职高数学-函数的奇偶性

1.偶函数
定义：
(i)定义域D具有的性质：定义域D关于原点对称，即x∈D时-x∈D; (ii)函数具有的性质：对于任x∈D,f(x)=f(-x) 结论： 偶函数的图像关于y轴对称；反之，图像关于 y轴对称的函数一定是偶函数。 练习：下面的函数图像是偶函数吗？为什么？
思考
-a
a
2.奇函数
f(-x)=-f(x)
（3）因为定义域(0, +∞) 不关于原点对称，所以 f(x)=x2-2,x∈(0, +∞)既不是奇函数，也不是偶函数。
（4）任取x∈[-3,3],则f(x)=x3-x,f(-x)=(-x)3-(-x)=x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以f(x)=x3-x是奇函数。
A
B
返回
C
下列函数是否为偶函数，为什么？
。
返回
下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
pllll 返回
根据函数解析式判断函数的奇偶性
f(x)=x5+2x,x∈[-2,3]
返回
f(x)=x2， x∈R
x
-3
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
f ( x) x 2 9
f(x)=|x|， x∈[-3,3]
f(x)=f(-x)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f ( x) | x | 3
2
1
0
1
2
3
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 这种特征在自变量与函数值上是如何体现的？
(3)定义域D都有什么共同特征？
即f(x)=f(-x), 所以f(x)=x2+1是偶函数。
(3)f(x)=x2-2,x∈(0, +∞) 解：因为定义域(0, +∞) 不关于原点对称，所以 f(x)=x2-2,x∈(0, +∞)既不是奇函数，也不是偶 函数。
练习
A
B
C
D
E
F
根据函数解析式判断函数的奇偶性
f(x)=x5
返回
下列函数图像是偶函数图像的是（）
根据函数图像判断函数的奇偶性
f(x)=x3
返回
小结
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点中心对称;
偶函数的图象关于y轴轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
类比于偶函数，请你观察一下奇函数具有的特征？ x
f ( x) x
-3
-3
-2
2
-1
1
0 0 0
1 1 1
2 2 2 1/ 2
3 3 3
x
f ( x) 1 x
-3
-2
-1
1
1/ 3 1/ 2
0
1
1/ 3
你能根据偶函数的定义说出奇函数的 定义吗？
(i)定义域D具有的性质：定义域D关于原点对称， 即x∈D时-x∈D; (ii)函数具有的性质：对于任x∈D,f(-x)=-f(x).
作业
必做题：课内练习2，P65,习题1，2
选做题：（1）求证：f（x）＝0
1。已知f（x）在定义域内既是源自文库函数又是偶函数，
（2）试问这样的函数只有一个吗？
对称现象的数学体现
观察下列函数图像，讨论并思考下列问题
f(x)=x2， x∈R
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
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§2.3函数的基本性质—奇偶性
学习目标 1.理解函数奇偶性的含义 2.理解函数奇偶性的数学定义和图像特征 3.会根据图像及解析式判断函数的奇偶性
对称现象的数学体现
观察下列函数图像，讨论并思考下列问题
结论： 奇函数的图像关于原点中心对称;反之，图 像关于原点中心对称的函数一定是奇函数。
例1：根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
例2：判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=-2x (2)f(x)=x2+1 解： （1）任取x∈R,则f(x)=-2x,f(-x)=-2(-x)=2x 即f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x是奇函数. （2）任取x∈R,则f(x)=x2+1,f(-x)=(-x)2+1=x2+1
f(x)=|x|， x∈[-3,3]
f(-3)=3=f(3)
f(-2)=2=f(2)
f(-1)=1=f(1)
即f(x)=f(-x)
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 这种特征在自变量与函数值上是如何体现的？ (3)定义域D都有什么共同特征？
例2：判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=-2x (3)f(x)=x2-2,x∈(0, +∞) 解： （1）任取x∈R,则f(x)=-2x,f(-x)=-2(-x)=2x=-f(x),所 以f(x)=-2x是奇函数. （2）任取x∈R,则f(x)=x2+1, f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以 f(x)=x2+1是偶函数。 (2)f(x)=x2+1; (4)f(x)=x3-x,x∈[-3,3]