突变理论在边坡稳定性综合评价中的应用

4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.3 实例计算
根据突变理论综合分析的步骤，对岩石高边坡进行 了安全评判。按归一公式分别计算各指标的突变级数值，
变形指标的计算结果见表3所示。
表3 变形指标计算结果
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.3 实例计算
表 3 中内观的 3 类监测项目 ( 测斜、多点、单
合理的确定参数的隶属函数以及综合评判体系中各层指标权重
的选择十分困难，且主观性较强。 考虑边坡的现场情况，针对评价因素权重确定中的困难，
把突变理论运用到边坡的综合评价中，利用突变理论在多准则
评价决策中的优点，避免人为确定权重的主观性。
1 绪论
突变理论为我们提供了研究岩体边坡稳定性的新方法： 根据表层岩体位移观测数据，通过建立势能函数或者通过
写在前面的是主要控制变量，后面的是次要控制变量。在确定控制 变量的个数后就可以采用相应的突变模型，然后根据不同模型的归
一公式计算出上层状态变量的突变函数值。
x a （ a） b a x b （ b） c c d x a （ c） b
图2 3种突变模型示意图
3 边坡安全评价体系
3.1 边坡监测仪器布置
图3 边坡监测仪器布置图
这种多项目、多测点的监测可以较全面地反映边坡在不同时
期的安全稳定性态，可以及时对边坡的发展趋势进行分析反馈。
3 边坡安全评价体系
3.2 边坡安全综合评价体系
由于边坡的稳定控制
主要是控制变形，监测也 主要以变形监测为主，所 以对第 1 层评价指标采用 燕尾突变模型，变形是主 要控制变量，应力其次， 地下水的观测时间最短， 所以影响程度最小。
当系统处于平衡状态时，有
此三次方程的实根为一个或三个，其判别式为：Δ 8a 3 27b 2 当Δ>0 时，有一个实根；Δ<0 时，有三个互异的实根；Δ=0 时， 三个实根中有两个相同（a、b均不为零）或三个均相同（a=b=0）。
2 突变基本理论
2.2.1 尖点突变模型（最常见、应用最广泛）
点 ) ，代号分别为 A1 ， A2 ， A3 ，采用非互补型蝴蝶
突变模型；外观指标下分 3个子指标(断面560，61 0，560)，代号分别为 B1，B2，B3，采用互补型蝴 蝶突变模型。 求出内观、外观指标值后，采用尖点突变模 型计算变形评判指标的总突变函数值。
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
双曲突变（Hyperbolic Umbilic)及抛物突变（Parabolic Umbi
lic) 。
2 突变基本理论
2.2 初等突变类型
对于初等突变理论而言，由于数学基础是根据系统的势函 数而对临界点进行分类，因此突变理论研究的仍是状态的分岔，
即平衡点间的相互转换问题。
任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状 态跃变到另一个平衡状态时，即发生了突变，该过程的全貌可
2 突变基本理论
2.2.1 尖点突变模型（最常见、应用最广泛）
尖点突变模型势函数的一般表达式为：
V (x ) x 4 ax 2 bx
式中，y为状态变量，a、b为控制参数，V(x)表示一种势，即状态 为x时，系统贮存的能量。
V (x ) 0 即平衡曲面方程为 4x 3 2ax v 0
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.1 底层监测信息标准化
根据长期的监测数据以及工程经验，可以将测点的变化
速率划分为几个区间，变化速率标准化建议区间见下表。（参
考：侯玉成.土石坝健康诊断理论与方法研究[硕士学位论文]. 河海大学，2005）
表2 变化速率标准化建议区间
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
通过一个光滑的平衡曲面（突变流形）来描述。突变理论所研
究的就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。 Thom通过数学推导，证明了渐变的控制空间所产生的突变
行为（状态空间），在控制空间不超过 4维、状态空间不超过 2
维时，各种初等突变可归结为7种基本类型。
2 突变基本理论
2.2 初等突变类型
表1 7种基本突变类型
常，且有向好的方向发展的趋势。
随着监测的继续，可以计算出更多时间的突变值， 可以对边坡的状态进行长期的评价
5 结论
边坡的安全稳定评判是一个非常重要而复杂的系统问题， 需要从系统分析的角度加以考虑。
基于突变数学理论引出的多准则评价决策方法，减少了
目前评价方法中由于权重确定带来的主观性。对于边坡 安全这类复杂抽象的目标，进行多层指标分解，再用归 一公式进行综合量化计算，最后可求出总的突变级数。 将不同时期的边坡的总突变值进行比较分析，可以得出
x3 =2mm/d 。例如测点 1 在 2004 年的位移速率 vt =0.84 mm/d ，
用上面的标准化公式， ut=0.75-(0.84-0.50)(0.75-0.50) /0.50=0.58。同法可算出其余仪器在0～1内的指标值。 根据底层指标的标准化数值，按归一公式可以算出各 控制变量的相应中间值，即突变级数值。然后逐级向上计 算，可得到边坡安全的总突变级数值。
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用
由于在整个综合评判过程中，诸控制变量的底层指
标和突变级数值均转化为 [0 ， 1] 区间内的越大越优型， 所以最终的总突变级数值也越大越优。
通过分析不同时期的监测数据，可以得出不同时期
的总突变级数值，从而分析边坡安全状态的变化情况。 若突变值随时间的推移而增大或基本稳定，说明该边坡 的安全状态向好的方向发展；若突变值随时间的推移而 明显减小，则应引起注意。
4.1 底层监测信息标准化
设测点的变化速率为 vt ，标准化后的数值为 ut 。当 vt
的数值位于不同的区间时，分别有如下的标准化公式：
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.1 底层监测信息标准化
当对表 1 中的区间的界线值 x1 ， x2 ， x3 取不同的值时，
可以得到不同仪器原始速率vt的标准化后的不同数值。 针对测斜仪的监测数据，取 x1=0.5mm/d，x2=1 mm/d，
燕尾突变模型归一公式： xa=a1/2，xb=b1/3 ， xc=c1/4 ;
蝴蝶突变模型归一公式： xa=a1/2，xb=b1/3 ， xc=c1/4 ，
xd=d1/5 ;
2 突变基本理论
2.2.2 常用初等突变模型
3种模型示意图如图2所示，其中，图2（a）为尖点突变模型系
统，图2（b）为燕尾突变模型系统，图2（c）为蝴蝶突变模型系统。
个新兴数学分支，其主要方法是将各种突变现象归纳到不同类
别的拓扑结构中，根据势函数把临界点分类，讨论各类临界点 附近的非连续特性，并建立了7种初等突变模型，即：折叠型突
变（ Fold Catastrophe) 、尖点型突变（ Cusp Catastrophe) 、
燕尾型突变（Swallowtail Catastrophe) 、蝴蝶型突变（Butt erfly Catastrophe) 、椭圆脐点突变（ Elliptic Umbilic) 、
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用
利用突变理论进行多
目标综合分析评价决策时， 要考虑两种原则，即“非
互补”评价决策和 “互补”
评价决策。（参考：三峡 水工建筑物安全监控与反
馈设计，左书）
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用
拟合曲线，获得岩体系统是否失稳的判据，确定岩体边坡系统
的临界状态，研究系统状态在变化时是否通过分叉集曲线，从 而预测边坡系统的稳定状态。 利用突变理论进行边坡稳定性研究具有重要的理论和现实 意义。
2 突变基本理论
2.1 突变理论概述
法国数学家 Thom于1972 年以奇点理论、稳定性理论等为基 础，建立了突变理论，用来研究各种突变（不连续）现象的一
突变理论在边坡稳定性 综合评价中的应用
目 录
1
2 3 绪论 突变基本理论 边坡安全评价体系
4
5
运用突变理论对边坡进行综合分析
结论
1 绪论
边坡工程的稳定性评判是一个十分复杂而又重要的系统问
题，包含的因素很多，涉及到很多不确定性问题。目前研究较
多的方法集中于使用模糊数学对边坡进行安全稳定分析和模糊 综合评判。这些方法从不同的角度对边坡稳定进行了研究，但
边坡的安全的动态发展趋势，且计算简便易行。
若一个系统的诸控制变量 ( 如 a ， b ， c ， d) 之间不可互
相替代，即不可相互弥补其不足，因而按归一公式求得系 统状态变量x的值时，要从诸控制变量相对应的突变级数值
中选取一个最小的作为系统的x值，即“大中取小”的“非
互补”原则。 若一个系统的诸控制变量之间存在相互关联作用，则 应取控制变量对应的突变级数的平均值来作为系统的x值， 即“互补”原则。
尖点突变模型的一般特征：
突然跳跃性 滞后性
多模态 不可到达性 发散性
2 突变基本理论
2.2.2 常用初等突变模型
Thom归纳的7种初等突变模型中较常用的模型有：尖
点突变模型、燕尾突变模型和蝴蝶突变模型。设x为状态 变量，a、b、c、d为控制变量，其归一公式如下所示：
尖点突变模型归一公式：xa=a1/2，xb=b1/3;
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
4.1 底层监测信息标准化
设定边坡最危险时的状态为 0，最安全时为1。为了进行
综合分析，要将底层指标(控制变量)进行标准化处理，得到 其安全数值。
通常底层指标既有定量指标，也有定性指标，两者的规
格化的处理方法不同。由于本评价体系是完全基于现场监测 的基础建立的，因此都是定量指标，只需按照一定的控制标 准进行转化都可以将其转化到 0～1范围内的越大越好型无量 纲指标值。
图4 边坡安全综合评价体系
3 边坡安全评价体系
3.2 边坡安全综合评价体系
边坡的变形观测又分内观和外观，内部观测能反映岩体中的 深层结构面的演变情况，而岩石边坡中的不利结构面常常是引起 边坡破坏的主要内在因素，因此是主要控制变量；外观主要是通 过全站仪在外观位移标墩上测量边坡的外表的变化情况，是次要 控制标量，因此对此层采用尖点突变模型。 内观又由3种监测项目(测斜、单点位移计、多点位移计)组成， 所以对此层元素采用燕尾突变模型；综合考虑到仪器位置及观测 的时间长短、数据量的大小，将测斜作为主要控制变量，多点位 移计其次。 各评价层元素的相对重要性用归一公式中的a，b，c表示，
4.3 实例计算
同理可求出应力和地 下水的突变函数值： X应力 =0.90，X地下水=0.94。 采用非互补型蝴蝶突
变模型可得到边坡的总突
变函数值为0.87。 同理可以求出第二年 边坡的总突变值为0.89。
4 运用突变理论对边坡进行综合分析
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从连续2年的突变值可以看出边坡的总突变值均较大， 且基本稳定，有小幅增大。说明边坡的安全状态基本正