《高中物理思维方法集解》随笔系列——高中物理习题解决的“数列法”

《高中物理思维方法集解》随笔系列

高中物理习题解决的“数列法”

山东平原一中 魏德田

我们知道，按一定顺序排列的一列数，叫做数列；数列中的某个数，叫做数列的一项。无论哪一种数列，都应具有一些自身的特点和变化的规律。在高中物理解题时，我们也常会用到等差数列、等比数列的知识。

由此，我们把应用数列知识解决物理问题的思维方法，称为数列法。

高中物理解题中，数列知识的应用分为：1．判断物理过程的特征；2．用通项公式求未知量；3．用求和公式求未知量等三个方面的问题。

一般地，按一定规律变化的多个子过程问题，大都具有类似性、反复性的特点。随着子过程过程的反复进行，某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵（如大小、正负、幂次等）却不同的表达式，由此得某种数列的前几项，应用归纳法（或递推原理），把这几项“融合”在一起，从而求出数列的通项公式，以描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。因此，我们即可用数列的通项公式求出某一项。若欲求数列前n 项之和，则常用对应的求和公式来解决。

解答此类问题的基本思路：

⑴先逐个分析多过程初期的几个子过程，分别找出数列的前几项；

⑵再利用归纳法找出数列的通项公式；

⑶最后整体分析物理过程，应用数列的通项公式或求和公式解决问题。 无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。

等差数列前n 项之和2

)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=，d 为公差。 等比数列前n 项之和：q

q n S n n --=1)1(，q 为公比。 下面，主要针对上述2、3两方面的问题，分别讨论数列知识在高考物理解题中的应用。

【例题解析】

数列法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通项表达式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数列知识求解。用数列法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推式。

一．用通项表达式求未知量

某些物理状态或过程必须借助于数列知识，才能全面的描述其状态及其变化特征。此类问题，要求我们能够根据初始条件，以数学归纳法来（递推规律），求出某个物理量的通项表达式。

【例题1】质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t ，加速度变为3a；… ；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a，求：（1）nt时刻质点的速度；

（2）nt时间内通过的总路程。

【解析】根据数列法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。

（1）物质在某时刻t末的速度为v t = at

2t末的速度为v2t = v t + 2at即v2t = at + 2at

3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at

……

由此可得，通项表达式则nt末的速度为

v nt = v(n－)t+ nat = at + 2at + 3at + … + nat

= at (1 + 2 + 3 + … + n)

= at 1

2

(n + 1)n

=1

2

n (n + 1)at

（2）同理：可推得nt内通过的总路程s =

1

12

n (n + 1)(2n + 1)at2

【点拨】显然，此例先“从特殊到一般找到规律”，由速度公式布列各式，比较、归纳出通项表达式，再用等差数列求和知识解决。

【例题2】线段AB长S，均分为n等分，一质点由A出发，以加速度a向B作匀加速运动，当质点到达每一等分的末端时，它的加速度增加了a/n，试证质点到B点时的速度是