模糊集理论及其应用_第一章

模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
14
wk.baidu.com
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A F ( U ) 可表示为
这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
8
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4)
1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
5
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
9
第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则 uＵ， uA or uA ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： A ：Ｕ {0，1}， 1， uA u A( u ) = 0， uA 称 A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 A ：Ｕ {0，1}， u A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { uＵ， A ( u ) = 1} ．
4
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
15
Aui ui
Aun Au1 Au2 A u1 u2 un
1 2 1
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
目录
例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
0.87 0.75 0.96 0.78 0.56 A u1 u2 u3 u4 u5

10
1.1 经典集合与特征函数(1/2)
目录
由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是 一一对应的． 由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
19
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设 A , B , C P ( U )，则 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪ = A , A∩ = ; (8) De Morgan律： ( A∪B ) = A∩B , ( A∩B ) = A∪B ; (9) 排中律(互补律)： A∪A = U , A∩A = . 由此可见， (P ( U ) , ∪ , ∩ , )构成一个布尔代数。

U
u
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y u 1 u 25 2 1 5
13
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集， 而称F ( U )为U 的模糊幂集。 由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即 A(u) ≌ A(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．
6
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
5
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众 所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没 有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长 头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信 息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等 都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综 合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个 领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、 经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
1
, 当0 u 25
; .
2
, 当25 u 200
用Zadeh表示法就是
u 25 1 1 5 Y 0, 25 u [ 25 , 200 ] u

1
17
1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) [0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量。
1 μA
12
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
16
(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为 Au 1 2 2 A
2
共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
3
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学 学科，而且也形成了一种崭新的思维方法， 它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破 了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊 推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的 发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会 的进步发挥更大的作用。
20
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B F ( U ) , 则 ( i ) A B iff A(u) B(u) , uU ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , uU ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), uU ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), uU ; ( vi) A: A(u) = 1﹣A(u) , uU . 如下图所示:
18
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B P ( U )，则 ( i ) A B iff uU , A(u) B(u); ( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u); (iii) A∪B: uU , A∪B (u) = max {A(u) ,B(u)}; (vi) A∩B: uU , A∩B (u) = min {A(u) ,B(u)}; ( v) A: uU, A(u) = 1﹣A(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
11
1.1 经典集合与特征函数(2/2)
目录
§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 μA ：Ｕ [ 0，1 ]， u μA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合，而称μA 为模糊集合A 的隶属函数，μA ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。
7
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构
造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度 来确定其分类关系 模糊层次分析法—两两比较指标的确定 模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因 素制约的事物或对象作出一个总的评价，如 产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种 植适应性的评价等，都属于综合评判问题。 由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊 性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合 评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际 效果