离散数学-集合论基础

集!
集合论基础
真子集
集合 A是集合B的子集, 且A与B不相等,则 称A是B的真子集. 也就是说, (Vx) (x∈A→ x ∈B) ∧ (∃y) (y ∈B ∧ y ∉ A)
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空集
不包含任何元素的集合称为空集. 记作Φ. 也就是说, Φ={x | P(x) ∧ ¬P(x)} • 注意:空集是任意集合的子集. • 比较:Φ和{Φ}
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集合的运算
• • • • • 集合的交 集合的并 集合的补 集合的差 集合的对称差
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集合的交
• 集合A和集合B的所有共同元素所组成的 集合.记作A∩B. • 也就是说, A∩B={x | (x∈A ∧ x ∈B)}.
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集合交运算的性质
• • • • • 幂等律: A∩A=A 零一律: A∩Φ= Φ 同一律: A∩E=A 交换律: A∩B=B∩A 结合律: (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)
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外延性原理
两个集合相等,当且仅当它们有相同的成员. 记作A=B. 也就是说, Vx ( x∈A ↔x ∈B)
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子集
• 子集: 集合A的每一个元素都是集合B的 元素,则称A是B的子集. 记作A ⊆ B. 也就是说, Vx (x∈A→ x ∈B).
回忆:两个集合相等的充要条件是互为子
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自反闭包的计算
• R是集合A上的一个二元关系, 那么R的自 反闭包 r(R)=R∪IA 为什么?
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对称闭包的计算
• R是集合A上的一个二元关系, 那么R的对 称闭包 s(R)=R∪R s(R)=R R-1 为什么?
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传递闭包的计算
• R是集合A上的一个二元关系, 那么R的传 递闭包 t(R)= ∪i=1∞ Ri, 且存在一个正整数k≦|A|(=n),使得 t(R)= ∪i=1k Ri, 通常就当成 t(R)= ∪i=1n Ri. 为什么?
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一个集合上的二元关系
• 如果序偶中的两个元素属于同一个集合A, 那么称R为在集合A上的一个二元关系. • 例子:恒等关系I={<x, x>|x ∈A}. : I={<x, A}.
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二元关系的表示
• 集合方法: 二元关系本身就是集合! • 关系图: 把集合的元素作为结点,若xRy,则 标上从x到y的有向线段 • 矩阵表示:MR=[rij]mxn 其中rij=1, 当<xi, yj>∈R, xi∈A,yj∈B. 否则rij=0. 注意: 各表示方法等价.而确定某种表示方 法后需遵从相应的运算法则.
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内容提要
• • • • 现代数学的基础 渗透到计算机科学的各个方面 典型的离散结构模型 基本内容：集合的概念、性质、运算、 关系、函数等。
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集合的概念
注意：集合无法精确定义！ 说明 • 集合：把具有共同性质的一些组成一个 整体，通常用大写字母表示，A，B，S • 有限集与无限集
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逆关系
• R是从集合A到集合B的一个二元关系,将 R中的每一序偶的元素顺序互换,得到R的 逆关系R-1. R-1={<y, x>|<x, y>∈R} 思考: 逆关系的矩阵是原关系矩阵的转置.
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逆关系的性质
• (R-1)-1=R • (R1∪R2)-1= R1-1∪R2-1 • (R1 ∩ R2)-1= R1-1 ∩ R2-1 • (R1 -R2)-1= R1-1 - R2-1 • (AXB)-1=BXA • (RºS)-1= S-1 º R-1 • (~R)-1=~R-1 注: ~R=AXB-R
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集合的计数
• 包含与排斥原理: A和B是有限集, 其元素 个数分别为|A|和|B|, 则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|. 特别地, 当A和B不相交时, 有 , A B , |A∪B|=|A|+|B|. 注: 可以推广到n个集合的情形.
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序偶
• • • • 具有固定次序 表示两个个体之间的关系 记作<a, b>. 显然, <a, b>≠<b, a>. 比较: 序偶与集合的关系 (序偶也称为有序集)
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全集
• 在一定范围内,如果所有集合都是一个集 合的子集,那么此集合可作为全集,记作E. 也就是说, E={x | P(x) ∨Байду номын сангаас¬P(x)}. • 注意:全集的概念是相对的.
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幂集
• 给定任意一个集合A,由A的所有子集作为 元素所组成的集合 记作Þ(A). • 显然: (1) Φ和A是Þ(A)中的元素; (2) 如果|A|=n, |Þ(A)|=2n.
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复合关系的性质
• 有序性: RºS ≠ SºR • 结合律: (RºS) ºP= Rº(S ºP)
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复合关系的矩阵表示
• 设R的关系矩阵MR=[rij]mxn, S的关系矩阵Ms=[sjk]nxp, RºS的关系矩阵MRºS=[xik]mxp, 其中, xik= ∨j=1n(rij ∧ sjk). 注: 这里的∨和∧称为逻辑加和逻辑乘.即 0∨0=0, 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1. 0∧0=0, 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ?怎么与数理逻辑中的真与假及运算相对应?
• 或者属于集合A, 或者属于集合B, 但不能 同时属于A和B. 记作A⊕B. • 也就是说, A⊕B={x| (x∈A ∧x ∉ B) ∨ (x∈B ∧x ∉ A)}, 即, A⊕B= (A-B) ∪ (B-A)
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集合对称差运算的性质
• • • • • 交换律: A⊕B= B⊕A 同一律: A⊕Φ=A 零一律: A⊕A= Φ 结合律: (A⊕B)⊕C= A⊕(B⊕C) A⊕B= (A∩~B) ∪ (~A∩B)
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二元关系的性质
• 一般地, 只讨论一个集合上的二元关系 • 某些特殊的性质需要进一步探讨 • 自反性(反自反性, 非自反性) • 对称性(反对称性, 非对称性) • 传递性
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自反性与反自反性
• 自反: R是集合A上的一个二元关系,如果对所有 的x∈A, 都有xRx, 则称R是自反的.否则R是非 自反的. . R自反 iff (Vx) (x∈A →<x, x>∈R) • 反自反: R是集合A上的一个二元关系,如果对所 有的x∈A, 都没有xRx, 则称R是反自反的. R反自反 iff (Vx) (x∈A →<x, x> ∉ R) • 注意:自反与反自反可以同时存在
• • • • • • • AXB ≠ BXA 若A=Φ或B=Φ, 则AXB=Φ. (AXB)XC ≠AX(BXC) AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC) AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC) (A∪B)XC=(AXC)∪(BXC) (A∩B)XC=(AXC)∩(BXC)
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二元关系
• 任一序偶的集合确定了一个二元关系. 记作<x, y> ∈R或 xRy. • 特别地, 对于集合A和B, 如果x∈A, y∈B, 则序偶<x, y> <x, y>所组成的关系R称为从集合 R A到集合B的二元关系. • 注意: R是A和B的笛卡尔积的子集. • 两个特殊二元关系:全域关系和空关系.
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传递性
• R是集合A上的一个二元关系,如果对于任 意的元素x, y, z, 每当xRy和yRz时,都有 xRz, 那么R是传递的.否则R是非传递的. R在A上传递 iff (Vx)(Vy)(Vz)((x∈A ∧ y∈A ∧ z∈A ∧ <x, y>∈R ∧ <y, z>∈R)→ <x, z>∈R)
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集合的并
• 集合A和集合B中所有属于A或属于B的元 素组成的集合,记作A∪B. • 也就是说, A∪B={x|(x∈A ∨ x ∈B)}.
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集合并运算的性质
• • • • • 幂等律: A∪A=A 同一律: A∪Φ=A 零一律: A∪E=E 交换律: A∪B=B∪A 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
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关系的闭包运算
• 自反闭包: 把原关系R扩充成包含R的最 小的自反的关系, 记作r(R). • 对称闭包: 把原关系R扩充成包含R的最 : R R 小的对称的关系, 记作s(R). • 传递闭包: 把原关系R扩充成包含R的最 小的传递的关系, 记作t(R).
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思考
• R本身是自反的, 它的自反闭包是什么? • R是对称的呢? • R是传递的呢?
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基于幂集的二进制编码
• 把集合A中的元素按出现的次序作为二进 制数的位,而各元素在A的每个子集中的 出现编为1, 不出现则为0. 这样每个子集 唯一地对应着一个二进制数编码. • 若|A|=n, 则Þ(A)={Ai |i ∈J}, J={j | j是 n 位 二进制数,000…0≦j ≦111…1}. 为什么?
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集合的差
• 所有属于集合A而不属于集合B的元素组 成的集合. 记作A-B. 也就是说, A-B={x|(x∈A ∧ x ∉ B)}. • 比较(1)A-B和B-A; (2)差运算和补运算.
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集合差运算的性质
• A-B=A∩~B • A-B=A-(A∩B)
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集合的对称差
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闭包运算之间的性质
R是集合A上的一个二元关系, 则有 • rs(R)=sr(R) • rt(R)=tr(R) • st(R) ⊆ ts(R)
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集合的覆盖
• 把一个集合A分成若干个非空子集(称为 分块)Si, 使得A中的每一个元素至少属于 其中一个分块, 且A= ∪i=1mSi. • 令S={S1, S2, …, Sm },称集合S是集合A的 一个覆盖.
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集合运算的其它性质
分配律: • A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C) • A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C) • A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 吸收律: • A∪(A∩B)=A • A∩(A∪B)=A
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思考
• 集合运算有最小运算符集合吗? • 如果有,是什么? A: {~, ∩} 或{~, ∪}
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复合关系
• 设R是从集合A到集合B的一个二元关 系,S是从集合B到集合C的另一个二元关 系,则记RºS是R和S的复合关系.即 RºS={<x, z>| x∈A∧z∈C∧(∃y)y∈B ∧<x, y>∈R∧<y, z>∈S} • 特别地, 若R=S, 则复合关系记为R(2). • 推广到一般情形为Rº RºR… RºR=R(n).
元素与集合
• 元素：组成集合的单个事物，通常用小 写字母表示，a, b, c • 若一个元素 a 在集合A内，称a属于A， 记作 a∈A。 • 若一个元素 a 不在集合A内，称a不属于 A，记作 a ∉ A。
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集合的表示
• 枚举法 把集合中的所有元素列举出来 例: A={1,2,3,…N} • 叙述法 把集合中元素的共同性质刻划出来 例: A={x | P(x)}, P为一谓词.
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集合的补
• E是全集, A是一个集合,属于E而不属于A 的元素所组成的集合.记作~A. • 也就是说, ~A={x | x ∉ A}.
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集合补运算的性质
• 对合律: ~(~A)=A • De Morgan律: ~(A∪B)=~A∩~B, ~(A∩B)= ~A∪~B • 否定律: ~E= Φ, ~ Φ=E A∪~A=E, A∩~A= Φ
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对称性与反对称性
• R是集合A上的一个二元关系,如果对于所有的x, y, 每当xRy, 就有yRx, 则称R是对称的. 否则R是 非对称的. R在A上对称 iff (Vx)(Vy)((x∈A ∧ y∈A ∧<x, y>∈R) → <y, x>∈R) • R是集合A上的一个二元关系,如果对于所有的x, y, 每当xRy和yRx时必有x=y, 则称R是反对称的. R在A上反对称 iff (Vx)(Vy)((x∈A ∧ y∈A ∧<x, y>∈R ∧ <y, x>∈R)→x=y) • 注意:对称与反对称可以同时存在
• 注意: 可以推广到n元情形.
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笛卡尔积
• 给定集合A和集合B, 定义这样的序偶,其 第一个元素属于A, 第二个元素属于B. • 上述序偶组成的集合称为集合A和B的笛 卡尔积. 记作A X B. • 也就是说, A X B={<x, y>| (x∈A) ∧(y∈B)}
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笛卡尔积的性质