自然数拆分求积最大

（一）前言
数学就在我们身边，我国著名数学家华罗庚这样赞美数学“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

”德国数学家高斯(C.F. Gauss)对数学的评价甚高，“数学，科学的皇后；数论，数学的皇后”。

数学让人又爱又恨。

套用古龙先生的一句话：如果你爱一个人，那么让他去学数学；如果你恨一个人，那么让他去学数学，接着，我们就来领略一下数学的魅力。

（二）背景介绍
初等数学研究的基本对象是数，数的概念的历史几乎和人类历史一样久远。

人们最早认识的数是自然数。

自然数添加负整数扩张为整数，整数添加分数扩张为有理数，有理数添加无理数扩充为实数，比实数范围更广的是复数。

在数的扩张过程中，数学也日益发展，产生了各种各样的数学分支。

而在数学的研究中，自然数占据着核心地位。

那么我们就来探究自然数的拆分问题。

（三）研究内容
首先给出自然数拆分的定义：把自然数分解为若干个不计顺序的非零自然数之和。

比如2=1+1，3=1+2=1+1+1。

自然数的拆分在数学研究中应用相当广泛。

我们熟知的数学王冠上的明珠——哥德巴赫猜想就是一个自然数的拆分问题。

哥德巴赫猜想：任一个大于2 的偶数都可拆分为两个素数之和，也就是我们常说的”1+1”。

遗憾的是这个猜想仍未被解决。

值得一提的是，至今对这个猜想的研究最好的结果是我国的数学家陈景润取得的，他证明了”1+2”( 即任何一个大偶数都可以拆分成一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和) 。

时势造就英雄，数学亦是如此。

英国数学家怀尔斯( A . Wiles)闭关十年证明了费马大定理而声名显赫。

中南大学大三学生刘路因解决了数理逻辑中的西塔潘猜想而一举成名。

倘若有人解决了哥德巴赫猜想必将名垂千古。

当然，今天我们只是探究自然数的一个简单的拆分问题。

问题一: 已知N (N≥4)为一个自然数，现在将N 拆分为两个自然数的和。

那么应该如何拆分，才能使得拆分出来的这两个自然数的乘积最大？最大值为多少？
根据题意，我们不妨设N 拆分出来的自然数分别为a 和N-a, 它们的乘积为S N= a( N- a ) ，N 不变，a 变化，S 可以看成是关于a 的二次函数。

从而问题一就转化为求二次函数S N= a( N- a ) 的最大值问
题。

然而二次函数S N= a( N- a )可变形为S N=−(a−N
2)2+N
4
2
那么其最大
值是不是一定就是N
42
为什么？这里的a 取值范围是什么？ a 只能
为自然数，而N
2
不一定是整数，所以二次函数S= a( N- a ) 的最大值
不一定是N
42 .
我们作出其对应函数y=x(N-x)的图象。

因为二次项系数为-1 小于0，所以二次函数图象为开口向下的抛物线，图象经过原点，对称轴为x=N/2通过观察图象，我们知道:自变量离对称轴越近函数值越大。

结合中学数学知识，我们有下面的结论。

(1)当N为偶数时，取a=N/2,从而取得乘积最大值N
42。

(2)当N为奇数时取a=(N-1)/2或(N+1)/2，从而取得最大值N2−1
4。

以上我们对一个实际问题建立数学模型，通过求解二次函数的最大值来解决问题一。

问题一是我们的开胃菜，下面的问题二才是我们探究的重点。

问题二: 已知N(N≥4)为一个自然数，现在将N 拆分为若干个自然数的和。

那么应该如何拆分，才能使得拆分出来的这些自然数的乘积最大？最大值为多少？
类比问题二和问题一，它们的本质区别在哪里？
问题一中拆分出来的自然数个数为2，而在问题二中个数未定。

对于问题一，我们可设a , N-a来表示这两个自然数，其中N 已知，a 未知。

而对于问题二，我们就不好设定未知数。

那么我们该怎么办？路在何方？个数未定, N 也不是一个具体的数字，要找准拆分出来自然数的具体个数是非常困难的。

有没有办法突破这个难点呢？
分析：从特殊到一般的认知规律，我们不妨从一些简单的数字出发探
究问题二。

设自然数N 拆分出来的自然数乘积的最大值为S N因为N≥4，我们先取N=4 ,那么4 可以怎么拆分？如果将4 拆分为两个数，那么有几种情况？
拆分为两个数的情况；4=1+3=2+2；
拆分为三个数的情况：4=1+1+2;
拆分为四个数的情况有：4=1+1+1+1。

我们按照个数分层，并将每一层的情况全部列举出来，这就是分类的层次性和完整性。

通过简单的计算，比较，我们发现：当4=2+2 时，乘积的最大值S4=2×2=4一个特例说明不了什么，我们再接再厉，取N=5 ，那么5 可以怎么拆分？
拆分为两个数的情况有：5=1+4=2+3；
拆分为三个数的情况有：5=1+1+3=1+2+2;
拆分为四个数的情况有：5=1+1+1+2；
拆分为五个数的情况有：5=1+1+1+1+1。

容易发现：当5=2+3 时，乘积的最大值S5=2×3=6
我们趁热打铁，取N= 6
拆分为两个数的情况有：6=1+5=2+4=3+3；
拆分为三个数的情况有：6=1+1+4=1+2+3=2+2+2;
拆分为四个数的情况有：6=1+1+1+3=1+1+2+2；
拆分为五个数的情况有：6=1+1+1+1+2；
拆分为六个数的情况有：6=1+1+1+1+1+1。

显然，当6=3+3 时，乘积的最大值S6= 3×3=9
同样我们对N=7，讨论得到最大值S7=3×2×2，N=8时，最大值S8=3×3×2，N=9时，最大值S9=3×3×3.经过这些讨论是否可以得出什么东西了呢？
英国著名的物理学家、数学家、哲学家——牛顿有这样一句格言“没有大胆的猜测，就没有伟大的发现。

”
通过观察，我们发现4,5,6,7,8,9拆分出来的自然数只出现2,3 时,能保证它们的乘积最大。

我们秉承牛顿先生的研究思想，不妨大胆猜测：为了取得S N,那么分解出来的自然数只需是2 或者3。

下面我们证明猜测是否成立。

证明：设当a 为N 拆分出来的自然数时，取得乘积最大值S N
(1) 根据自然数拆分的定义，显然a 不可能为0；
(2) 因为对于任意的自然数n +1,我们都可将n+1 拆分为n 和1,但
是n+1 > n×1，所以拆分出来的自然数里面肯定不能存在1，即a ≠1 ；
(3) 若a>4 ,则由2×(a-2)-a=a-4>0可知，我们可以将a 继续拆分为2 和
a-2 ,使得乘积变大，这与S N是最大值矛盾,所以必有a≤4 ；
(4) 若a = 4 ,因为4 =2×2 ,故可以将4 拆分为2 和2;
(5) 由前面的讨论可知，a = 2 或者a = 3 。

那么里面到底有几个2 和
几个3？我们注意到2+2+2=3+3，但是2×2×2 < 3×3 ,所以这些自
然数中至多有两个2,而其他的自然数都为3。

众里寻他千百度，暮然回首，那人却在灯火阑珊处。

经过我们的分析和推导，渐渐地揭开了蒙娜丽莎神秘的面纱。

这里的蒙娜丽莎就是下面重要的结论。

综上所述，我们有；
(1) 若拆分出来的自然数里面没有2 ，即N =3k ( N 拆分为
k 个3)，则S N=3K;
(2) 若拆分出来的自然数里面只有一个2 ，即N=3k+2, ( N 拆
分为k 个3 和一个2) 则S N=2×3K;
(3) 若拆分出来的自然数里面有两个2,即N=3K+1 (则N 拆分
为k -1 个3 和两个2)，则S N=4×3K−1;
从以上结论，我们发现了什么特点？
只需要知道自然数除以 3 的商数和余数，就可以解决自然数拆分的最大值问题。

学以致用，接下来我们就来做两个例题。

知识应用
例题求10分解后的最大值？
例题求2013分解后的最大值？
结合我们的研究成果，只需要确定自然数10和2013除以3 的商数和余数，就可以求出最大值。

解：因为10=3×3+1
所以S=4×33−1=36
解：因为2013=3×671
所以S=3361
（四）小结
我们主要探究了自然数拆分的最大值问题，通过本次学习，我们应该意识到，在做研究工作时应把握以下研究方法和思想：
我们采用的方法是从特殊到一般，由具体到抽象。

我们的基本思想是大胆猜想，小心求证。