的图示。当S1r →0， 0 则 pn(x)→pn0+τ p G L ， 当 S1r →∞，则 Pn(x)
真空能级 d
qV0
Ec
Ef Ev
Ec
Ef Ev
(a) 距离为d的两个隔离半导体的能带图 能量qV(x) qV0
B
A E 0 (b) 一维势垒
C x
隧穿过程
隧穿机理 基于图(a)，图(b)中重新画出 其一维势垒图。首先考虑一个粒 子(如电子)穿过这个势垒的隧穿系 数。在对应的经典情况下，假如 粒子的能量E小于势垒高qV0 ，则 粒子一定会被反射。而我们将看 到在量子的情况下，粒子有一定 的几率可穿透这个势垒。
因此，电子的基本连续性方程式为
连续性方程
n 1 J n Gn Rn t q x
对空穴亦可导出类似的连续性方程式，不过上式右边的第一项 的符号必须改变，因为空穴的电荷为正。 p 1 J p G p Rp t q x 将
dn J n q n nE qDn dx
连续性方程
pn 2 pn pn pn 0 0 Dp 2 t x p
W x sinh L p pn ( x) pn 0 pn (0) pn 0 W sinh L p 在x=W处的电流密度为式
注入表面
连续性方程
In
V
dx Rn Jn(x) Gn x x+dx Jn(x+dx)
面积=A
J n x A J n x dxA n Adx Gn Rn Adx t q q
其中A为截面积，而Adx为薄片的体积，对于在x+dx处的电流以 泰勒级数展开表示，则： J n J n ( x dx ) J n ( x) dx x
2 C [qV0 sinh( d )] . 1 4 E (qV0 E ) A 2
(x)
隧穿系数随着E的减小而单调递减 。当βd>>1时，隧穿系数变得十分 小，且随以下形式而变： 1 2 CC 2 [qV0 sinh( d )]2 2mn (qV0 E) exp( 1 2 d ) exp[2d. A 4 E (qV E )
pn pn 2 pn pn pn 0 E pn p pE Dp Gp 2 t x x x p
连续性方程
除了连续性方程式外，还必须满足泊松方程式：
dE s dx s
其中空间电荷密度为带电载流子浓度及电离杂质浓度的代数和 ，即
s q p n N N
J p q p pE qD p
dp dx
U
pn pn 0
p
代入上述二式
连续性方程
对一维的小注入情形，少数载流子（亦即p型半导体中的 np，或n型半导体中的pn）的连续性方程式为
np np 2np np np 0 E np n n E Dn Gn 2 t x x x n
x

hv N型 x
pn ( x) pn 0 pGL 1 e

x
Lp

Pn(0) Pn0
p G L
可见，表面的少数载流子浓 度趋近于它的热平衡值。
0
热电子发射 热电子发射过程(thermionic emission process)
概念：
在半导体表面上，假如载流子具有足够的能量，它们可能会被 发射至真空能级，这称为热电子发射过程。
真空能级
热电子发射与能带关系：
图(a)显示一个被隔离的n型半导体 的能带图。电子亲和力为qχ为半导 体中导带边缘与真空能级间的能量 差；而功函数qs则为半导体中费米 能级与真空能级间的能量差。由图 (b)可见，假如一个电子的能量超过 qχ ，它就可以被热电子式发射至真 空能级。
真空
q
qs
Ec Ef
可见在300K时，当qχ=4.05时并没有电子被发射至真空能级。 但当qχ降至0.6eV，就会有大量的热电子被发射。热电子发射 过程对于金属-半导体接触尤其重要。
隧穿过程
现象描述
图(a)显示当两个隔离的半导体 样品彼此接近时的能带图。它们之 间的距离为d，且势垒高qV0 等于电 子亲和力qχ。假如距离足够小，即 使电子的能量远小于势垒高，在左 边半导体的电子亦可能会跨过势垒 输运，并移至右边的半导体。这个 过程称为隧穿。
2
0
Si (300K) 0 1 2 E(V/cm) 3 4E4
实验规律
强电场效应
s
实验结果可由下列经验式来加以近
n , p
[1 ( E0 / E ) ]
1/
,
其中vs为饱和速度(对硅:300K时为107cm/s)；E0为一常数，在高 纯度的硅晶物质中，对电子而言，此常数等于7×103V/cm，而 对空穴而言，此常数等于2×104V/cm。对电子而言，为2；对 空穴而言，为1。对于沟道非常短的场效应晶体管(FET)，在强 电场下速度的饱和最有可能发生，即使在一般的电压下，亦可 在沟道中形成强电场。
A
0
0
d
x

2
].
为得到有限的隧穿系数，需要一个小的隧穿距离d，一个低的 势垒qV0和一个小的有效质量mn 。
强电场效应
现象
在低电场下，漂移速度线性正比于所施加的电场，此时我们假设碰撞间 的时间间隔τc与施加的电场相互独立。只要漂移速度足够小于载流子的热速 度，此即为一合理的假设。硅晶中载流子的热速度在室温下约为107cm/s。当 漂移速度趋近于热速度时，它与电场间的依存性便开始背离线性关系。
nth (4.05eV ) 2.86 1019 exp( 4.05 0.2 ) 2.86 1019 exp( 164)cm3 0.0259
连续性方程
1052 cm3 0,
nth (0.6eV ) 2.86 1019 exp( 0.6 0.2 ) 2.86 1019 exp( 30.9)cm 3 0.0259 1106 cm3 .
隧穿过程
( x) Ae Be
jkx
jkx
, x 0;
和
( x) Ce jkx , x d .
其中k= 2mn E / 2 。对于x≤0，有一个入射粒子波函数(振幅为A)及 一个反射的波函数(振幅为B)；对于x≤d，有一个传导的波函数( 振幅为C)。 在势垒中，波动方程式为 2 2 d 2 2mn (qV0 E ) d . 或 qV0 E , 2 2 2 dx 2m dx
2
Pn(x) 0 Pn(0)
x
Pn0 0
L p D p p
x
边界条件为pn(x=0)=pn(0)=常数，且pn(x→∞)=pn0。pn(x)的 解为
pn ( x) pn 0 [ pn (0) pn 0 ]exp( x ) Lp
其中 L p
D p p ，称为扩散长度。
对下图厚度为W的样品，使在x=W处的所有超量载流子都 被取出，存在第二个边界条件，也就是pn(W)=pn0，则式：
真空能级 d Ec Ef qV0 Ec Ef
Ev
(a) 距离为d的两个隔离半导体的能带图 能量qV(x) qV0 B C
Ev
A
E 0 (b) 一维势垒
x
粒子(如导电电子)在qV(x)=0区域中的行为可由薛定谔来描述，即 2mn E d 2 2 d 2 2 . 或 E , 2 dx 2 2mn dx 其中mn 为有效质量，ћ为约化普朗克常数，E为动能，Ψ为粒子 的波函数，其解为
面积=A
如图，考虑一个位于x、厚度为dx的极小薄片。薄片内的 电子数会因为净电流流入薄片及薄片内净载流子产生而增加。 整个电子增加的速率为四个成分的代数和，即在x处流入薄片 的电子数目，减去x+dx处流出的电子数目，加上其中电子产生 的速率，减去薄片内与空穴的复合率。
前两个成分可将薄片每一边 的电流除以电子的带电荷量 而得到，而产生及复合率则 分别以Gn及Rn表示之。薄片 内所有电子数目的变化速率 则为