复变函数与积分变换课后习题答案

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）——课后习题答案

习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513

;

;(2)(43);711i i e i i i i i

-++++

++.

①解i 4

πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭ ②解： ()()()()

35i 17i 35i 1613i

7i 1

1+7i 17i 2525

+-+==-++-

③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13

35=i i i 1i 222

-+-+=-+

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+

); 33

3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy

则

()()()()()()()22

i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y

-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴

()222

2

2

Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,

()22

2Im z a xy z a x a y

-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵

()()()()()

()()()3

2

322222222

3223i i i 2i i 22i

33i

z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴

()332

Re 3z x xy =-,

()323Im 3z x y y =-．

③解：

∵

((

)(

){

}3

3

2

3

2

111313188-+⎡

⎤⎡⎤==

--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎣⎦

⎝⎭

()1

80i 18

=

+=

∴Re 1=⎝⎭

, Im 0=⎝⎭

． ④解：

∵

()

(

)((

)2

3

3

2

3

13131i 8

⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦

=⎝⎭

()1

80i 18

=

+=

∴Re 1=⎝

⎭

, Im 0=⎝

⎭

．

⑤解： ∵()()1,2i 211i,

k

n k

n k k n k ⎧-=⎪

=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；

当

21n k =+时，

()Re i 0

n =，

()()Im i 1k

n =-．

3.求下列复数的模和共轭复数

12;3;(2)(32);

.2

i

i i i +-+-++

①解：2i -+==

2i 2i -+=--

②解：33-=

33-=-

③解：()(

)2i 32i 2i 32i ++=++=

()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-

④解：

1i 1i 22++==

()1i 11i

222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭

4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．

证明：若z z =，设i z x y =+，

则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0

∴z =x 为实数．

若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．

命题成立．

5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤

证明∵()()()()

2

z w z w z w z w z w +=+⋅+=++

(

)()

2

2

2

2

2Re z z z w w z w w

z zw z w w z w

z w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅

()

22

2

2

2

22z w z w

z w z w z w ++⋅=++⋅=+≤

∴z w

z w ++≤

．

6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()

2

2

2

2Re z w z z w w +=+⋅+ ()

2

2

2

2Re z w z z w w -=-⋅+

(

)22

22

2z w z w z w

++-=+

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：()

22

2

2Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．

下面证()

22

2

2Re z w z z w w -=-⋅+．

∵()()()()

2

2

2

z w z w z w z w z w z z w w z w

-=-⋅-=--=-⋅-⋅+

()

2

2

2Re z z w w =-⋅+．从而得证．

∴(

)2

2

22

2z w z w z w

++-=+

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3

352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛

⎫--+ ⎪+⎝

⎭ ①解：

()()()()

35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-

3816i 198i e 5025i θ⋅--=

=其中8

πarctan 19

θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π

2θ=．

π2

e i

i =

③解：ππi i 1e e -==

④解：()

2

8π116ππ3

θ-==-.

∴()

2πi 3

8π116πe

--+=⋅

⑤解：3

2π2πcos isin 99⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭ 解：∵3

2π2πcos isin 199⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭．

∴322π

i π.3i 93

2π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝

⎭

8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)

的平方根.

⑴i 的三次根． 解：

()1

3ππ

2π2πππ22cos sin cos

isin 0,1,22233

+

+

⎛⎫+=+= ⎪⎝

⎭k k i k

∴

1ππ1

cos

isin i 662

=+=+z ．

2551

cos πisin πi 662=+=+z

3991cos πisin πi 662

=+=-z

⑵-1的三次根 解：

()()1

32π+π2ππ

cos πisin πcos

isin 0,1,233

k k k ++=+=

∴1ππ1cos isin 3

3

2

=+=z

2cos πisin π1=+=-z