吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中2020届高三下学期联考数学(理)试题(5月份)(解析版)

2020年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若z＝2+i，则﹣＝（）
A．i B．﹣i C．﹣i D．+i
2．（5分）已知集合A＝{x|lg（x2﹣x﹣1）＞0}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞0}
C．{x|2＜x＜3}D．{x|0＜x＜1}∪{x|2＜x＜3}
3．（5分）设非零向量，满足||＝3||，cos＜，＞＝，•（﹣）＝16，则||＝（）A．B．C．2D．
4．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）
A．B．
C．D．
5．（5分）设双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则（）
A．e3＜e2＜e1B．e3＜e1＜e2C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3 6．（5分）若log2x+log4y＝1，则x2+y的最小值为（）
A．2B．2C．4D．2
7．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD＝10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①③B．①③④C．①④D．②③④
8．（5分）在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（）
A．420B．766C．1080D．1176
9．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+），则（）
A．f（x）的最小正周期为
B．曲线y＝f（x）关于（，0）对称
C．f（x）的最大值为2
D．曲线y＝f（x）关于x＝对称
10．（5分）函数f（x）＝|lgx2|+x2﹣2|x|的零点的个数为（）
A．2B．3C．4D．6
11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB＝2，若二面角B1
﹣BC1﹣E为45°，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（）
A．πB．12πC．9πD．10π
12．（5分）若曲线y＝xe x+（x＜﹣1）存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（）
A．（﹣，0）B．[﹣，0）
C．（﹣，+∞）D．（﹣1，﹣）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最大值为．
14．（5分）某工厂共有50位工人组装某种零件．如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况．由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为．若将500个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过分钟后，所有工人都完成组装任务．
15．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，且（sin2A+4sin2B）c＝8（sin2B+sin2C﹣sin2A），则a＝．
16．（5分）设A（﹣2，0），B（2，0），若直线y＝ax（a＞0）上存在一点P满足|P A|+|PB|＝6，且△P AB的内心到x轴的距离为，则a＝．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设等差数列{a n﹣b n}的公差为2，等比数列{a n+b n}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{2a n+2n}的前n项和S n．
18．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝CD＝4，AE＝5，．
（1）证明：DF∥平面BCE．
（2）求平面ABF平面CDF所成的锐二面角的余弦值．
19．（12分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．
（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax．
（1）讨论f（x）在（a，+∞）上的单调性；
（2）若a≥﹣3，求不等式f（2x2﹣4x+3）＜x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．
（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：点G 在定直线上．
（2）若p＝2，点M在曲线y＝上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ 面积的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若点P的极坐标为（1，π），过P的直线与曲线C交于A，B两点，求+
的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|3x﹣2|﹣kx．
（1）若k＝1，求不等式f（x）≤3|x﹣1|的解集；
（2）设函数f（x）的图象与x轴围成的封闭区域为Ω，证明：当2＜k＜3时，Ω的面积大于．
2020年吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】把z＝2+i代入﹣，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝2+i，
∴﹣＝＝
＝．
故选：A．
2．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵lg（x2﹣x﹣1）＞0，∴x2﹣x﹣1＞1，化为（x﹣2）（x+1）＞0，
解得：x＜﹣1或x＞2．
∴集合A＝{x|lg（x2﹣x﹣1）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
B＝{x|0＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．
故选：C．
3．【分析】由于•（﹣）＝，再利用平面向量数量积进行运算求解即可．【解答】解：∵||＝3||，cos＜，＞＝，
∴•（﹣）＝，
∴．
故选：A．
4．【分析】直接利用三视图的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体ABCC1DE的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形，即点A的射影落在D点，点B的射影落在C点，线段BE的射影落在EC的位置．故选：A．
5．【分析】利用双曲线的离心率公式，求出3个双曲线的离心率，然后判断大小即可．【解答】解：因为双曲线的离心率为，e1＝＝e2＝，
e3＝＝，
所以e2＜e1＜e3．
故选：D．
6．【分析】由对数的运算法则可求x2y＝4（x＞0，y＞0），再用均值不等式可求x2+y的最小值．
【解答】解：因为log2x+log4y＝log4x2+log4y＝log（x2y）＝1，
∴x2y＝4（x＞0，y＞0），
则x2+y≥2＝4，当且仅当x2＝y＝2时等号成立，则x2+y的最小值为4．
故选：C．
7．【分析】如图，设BC＝x，则AC＝x+1，解三角形ABC，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式，得出结论．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝x+1，∵AB＝5，∴52+x2＝（x+1）2，∴x＝12，
即水深为12尺，故芦苇长为13尺．
∴，由，解得（负根舍去）．
∵，∴，
故正确结论的偏号为①③④，
故选：B．
8．【分析】根据题意，按一等奖的名额数目分2种情况讨论，求出每种情况中可能的数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，一等奖有2个名额，有C61C61+C61C81+C61C81＝132种可能，
②，一等奖有3个名额，有C203﹣C83﹣C63﹣C63＝1044种可能；
则共有132+1044＝1176种可能；
故选：D．
9．【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性、最值，以及图象的对称性，得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+sin2x+cos2x＝•（sin2x+ cos2x）＝sin（2x+），
它的最小正周期为＝π，最大值为，故排除A、C；
令x＝，求得f（x）＝，故曲线y＝f（x）不关于（，0）对称；
令x＝，求得f（x）＝，故曲线y＝f（x）关于直线x＝对称，故D正确，故选：D．
10．【分析】条件转化为函数y＝|lgx2|与函数y＝2|x|﹣x2图象交点个数，作出函数图象，数形结合即可．
【解答】解：条件等价于函数y＝|lgx2|与函数y＝2|x|﹣x2图象交点个数，
作出函数图象如下：
由图可知，共有4个交点，
故选：C．
11．【分析】连接B1C1交BC1于O，可得B1O⊥BC1，利用线面垂直的判定定理可得：BC1⊥平面B1OE，于是BC1⊥EO，可得而∠B1OE为二面角B1﹣BC1﹣E的平面角，进而利用球的表面积计算公式得出结论．
【解答】解：连接B1C1交BC1于O，则B1O⊥BC1，
易知A1B1⊥BC1，则BC1⊥平面B1OE，
所以BC1⊥EO，
从而∠B1OE为二面角B1﹣BC1﹣E的平面角，
则∠B1OE＝45°．
因为AB＝2，所以，
故四面体BB1C1E的外接球的表面积为．
故选：D．
12．【分析】先求出y＝xe x+（x＜﹣1）的导数，令y'＝0，得到m＝（x+1）3e x，然后将问题转化为m＝（x+1）3e x在（﹣∞，﹣1）上有两个不同的解，再构造函数f（x）＝（x+1）3e x（x＜﹣1）求出f（x）的取值范围即可．
【解答】解：由y＝xe x+（x＜﹣1），得，
令y'＝0，则m＝（x+1）3e x，
∵曲线y＝xe x+（x＜﹣1）存在两条垂直于y轴的切线，
∴m＝（x+1）3e x在（﹣∞，﹣1）上有两个不同的解．
令f（x）＝（x+1）3e x（x＜﹣1），则f'（x）＝（x+1）2e x（x+4），
∴当x＜﹣4时，f'（x）＜0；当﹣4＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣4）上单调递减，在（﹣4，﹣1）上单调递增，
∴，
又当x＜﹣1时，f（x）＜0，
∴．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z＝x﹣3y得y＝x﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y═x﹣，
由图象可知当直线y═x﹣经过点A时，直线y═x﹣的截距最小，
此时z最大，
由，解得A（，）．
代入目标函数z＝x﹣3y，
得z＝＝0，
故答案为：0．
14．【分析】根据散点图得出加工1个零件所用工时对应的人数，求出中位数和完成零件时的最多用时即可．
【解答】解：根据散点图填写下表，
所以这50人所用工时中位数是3.3；
500个零件平均分给50人，每人10个，最多用时为3.5×10＝35（分钟）；
所以都完成时至少用时35分钟．
故答案为：3.3，35．
15．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解．
【解答】解：因为（sin2A+4sin2B）c＝8（sin2B+sin2C﹣sin2A），
所以（a2+4b2）c＝8（b2+c2﹣a2），又b＝1，
所以（a2+4b2）bc＝8（b2+c2﹣a2），
所以，
则，解得a＝2．
故答案为：2．
16．【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（2，0），P满足|P A|+|PB|＝6＞|AB|，
∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，椭圆方程为，
若直线直线y＝ax（a＞0）与椭圆方程为联立，可得，，y2＝
△P AB的内心到x轴的距离为，所以三角形的内切圆的半径为：r＝，三角形的面积为：，可得|y|＝，y2＝
＝＝，解得a＝3，因为a＞0，所以a＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．【分析】（1）a1﹣b1＝1，a1+b1＝3，可得a n﹣b n＝2n﹣1，a n+b n＝3×2n﹣1．联立解得a n．（2）2a n+2n＝2n﹣1+5×2n﹣1．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）a1﹣b1＝1，a1+b1＝3，
∴a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，a n+b n＝3×2n﹣1．
联立解得a n＝（2n﹣1）+3×2n﹣2．
（2）2a n+2n＝2n﹣1+3×2n﹣1+2n＝2n﹣1+5×2n﹣1．
∴数列{2a n+2n}的前n项和S n＝+5×＝n2+5×2n﹣5．
18．【分析】（1）证明DE⊥AD．求出DE＝3．然后证明BF∥DE．推出DF∥BE．即可证明DF∥平面BCE．
（2）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面CDF的法向量，平面ABF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解所求锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD．
∵AD＝4，AE＝5，∴DE＝3．
同理可得BF＝3．
又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴BF∥DE．
∵BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴DF∥BE．
∵BE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE，∴DF∥平面BCE．
（2）解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F（4，3，﹣3），
则，．
设平面CDF的法向量为，
则，即，
令x＝3，则z＝4，得．
易知平面ABF的一个法向量为，
∴，
故所求锐二面角的余弦值为．
19．【分析】（1）X的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）求出EX＝15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX＝15065.6元．再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000＝16000元，得到应该选择人工检验．
【解答】解：（1）X的可能取值为8，20，P（X＝8）＝0.84+0.24＝0.4112，P（X＝20）＝1﹣0.4112＝0.5888，
则X的分布列为
（2）由（1）知，EX＝8×0.4112+20×0.5888＝15.0656，
所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX＝15065.6元．
因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000＝16000元，
且16000＞15065.6，
所以应该选择人工检验．
20．【分析】（1）先求导f′（x）＝3x2+a，分当a≥0时，a＜0时，两种情况讨论，而当a ＜0内再分类讨论，得到单调递性，
（2）当a≥﹣3，f′（x）＝3x2+a≥3x2﹣3，可得f（x）在[1，+∞）上单调递增．原不等式等价为f（2x2﹣4x+3）＜f（x2+2），因为2x2﹣4x+3≥1，x2+2＞1，所以2x2﹣4x+3＜x2+2，可解不等式，进而得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+a，
当a≥0时，f′（x）≥0，则f（x）在（a，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f′（x）＝0，得x＝±．
①当a＝﹣时，﹣＝a，
令f′（x）＜0，得a＜x＜﹣a，
令f′（x）＞0，得x＞﹣a，
所以f（x）的单调递减区间为（a，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．
②当a＜﹣时，﹣＞a，
令f′（x）＜0，得﹣＜x＜，
令f′（x）＞0，得a＜x＜﹣或x＞，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣，），单调递增区间为（a，﹣），（，+∞）
③当﹣＜a＜0时，﹣＜a，
令f′（x）＜0，得a＜x＜﹣或x＞
令f′（x）＞0，得，x＜，
所以f（x）的单调递减区间为（a，），
单调递增区间为（，+∞）．
（2）因为a≥﹣3，所以f′（x）＝3x2+a≥3x2﹣3，
当x≥1时，f′（x）≥0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递增．
因为x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）＝（x2+2）3+a（x2+2）＝f（x2+2），
所以原不等式等价为f（2x2﹣4x+3）＜f（x2+2），
因为2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1≥1，x2+2＞1，
所以2x2﹣4x+3＜x2+2，
解得2﹣＜x＜2+，
故所求不等式的解集为（2﹣，2+）．
21．【分析】（1）设，．根据条件分别求出直线PG的方程，QG 的方程，联立可得．故点G在定直线上．
（2）设M（x0，y0），表示出△MPQ的面积．结合M在曲线y＝上，即可求出面积的取值范围．
【解答】（1）证明：易知，设，．
由题意可知直线l的斜率存在，故设其方程为．
由，得x2﹣2pkx﹣p2＝0，所以．
由x2＝2py，得，，则，
直线PG的方程为，即，①
同理可得直线QG的方程为，②
联立①②，可得．
因为x1≠x2，所以，故点G在定直线上．
（2）解：设M（x0，y0），MP，MQ的中点分别为，
．
因为MP，MQ得中点均在抛物线C上，所以x1，x2为方程的解，
即方程的两个不同的实根，
则x1+x2＝2x0，，，
即，
所以PQ的中点N的横坐标为x0，则
＝，
，
所以△MPQ的面积．
由，得，
所以，
因为﹣1≤y0≤0，所以，
所以△MPQ面积的取值范围为．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标
方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5，转换为极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣2ρsinθ．
（2）点P的极坐标为（1，π），转换为直角坐标方程为（﹣1，0），
所以经过点P的直线得参数方程为（t为参数）代入圆的直角坐标方程
（x﹣2）2+（y+1）2＝5，得t2+（2sinα﹣6cosα）t+5＝0，
所以：t1+t2＝﹣2sinα+6cosα，t1t2＝5，
所以+＝．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【分析】（1）由题意可得|3x﹣2|﹣3|x﹣1|≤x，运用绝对值的概念，由零点分区间法，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）可令f（x）＝0，求得零点，画出当2＜k＜3时，y＝f（x）的图象与x轴围成的三角形区域Ω，运用三角形的面积公式和不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（1）若k＝1，不等式f（x）≤3|x﹣1|，即为|3x﹣2|﹣3|x﹣1|≤x，
等价为或或，
解得x≥1或＜x＜1或﹣1≤x≤，
则原不等式的解集为[﹣1，+∞）；
（2）证明：f（x）＝|3x﹣2|﹣kx，
当x≥时，f（x）＝0，解得x＝；
当x＜时，f（x）＝0，解得x＝．
当2＜k＜3时，作出y＝f（x）的图象与x轴围成的三角形区域Ω，可得B（，0），A（，0），C（，﹣k），
可得面积为•k•（﹣）＝＝•，由2＜k＜3，可得4＜k2＜9，﹣1∈（0，），
则•＞×＝．
所以当2＜k＜3时，Ω的面积大于．。