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15
闭集构造定理
余区间的定义：设A是R的一个闭集， 称A的余集的构成区间为A的余区间。 闭集构造定理：直线上非空闭集F或者 是全直线，或者是从直线上挖掉有限个 或可数个互不相交的开区间(即F的余区 间)所得到的集。
16
完备集F的刻划
F为闭集，即Fc是至多可数个两两不相交 的开区间(即Fc构成区间)的并； F没有孤立点：Fc任意两个构成区间都没 有公共端点。 F为完备集当且仅当Fc是至多可数个两两 不相交的且无公共端点的开区间的并。
Rn中开集构造定理
开集构造定理： Rn中任一非空开集 总可以表示成有限个或可数个互不相 交的半开半闭区间的并集，但表法不 唯一。
23
例 题
例1 设f(x)是Rn上的实值连续函数， 则对任何实数a, 集合{x: f(x)>a}和 {x:f(x)<a}都是开集.
24
例 题
例2 设F是Rn的一个紧集，f(x)是沿F 连续的函数，则 (1) f在F上有界，并 能达到最大和最小值；(2) f在F上一 致连续。
度量空间
距离: ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） (2) d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 距离空间: 称(X,d)为度量空间 点P0的δ邻域： U(P ,δ ) ={P | d(P , P) < δ} 0 0
1
点P与集合E的关系1
P为E的内点: 如果存在P的邻域U(P)， 使U(P)包含于E. P为E的界点: P既不是E的内点，又不 是E的外点. P为E的外点: 如果存在P的邻域U(P)， 使U(P)包含于Ec，即P是Ec的内点.
8
闭集
闭集：如果E的每一聚点都属于E， 则称E为闭集。 例子：整个空间Rn, 空集，单位闭球， 任一有限集合 E为闭集当且仅当E’包含于E，即E 的界点包含于E 。
9
开集和闭集
定理1：E的内核是开集，E的导集 和闭包都是闭集。 定理2(开集与闭集的对偶性)：E为 开集当且仅当其余集Ec是闭集。
10
17
Cantor集的构造
第一步，将[0,1]闭区间三等分，取走中间 的开区间； 第二步，将剩下的2个闭区间再三等分， 再分别取走中间的开区间； 第三步，将剩下的4个闭区间再分别三等 分，也分别取走中间的开区间， ……，依次无限进行下去，最终从[0,1]中 取走了可数个互不相交且无公共端点的开 区间，故剩下的必是一个闭集，记为P。
开集和闭集
定理3：任意多个开集之和仍是开 集，有限多个开集之交仍是开集。 定理4：任意多个闭集之交仍是闭 集，有限多个闭集之和仍是闭集。 一个应用：(例1 P41)
11
覆盖定理
定理5：设F是一个有界闭集，则F 的任一开覆盖都存在有限子覆盖。 定义：设M是度量空间X中的一集合， 如果M的任一开覆盖都存在有限子 覆盖，则称M为X中的紧集。
5
点的集合分类
E的全体内点所成的集合，称为E的开核. E的全体界点所成的集合，称为E的边界. E的全体聚点所成的集合，称为E的导集. E与其导集的并集，称为E的闭包。
6
Weierstrass定理
定理4：设E是一个有界的无限集合， 则E至少有一个聚点。
7
开集
开集：如果E的每一点都是E的内点， 则称E为开集。 例子：整个空间Rn, 空集，单位开球 E为开集当且仅当E包含于E的内核， 即两者相等。
2
点P与集合E的关系2
P为E的聚点: 如果P的任一邻域U(P) 都含有无穷多个属于E的点. P为E的孤立点: 如果P属于E，但不是 E的聚点，即存在P的某邻域U(P),使 E∩U(P) ={P} P为E的外点:
3
聚点的等价定义
4
1和2的关系
E的内点必为E的聚点，但E的聚点不 一定是E的内点，还有可能是E的界点. E的内点一定属于E，但E的聚点不一 定. E的界点不是聚点就是孤立点.
12
覆盖定理
定理6：Rn中的紧集一定是有界闭 集。 一个应用，例2 (P43) ： 设A是实数集R的一个非空子集，则 A的任一开覆盖都存在可数(或有限) 子覆盖。
13
自密集与完备集
自密集：若E中的每一点都是其聚 点，则称E为自密集. (或没有孤立 点的集)。例子：空集，有理数集 完备集：若E=E’，则称E为完备集 (即没有孤立点的闭集，或自密的闭 集)。例子：空集，R，[a,b]
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20
21
Cantor集的性质
1.
2. 3. 4.
5.
P是完备集：因为它的余集是可数个互不 相交且无公共端点的开区间的并. P的长度为零: 因为它的余集的长度 P没有内点 P是疏朗集：R中任一非空开集必有非空 开子集与P不相交. P的基数为c 所以，Cantor集是基数为c的疏朗完备集， 2Βιβλιοθήκη Baidu 且长度为零。
14
R中开集构造定理
构成区间的定义：设G是R的一个开集， 如果开区间(a,b)是G的一个子集，且a,b 不属于G，则称(a,b)是G的构成区间。 开集构造定理：直线上任一非空开集可以 表示成有限个或可数个互不相交的构成区 间的并集。又当非空开集可以表示成互不 相交的开区间的并集时，这些区间必是构 成区间。
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例 题
例3 设E是Rn的一个子集，则E为 疏朗集的充分必要条件是E的闭包 没有内点。
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闭集构造定理
余区间的定义：设A是R的一个闭集， 称A的余集的构成区间为A的余区间。 闭集构造定理：直线上非空闭集F或者 是全直线，或者是从直线上挖掉有限个 或可数个互不相交的开区间(即F的余区 间)所得到的集。
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完备集F的刻划
F为闭集，即Fc是至多可数个两两不相交 的开区间(即Fc构成区间)的并； F没有孤立点：Fc任意两个构成区间都没 有公共端点。 F为完备集当且仅当Fc是至多可数个两两 不相交的且无公共端点的开区间的并。
Rn中开集构造定理
开集构造定理： Rn中任一非空开集 总可以表示成有限个或可数个互不相 交的半开半闭区间的并集，但表法不 唯一。
23
例 题
例1 设f(x)是Rn上的实值连续函数， 则对任何实数a, 集合{x: f(x)>a}和 {x:f(x)<a}都是开集.
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例 题
例2 设F是Rn的一个紧集，f(x)是沿F 连续的函数，则 (1) f在F上有界，并 能达到最大和最小值；(2) f在F上一 致连续。
度量空间
距离: ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） (2) d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 距离空间: 称(X,d)为度量空间 点P0的δ邻域： U(P ,δ ) ={P | d(P , P) < δ} 0 0
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点P与集合E的关系1
P为E的内点: 如果存在P的邻域U(P)， 使U(P)包含于E. P为E的界点: P既不是E的内点，又不 是E的外点. P为E的外点: 如果存在P的邻域U(P)， 使U(P)包含于Ec，即P是Ec的内点.
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闭集
闭集：如果E的每一聚点都属于E， 则称E为闭集。 例子：整个空间Rn, 空集，单位闭球， 任一有限集合 E为闭集当且仅当E’包含于E，即E 的界点包含于E 。
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开集和闭集
定理1：E的内核是开集，E的导集 和闭包都是闭集。 定理2(开集与闭集的对偶性)：E为 开集当且仅当其余集Ec是闭集。
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Cantor集的构造
第一步，将[0,1]闭区间三等分，取走中间 的开区间； 第二步，将剩下的2个闭区间再三等分， 再分别取走中间的开区间； 第三步，将剩下的4个闭区间再分别三等 分，也分别取走中间的开区间， ……，依次无限进行下去，最终从[0,1]中 取走了可数个互不相交且无公共端点的开 区间，故剩下的必是一个闭集，记为P。
开集和闭集
定理3：任意多个开集之和仍是开 集，有限多个开集之交仍是开集。 定理4：任意多个闭集之交仍是闭 集，有限多个闭集之和仍是闭集。 一个应用：(例1 P41)
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覆盖定理
定理5：设F是一个有界闭集，则F 的任一开覆盖都存在有限子覆盖。 定义：设M是度量空间X中的一集合， 如果M的任一开覆盖都存在有限子 覆盖，则称M为X中的紧集。
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点的集合分类
E的全体内点所成的集合，称为E的开核. E的全体界点所成的集合，称为E的边界. E的全体聚点所成的集合，称为E的导集. E与其导集的并集，称为E的闭包。
6
Weierstrass定理
定理4：设E是一个有界的无限集合， 则E至少有一个聚点。
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开集
开集：如果E的每一点都是E的内点， 则称E为开集。 例子：整个空间Rn, 空集，单位开球 E为开集当且仅当E包含于E的内核， 即两者相等。
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点P与集合E的关系2
P为E的聚点: 如果P的任一邻域U(P) 都含有无穷多个属于E的点. P为E的孤立点: 如果P属于E，但不是 E的聚点，即存在P的某邻域U(P),使 E∩U(P) ={P} P为E的外点:
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聚点的等价定义
4
1和2的关系
E的内点必为E的聚点，但E的聚点不 一定是E的内点，还有可能是E的界点. E的内点一定属于E，但E的聚点不一 定. E的界点不是聚点就是孤立点.
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覆盖定理
定理6：Rn中的紧集一定是有界闭 集。 一个应用，例2 (P43) ： 设A是实数集R的一个非空子集，则 A的任一开覆盖都存在可数(或有限) 子覆盖。
13
自密集与完备集
自密集：若E中的每一点都是其聚 点，则称E为自密集. (或没有孤立 点的集)。例子：空集，有理数集 完备集：若E=E’，则称E为完备集 (即没有孤立点的闭集，或自密的闭 集)。例子：空集，R，[a,b]
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21
Cantor集的性质
1.
2. 3. 4.
5.
P是完备集：因为它的余集是可数个互不 相交且无公共端点的开区间的并. P的长度为零: 因为它的余集的长度 P没有内点 P是疏朗集：R中任一非空开集必有非空 开子集与P不相交. P的基数为c 所以，Cantor集是基数为c的疏朗完备集， 2Βιβλιοθήκη Baidu 且长度为零。
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R中开集构造定理
构成区间的定义：设G是R的一个开集， 如果开区间(a,b)是G的一个子集，且a,b 不属于G，则称(a,b)是G的构成区间。 开集构造定理：直线上任一非空开集可以 表示成有限个或可数个互不相交的构成区 间的并集。又当非空开集可以表示成互不 相交的开区间的并集时，这些区间必是构 成区间。
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例 题
例3 设E是Rn的一个子集，则E为 疏朗集的充分必要条件是E的闭包 没有内点。
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