数理金融初步
数理金融初步The document was prepared on January 2, 2021
(1章)6从52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同,则他们都是A 的条件概率是多少?
解:设第一次取出A 的事件为A1,第二次取出不同花色A 的事件为A2,则
p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)
因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/169 7若A,B 独立,证明下列事件也独立:a)A 和B^c b)A^c 和B^c
证明:a)因为p (B )+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,所以
p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)
-p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),所以A 和B^c 独立
b)p(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-
p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^
c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p(A^c),所以A^c 和B^c 独立。 9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘
39,33,46,34位学生。如果
从152位学生中任意选取一位,记X 为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位,令Y 为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。 a)你认为E (X )和E (Y )哪一个大 b)求出E(X)和E(Y)
解:a)E(X)大。b)由题意知X 可取39,33,46,34 。Y 可取39,33,46,34。所以
X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4
P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,
所以E (X )=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=
E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38
10两位选手比赛兵兵球,当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相
等,且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。
解:设x 为比赛的总局数,则x 可取2,3,则p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2,
p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2
E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x^2=4,9 ,
p(x^2=4)=1/2,p(x^2=9)=1/2,E(x^2)=4x1/2+9x1/2=13/2
所以var(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=13/2-(5/2)^2=1/4.
11.证明22])[(][)(X E X E X Var -=
证明:
22222222])[(][])[(])[(2][]])[(][2[])[[()(X E X E X E X E X E X E X XE X E X E X E X Var -=+-=+-=-=
12一位律师要决定收取固定费用5000美元,还是收取胜诉酬金25000美元(输掉则一无
所获)。他估计打赢的概率为,求他收取的费用的均值和方差,如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。
x)]^2=0,所以s=0. b)由题意知x=0,25000,则p(x=0)==, p(x=25000)=,E(x)=+ S=根号下var(x)=
14.证明:][][][),(y E x E xy E y x Cov -=
证明: )]()()()([)]()(([(),(y E x E x yE y xE xy E y E y x E x E y x Cov +--=--=
18设任意给定的时间内,某股票价格只能等概率的增加1或减少1,且不同时期股票变化是独立的。记X 为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量,Y 为前三段时间内累计上升的数量,求X,Y 相关性。
解:E (X )=0, E(X^2)=1,var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=1
E(Y)=0,E(Y^2)=3,var(y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=3 E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,0333
1)()(),(),(>===y Var x Var Y X Cov Y X ρ所以X,Y 呈正相关。
(2章)4设x 为正态随机变量,均值为u ,方差为&^2,y=a+bx,如果y 和x 服从相同的分布,求a 和b 的值(a 不等于0),并求出Cov(x,y).
解:因为E(X)=u,var(x)=&^2,y=a+bx,所以E(Y)=a+bu,var(y)=b^2u^2,又因为x 和y 服从相同的分布,所以a+bu=u, &^2=b^2&^2,因为a 不等于0,所以b=-1,a=2u,即y=2u-x,
Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&^2.
5成年男子的血液收缩压服从均值为,标准差为的正态分布,求:a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。c)%成年男子血液收缩压的取值范围。
解:a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量,即E=(X-127)/ u=,&=,所以|&|<=19=,所以-1<=/<=1,即<=E,所以取值范围为
[,]
b)由表可得p{|E|<=2}=,即-2<=/<=2,<=E<=,所以取值范围[,]
c) p{|E|<=3}=,即-3<=/<=3,解得<=E<=,所以取值范围[,].
第4章
1若10%的名义利率分别为:a)半年计息一次的复利 b)每季度计息一次的复利 c)连续复利
其对应的有效利率分别是多少?
解:a)reff=(1+r/2)^2-1=% b)reff=(1+r/4)^4-1=% c)e^r-1=
2将钱存入银行,银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率,多久存入的钱是原来的两倍?
解:pe^rt=2p e^10%t=2 t= 需要7年才能变为原来的两倍
3如果利率为5%,每年计息一次,那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍如果利率变为4%又要多少年
解:p(1+r)^n=4p 当r=5%时,(1+^n=4,n=。当然r=4%,(1+^n=4,n=
4如果利率为年复利利率r,请给出一个公式,用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。
解:由lim p(1+r/n)^nt=pe^rt pe^rt=3p,e^rt=3 t=lin3/r
5假设年名义利率固定在6%,每月计息一次。在未来60个月中,每月需要投资多少钱,才能在60个月后得到100000美元?
解:p[(1+r/12)+(1+r/12)^2+…+(1+r/12)^60]=100000 pX1+r/12[1-
(1+r/12)^60]/1-(1+r/12)=100000
/=100000 p=100000/=,所以每月需要投资美元。
6一个投资的年现金流:-1000,-1200,800,900,800.年利率为6%。对于一个既可以借款也可以存款的的人,这是否是一个值得的投资?
解:现值=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)^2+900/(1+60%)^3+800/(1+60%)^4 =-1000++712++=<0,所以不值得投资。
8一个五年期、面值为10000美元、具有10%票息率的债权,价值为10000美元。在今后五年中,每六个月支付给持有者500美元,并且将在这十次支付末再支付本金10000美元。如果每月计息一次的利率为:a)6% b)10% c)12% 求出其现值。
解:(1)当r=6%时,B=1/(1+= pv(a)=500x^6+500x^12+500x^18+…
+500x^60+500x^100=1085+244=1329
(2)当r=10%时,B=1/(1+= PV(a)=^6+^12+…+^60+^60=653+34=687
(3)当r=12%, B=1/(1+= pv(a)=^6+^12+…+^60+^60=493+9=502
9一个朋友购买了一套新的价值4200美元的音响系统。他同意预付定金1000美元,并在一个月后开始每月支付160美元,共支付24个月。那么所支付的有效利率是多少?
解:设每个月支付的利率为r,所以B=1/(1+r) 所以160(B+B^2+…+B^24)+1000=4200
160XB(1-B^24)/(1-B)=3200 B(1-B^24)/(1-B)=20 因为r=1-B/B 所以
1/1+r[1-(1/1+r)^24]/(1-1/1+r)=20 所以reff=1+r-1=r=%
12假设向银行贷款120000美元,银行收取两个百分点的费用。报价利率为每月%,仅需要在随后的36个月中,每月支付累计利息,并在最后支付本金120000美元。那么这个贷款的有效利率是多少?
解:每月支付利息%=600美元,则600/(1+r)+600/(1+r)^2+600/(1+r)^3+…
+600/(1+r)^36+
120000/(1+r)^36=120000x98%,得r=%
13以下面两张方式偿还贷款:一种是现在一次还清所有的欠款6000美元,另一种是现在还10000美元,并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率,哪一种还款方式更可取:a)2% b)5% c)10%
解:r=2%时,10000e^-2%x10=10000e^=>6000, r=5%时,10000e^-rt=10000e^-5%x10=> 6000, r=10%时,10000e^-rt=10000e^-10%x10=<6000
23考虑下面两个现金流,其中每一个现金流都是在i年后得到第i次支付:100,140,131,和90,160,120
如果不知道利率,能够说出哪一个现金流更可取?
解:设利率为r,则[100/(1+r)+140/(1+r)^2+131/(1+r)^3]-
[90/(1+r)+160/(1+r)^2+120/(1+r)^3]=11/(1+r)^3
-20/(1+r)^2+10/(1+r), 令t=1/(1+r),0
即第一种更可取。
24 a)一个初始成本为100的投资,两年后收益110,求该投资的年收益率。 b)一个初始成本为100的投资,两年后或收益120,或收益100,且两种结果是等可能的,求年收益率的期望值。
解a)100(1+r)^2=110,则r=
b)100(1+r1)^2=120,r1=,100(1+r2)^2=100,r2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=
26一个初始成本为100的投资,第一年末回报40,第二年末回报70,求该投资的收益率,如果第一年末回报70,第二年末回报40,收益率又是多少?
解:设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,,则
40/(1+r1)+70/(1+r1)^2=100,r1==6%
70/(1+r2)+40/(1+r2)^2=100,r2==75%.
28一个初始成本为100的投资,在第i个周期末收到的回报为Xi(i=1,2),其中X1,X2是相互独立的正态随机变量,均值为60,方差为25。该投资回报率大于10%的概率是
多少?
解:E(X1+X2)=120,Var(X1+X2)=50,P(X1+X2>110)=P(E>(110-120)/5 )=p(x1+x2>-
10/5 )=1-o(-10/5 )=
,概率是.
令C是一个看涨期权的价格,这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券,S是这个证
Ke 的不等式,并给出证明。
券现在的价格,r是利率。请写出一个包含C、S和rt
证明:S-C