力的分解

3.5 力的分解
自主探究
“和尚正塔”的力学原理：传说我国明朝年间，苏州的虎丘寺塔因年久失修，塔身倾斜，有倒塌的危险，如何修复此塔？有的建议用粗绳子把塔拉正，可一拉反而会倒：有的建议用大木柱撑住，但很不雅观。

一天，一个和尚路过此地，观察斜塔后，自告奋勇地说：“不需人力和财力，我一个人可以把塔扶正。

”在场人无不惊疑而取笑他，可和尚不管别人怎么议论，天天提着一个大包走进寺院，包里装了一些一头厚一头薄的木楔（斜面），他把这些木楔一个个的从塔身倾斜的一侧的砖缝里敲进去。

不到一个月，塔身果然扶正了。

木楔为什么能产生这么大的力量呢？
如图所示，设木楔是一个顶角为θ的等腰三角形，木楔敲入砖
缝时产生的敲击力为F，木楔将对塔身产生两个分力，即楔对塔身
的弹力N，由正弦定律得：
对木楔来说，顶角θ很小，从上面表达式可知N》F。

例如θ＝4°，F＝3000 N，代入上式得N＝4.3×104N，这个力大约相当于能把43吨重的物体举起来，足可以支撑塔身。

可见，“和尚正塔”的传说中，和尚利用木楔确可以把塔扶正。

“逆风行舟”原理：如图所示为小船的
俯视图，控制航向，使风从帆面MN的外
侧前方吹来，风吹在帆面上的力可以分解
为沿帆面的阻力F1和垂直于帆面的力F2，
F2又可以分解为沿航向和垂直于航向的力
F′和F′′，F′′主要靠水对船体的横
向阻力相平衡，而沿航向的分力F′比船
体的纵向阻力（包括F1沿航向的分力）大
得多，故船可以沿航向向前航行。

由上可知，帆船能侧逆风前进。

为了
达到顶风的目的地，帆船必须不断改变航向，走“之”字形，并不断改变帆的方位，如图所示。

教材详解
1．力的分解
求一个已知力的分力的过程，叫力的分解。

力的分解是力的合成的逆运算。

对于一个确定的物体所受到的力进行分解时，应根据实际效果进行有意义的分解。

因此，力的分解的关键就是找出力的作用效果，就可以确定分力的方向，据此画出力的平行四边形，接着转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题。

力的分解的一般步骤：①根据实际力的作用效果确定两个分力的方向；②以已知力为平行四边形的对角线和两个分力的方向为邻边画出平行四边形；③根据平行四边形或三角形确定分力的大小和方向。

2．将一个力分解的四种情况。

①已知两个分力的方向，求两个分力的大小。

如图所示，已知F 和α 、β，显然该力的平行四边形是惟一确定的，即F 1
和F 2的大小也就被惟一的确定了。

②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向。

仍如图所示，已知F 、F 1和α ，显然此平行四边形也被惟一确定了，即F 2的大小和方向（角β）也被惟一确定了。

③已知一个分力的方向和另一个分力的大小，即已知F 、α（F 1与F 的夹角）和F 2，这时则有如下的几种可能情况。

情况一：F ＞F 2＞F sin α，有两解，如图所示，如果F 2≥F 时只有一个解。

情况二：F 2＝F sin α 有惟一解，如图所示。

情况三：F 2＜F sin α 时，无解，因为此时按所给的条件无法构成力的平行四边形。

④已知两个分力的大小，求两分力的方向。

如图所示，当绕着F 的作用线将图转过一定角度时，仍保持着F 1、F 2的大小
为原值，但方向不同，所以其解是不惟一的。

3．矢量和标量
①矢量：在物理学中，有大小、有方向，又遵循平行四边形定则
的物理量叫做矢量。

我们学习过的矢量有：力、速度、加速度、位移
等。

②标量：在物理学中，只有大小，没有方向的物理量叫做标量。

我们学习过的标量有：质量，体积、路程等，标量的运算法则是代数运算。

4．三角形定则
三角形定则也是两个共点力合成的一种几何作图法．作图方法是：两个共点力F 1 和F 2合成时，可先按F 1的大小和方向作图（图示有向线段AB ），再以B 端（F 1的箭头）为起点按F 2 的大小和方
向作图（图示有向线段BC ），连接由A 指向C 的有向线段 AC （F 1的箭尾指向F 2的箭头）即两个共点力F 1 和F 2 的合力F （如图所示）．这种共点力合成的作图法称为力的三角形定则．
三角形定则与平行四边形定则的实质是一样的。

这个三角形实际上就是平行四边形的一半，
F 2′
F
2
它也包含了两个分力和一个合力的大小和方向的所有信息。

如果多个矢量合成时，还可以把它演化成多边形定则（见第四节自主探究的“力的合成的多边形法则”）。

5．正交分解法
在很多问题中，常把一个力分解为互相垂直的两个分力，特别是物体受到多个力作用时，把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后求两个方向上力的合力，这样可把复杂问题简化，尤其是在求多个力的合力时，用正交分解的方法，先将力分解再合成非常简单。

正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要，为简化问题来分解。

正交分解法是把力沿着两个经悬点的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，“分”的目的有时是为了更方便的“合”，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下：
①以共点力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴。

坐标轴方向的选择应根据实际情况确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使向两个轴投影分解的力尽可能的少。

②将与坐标轴不重合的力分解成x 轴方向和y 轴方向的两个分力。

例如F 1分解成F 1x 和F 1y ，如果与x 轴的夹角为，则F 1x ＝F 1cos θ ，F 1y ＝F 1sin θ。

与坐标轴重合的力就不需要分解了。

③求出x 轴和y 轴方向上的合力。

与正方向相同的取正值，相反的取负值，然后利用代数运算求得，即F x 合＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y 合＝F 1y ＋F 2y ＋…。

如果是根据平衡条件或牛顿第二定律列方程，到这一步就可以列方程了。

④利用矢量运算求合力。

F 合＝2
2合合y x F F +，tan α ＝
合
合y x F F ，α 为F 合与x 轴的夹角。

6．图解法
有时在研究分力的动态变化时，并不需要进行定量运算，只要根据力的分解的平行四边形，观察线段的长短变化，夹角的大小变化，就可以定性地分析力的大小和方向的变化了。

这类问题的基本特征是：有一个力的大小和方向均不变，有一个分力的大小在变化而方向不变，还有另一个力大小和方向都在变。

例如：如图所示，重为G 的物体放在倾角为α 的光滑斜面上，被竖
直放置的光滑挡板挡住。

若将挡板逆时针转动逐渐放低，试分析球对挡板的压力和对斜面的压力如何变化。

解析：重力产生两个效果：使球压紧挡板和斜面。

因此重力G 可以分解为这样两个分力：垂直与斜面使球压紧斜面的分力G 1和垂直于挡板使球压紧挡板的分力G 2。

这两个分力的大小分别跟球对斜面的压力和球对挡板的压力大小相等。

在挡板放低的过程中，重力G 的大小和方向都不变，垂直斜面
的分力G 1的方向不变，作出以G 为对角线，一条邻边为G 1方向的
一系列平行四边形，如图所示。

由图可知，G 1随挡板的放低始终在减小，G 2先减小再增大，当G 1与G 2方向垂直，即挡板水平放置时，G 2取最小值，G 2min ＝G sin α。

合作学习
1
例题1：如图所示，小球重G ＝100 N ，细绳与墙面间夹角α＝30°，分析小球的两个作用效果并求出这两个分力。

解析：把小球重力沿细绳方向和垂直墙面方向分解，作出力的平行四边形． 答案：根据力的平行四边形，由几何关系得
G 1＝α
cos G
＝33200N ＝115.3 N
G 2＝G tg α ＝
3
3
100 N ＝57.7 N 例题2：在同一平面上的四个共点力F 1、F 2、F 3、F 4的量值依
次为60 N 、40 N 、30 N 、25 N ，方向如图a 所示。

试求其合力
解析：对于在同一平面上的两个以上的共点力的合成，利用多边形合成的作图法把合力作出来是方便的，但容易引起较大的误差。

如果要按照多边形合成的计算法把合力计算出来。

又显得很烦琐，如果用正交分解法先分解后合成，计算过程就简便得多。

答案：在图a 中先建立如图所示的坐标系（如图b ），然后求每一个力在x 轴和y 轴上的分力：
F 1x ＝F 1； F 1y ＝0 F 2x ＝F 2cos45°； F 2y ＝F 2sin45° F 3x ＝F 3cos150； F 3y ＝F 3sin150°
F 4x ＝0； F 4y ＝－F 4 再分别算出x 轴和y 轴方向的合力
F x ＝F 1x ＋F 2x ＋F 3x ＋F 4x ＝F 1＋F 2cos45°＋F 3cos150°
＝60＋40×22
－302
3≈62.3 N
F y ＝F 1y ＋F 2y ＋F 3y ＋F 4y ＝F 2sin45°＋F 3sin150°－F 4
＝40×2
2
－30×21－25≈18.3(N)
于是总合力 F ＝22y x F F +＝65 N
tg θ ＝F y /F x ＝18.3/62.3≈0.294；
故 θ ≈16.4°
例题3：建筑工人要将建筑材料送到高处，常在楼顶装置一个定滑轮（图中未画出），用绳AB 通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳CD 拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L ，如图所示，若不计两根绳的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB 与CD 的拉力F 1和F 2的大小变化情况是
A ．F 1增大，F 2增大
B ．F 1增大，F 2不变
C ．F 1增大，F 2减小
D ．F 1减小，F 2减小
1 2
图a
图b
解析：建筑材料对AB 与CD 的拉力和建筑材料的重力相等，F ＝G 。

把拉力按其作用效果分解，在建筑材料提起的过程中的某一位置，把F 进行分解得如图所示的F 1和F 2，在重物上升时，AB 绳和CD 绳的夹角不断增大，再次把F 进行分解得如图所示的
F 1
′和F 2′，从图中可以看出，随夹角的增大，F
1增大，F 2增大。

答案：A
师生互动
1．将一个力F 分解为两个不为零的力，下列哪种或哪些分解方法是不可能．．．
的? A ．分力之一垂直于F
B ．两个分力与F 都在同一直线上
C ．一个分力的大小与F 的大小相同
D ．一个分力与F 相同 2．以下说法正确的是
A ．2 N 的力能够分解成6 N 和3 N 的两个分力
B ．10 N 的力可以分解成5 N 和4 N 的两个分力
C ．2 N 的力可以分解成6 N 和5 N 的两个分力
D ．10 N 的力可以分解成10 N 和10 N 的两个分力
3．如图所示，A 、B 、C 三个质量相同的砝码处于静止状态，不考虑一切摩擦．现将两滑轮移开一点，使两滑轮距离增大，则重新平衡后，C 砝码的高度
A ．仍不变
B ．升高一些
C ．降低一些
D ．都有可能
4．如图所示放在光滑斜面上的小球，一端系于固定的O 点，现用外力缓慢将斜面在水平桌面上向左推移，使小球上升（最高点足够高），在斜面运动过程中，球对绳的拉力将
A ．先增大后减小
B ．先减小后增大
C ．直接增大
D ．一直减小
5．已知力F 的一个分力F 1跟F 成30角，大小未知。

另一个分力F 2的大小为3
3
F ，方向未知。

则F 1的大小可能是
A ．
33F B ．2
3F C ．332 F D ．3 F 6．把一个力分解为两个力F 1和F 2。

已知合力F ＝40N ，分力F 1与合力F 的夹角为30°．若
F 2取某一数值，可使F 1有两个大小不同的数值，则F 2的取值范围是___________。

7．压榨机结构如右图所示，B 为固定铰链，A 为活动铰链，若在A
处作用一水平力F ，轻质活塞C 就以比F 大得多的力压D ，若BC 间距
为2L ，AC 水平距离为h ，C 与左壁接触处光滑，则D 受到的压力
F 1
F 1′
2′
为 。

8．一人通过箱带拉着一个旅行箱前进，拉力是12 N ，箱带与水平面夹角是30°，则拉力的
水平分力是多大？竖直分力是多大？
9．给你一段棉线、一把刻度尺、一个质量已知的重物，试设计一种实验方案，测出此段棉线能承受的最大拉力。

课后习题解答
1．两个分力和合力构成直角三角形，由三角形的知识可知。

另一个分力的大小 F ＝22180240+＝300 N 设与竖直方向的夹角为α ，则tan α ＝180
240＝34
故 α ＝53°。

2．作图如图所示。

甲图构成惟一的平行四边形，有惟一解。

乙图构成惟一的平行四边形，有惟一解。

丙图能构成两个平行四边形，所以有两个解。

3．小球在这一秒内下落的位移是水平方向和竖直方向上位移的矢量和，因此，小球下落的位移 s ＝2245+＝41m
设与水平方向的夹角为α ，则tan α ＝4
5。