量子力学-力学量随时间的演化与对称性
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定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，
即[F , H ] 0,[G, H ] 0, 但[F ,G] 0
则：体系能级一般是简并的。
2
证明： 由于[F , H ] 0, F与H可以有共同本征函数， H E, F F '
考虑到[G, H] 0,有HG GH EG, 即G也是H的本征态，对应于能量本征值E。
exp{ } ()
于是绕z轴旋转的变换算符为：
其中：
Lˆz
i
是大家熟知的角动量的z分量算符
18
守恒量与对称性
现在来考虑三维空间中的绕某方向 n（单位矢）的无穷小旋转
r r' r r
r r n r
则波函数的变化为
(r) (r r) (r n r)
(r) (n r) (r) ........
证明： HFE FHE FEE EFE
即FE也是H的本征值为 E的本征态。但已知 能级E无简并，所以FE与E只能是同一个
量子态。因此最多只能 相差一个常数因子 F '，
即FE F 'E，所以E也是F的本征态（F '本征值）
4
四、宇称守恒
宇称算符
P
(r,
t)
( r,
t)
即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 x , y , z x , y , z
6
例题1： 判断下列提法的正误94页。 例题2： 对于自由粒子，Hˆ pˆ 2 ，证明动量 p 是守恒量。
2m
7
教材96页 4.4 。
证明： 由于 d A 1 [Aˆ, Hˆ ], 因此 dt ih
d2A dt 2
1 ih
[ dA dt
,
Hˆ
],
1 h2
[[ Aˆ,
Hˆ
],
Hˆ
]
可见： －h2 d 2 A [[ Aˆ, Hˆ ], Hˆ ] dt 2
16
守恒量与对称性
对于三维空间的无穷小平移 r ，则有
其中：
pˆ
i
即动量算符。
如果体系对于平移具有不变性，即 [Hˆ , Sˆr] 0
则有
[Hˆ , pˆ ] 0
根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。
17
守恒量与对称性
例2. 空间旋转不变性与角动量守恒。
则波函数的变化为
() ( ) () ........
11
守恒量与对称性
考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q-1, 但和时间无关)，在Q变换下，
体系对于变换的不变性体现为和 '遵守相同的运动方程：
体系对变换的不变性体现为
即： 因为 Q-1, 但和时间无关
12
守恒量与对称性
这就是体系 （Hamilton量）在变换Q下的不变性的数学表达。 凡满足该式的变换称为体系的对称性变换
由力学量守恒条件可知：角动量守恒。
20
8
§4.4守恒量与对称性
（一）关于对称性
无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.
德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称
性. 他对上述现象作了如下表述：
若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射
对称或双向对称的.
若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对
15
守恒量与对称性
例1. 空间平移不变性与动量守恒
考虑沿 x 方向的无穷小平移 x ，则波函数的变化为
(x) (x x) (x) x ........
x exp{x } (x)
x 于是平移变换算符为：
Sˆx
exp{x
} x
eixpˆ x
/
其中：ຫໍສະໝຸດ Baidu
pˆ x
i x
为相应的无穷小算符
I i (F F ) O( 2 ) I
即要求
F F 14
守恒量与对称性
F为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。 由于其厄密性，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量
将体系在Q变换下的不变性 [Q, H ] 0 ,应用到无穷小变换
Q I i F
可导致
[F, H] 0
F就是体系的一个守恒量 一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性， 反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应 的守恒量
轴的转动的对称性.
9
20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱 因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原 理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研 究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各 种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右 不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能 看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到 物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多 么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一 起来了.
[Q, H ] 0 表明和变换 Q 相联系，必有一个守恒量。
注意： Qˆ 一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，
但它可以决定一个守恒量算符。
13
守恒量与对称性
考虑到概率守恒，要求
则Q应为幺正变换（算符），即
Q Q QQ I
对于连续变换，可考虑无穷小变换，令
Q I i F 0 ,是刻画无穷小变换的实参量。 则，QQ (I i F)(I i F)
e (nr) (r)
于是绕 n轴旋转的变换算符为:
Sˆ e e
(nr)
i (nr) p/
e e in(r p) /
i nLˆ /
19
守恒量与对称性
其中：Lˆ rˆ pˆ 是大家熟知的角动量算符。 如果体系具有空间旋转不变性，即
[Hˆ , Sˆ] 0
则有 [Hˆ , Lˆ] 0
由于[F ,G] 0，一般来说，FG GF F 'G, 即G不是F的本征态。但是F的本征态， 因此G与不是同一个量子态。但它们又都是H
的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。
3
推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 E 征态），则 E必为F的本征态。
10
守恒量与对称性
在量子力学中，我们将看到：
能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。
空间平移不变性 空间旋转不变性 空间反演对称性
动量守恒 角动量守恒 宇称守恒
一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量 子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿 算符 Hˆ ，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符Hˆ的 不变性。
它是厄米算符，它的本征值只有 1， 即 P 1
态函数的宇称:
(r, t).
对应 P的本征值1的态，称偶宇称
P
(r,
t)
(r, t)
(r, t)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称
5
宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。
1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都 遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在 弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性 有了新的认识。
第四章 力学量随时间的演化与对称性
力学量随时间的演化
dA Aˆ 1 [Aˆ, Hˆ ]
Aˆ 0 t
dt t ih
[Â, Ĥ]=0
d A0 dt
力学量Â 为守恒量！！！
守恒量有两个特点： (1) 在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。
1
能级简并与守恒量的关系
即[F , H ] 0,[G, H ] 0, 但[F ,G] 0
则：体系能级一般是简并的。
2
证明： 由于[F , H ] 0, F与H可以有共同本征函数， H E, F F '
考虑到[G, H] 0,有HG GH EG, 即G也是H的本征态，对应于能量本征值E。
exp{ } ()
于是绕z轴旋转的变换算符为：
其中：
Lˆz
i
是大家熟知的角动量的z分量算符
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守恒量与对称性
现在来考虑三维空间中的绕某方向 n（单位矢）的无穷小旋转
r r' r r
r r n r
则波函数的变化为
(r) (r r) (r n r)
(r) (n r) (r) ........
证明： HFE FHE FEE EFE
即FE也是H的本征值为 E的本征态。但已知 能级E无简并，所以FE与E只能是同一个
量子态。因此最多只能 相差一个常数因子 F '，
即FE F 'E，所以E也是F的本征态（F '本征值）
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四、宇称守恒
宇称算符
P
(r,
t)
( r,
t)
即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 x , y , z x , y , z
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例题1： 判断下列提法的正误94页。 例题2： 对于自由粒子，Hˆ pˆ 2 ，证明动量 p 是守恒量。
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教材96页 4.4 。
证明： 由于 d A 1 [Aˆ, Hˆ ], 因此 dt ih
d2A dt 2
1 ih
[ dA dt
,
Hˆ
],
1 h2
[[ Aˆ,
Hˆ
],
Hˆ
]
可见： －h2 d 2 A [[ Aˆ, Hˆ ], Hˆ ] dt 2
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守恒量与对称性
对于三维空间的无穷小平移 r ，则有
其中：
pˆ
i
即动量算符。
如果体系对于平移具有不变性，即 [Hˆ , Sˆr] 0
则有
[Hˆ , pˆ ] 0
根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。
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守恒量与对称性
例2. 空间旋转不变性与角动量守恒。
则波函数的变化为
() ( ) () ........
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守恒量与对称性
考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q-1, 但和时间无关)，在Q变换下，
体系对于变换的不变性体现为和 '遵守相同的运动方程：
体系对变换的不变性体现为
即： 因为 Q-1, 但和时间无关
12
守恒量与对称性
这就是体系 （Hamilton量）在变换Q下的不变性的数学表达。 凡满足该式的变换称为体系的对称性变换
由力学量守恒条件可知：角动量守恒。
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§4.4守恒量与对称性
（一）关于对称性
无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.
德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称
性. 他对上述现象作了如下表述：
若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射
对称或双向对称的.
若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对
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守恒量与对称性
例1. 空间平移不变性与动量守恒
考虑沿 x 方向的无穷小平移 x ，则波函数的变化为
(x) (x x) (x) x ........
x exp{x } (x)
x 于是平移变换算符为：
Sˆx
exp{x
} x
eixpˆ x
/
其中：ຫໍສະໝຸດ Baidu
pˆ x
i x
为相应的无穷小算符
I i (F F ) O( 2 ) I
即要求
F F 14
守恒量与对称性
F为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。 由于其厄密性，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量
将体系在Q变换下的不变性 [Q, H ] 0 ,应用到无穷小变换
Q I i F
可导致
[F, H] 0
F就是体系的一个守恒量 一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性， 反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应 的守恒量
轴的转动的对称性.
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20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱 因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原 理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研 究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各 种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右 不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能 看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到 物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多 么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一 起来了.
[Q, H ] 0 表明和变换 Q 相联系，必有一个守恒量。
注意： Qˆ 一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，
但它可以决定一个守恒量算符。
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守恒量与对称性
考虑到概率守恒，要求
则Q应为幺正变换（算符），即
Q Q QQ I
对于连续变换，可考虑无穷小变换，令
Q I i F 0 ,是刻画无穷小变换的实参量。 则，QQ (I i F)(I i F)
e (nr) (r)
于是绕 n轴旋转的变换算符为:
Sˆ e e
(nr)
i (nr) p/
e e in(r p) /
i nLˆ /
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守恒量与对称性
其中：Lˆ rˆ pˆ 是大家熟知的角动量算符。 如果体系具有空间旋转不变性，即
[Hˆ , Sˆ] 0
则有 [Hˆ , Lˆ] 0
由于[F ,G] 0，一般来说，FG GF F 'G, 即G不是F的本征态。但是F的本征态， 因此G与不是同一个量子态。但它们又都是H
的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。
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推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 E 征态），则 E必为F的本征态。
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守恒量与对称性
在量子力学中，我们将看到：
能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。
空间平移不变性 空间旋转不变性 空间反演对称性
动量守恒 角动量守恒 宇称守恒
一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量 子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿 算符 Hˆ ，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符Hˆ的 不变性。
它是厄米算符，它的本征值只有 1， 即 P 1
态函数的宇称:
(r, t).
对应 P的本征值1的态，称偶宇称
P
(r,
t)
(r, t)
(r, t)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称
5
宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。
1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都 遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在 弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性 有了新的认识。
第四章 力学量随时间的演化与对称性
力学量随时间的演化
dA Aˆ 1 [Aˆ, Hˆ ]
Aˆ 0 t
dt t ih
[Â, Ĥ]=0
d A0 dt
力学量Â 为守恒量！！！
守恒量有两个特点： (1) 在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。
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能级简并与守恒量的关系