(课标通用)北京市202x版高考数学大一轮复习 第二章 4 第四节 二次函数与幂函数夯基提能作业本

第四节二次函数与幂函数

A组基础题组

1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()

A. B.1 C. D.2

答案 C 由幂函数的定义知k=1.又f=,所以=,解得α=,所以k+α=.

2.已知f(x)=ax2-x-c,若f(x)>0的解集为(-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象是( )

答案 C 由f(x)>0的解集为(-2,1),可知函数y=f(x)的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,故选C.

3.“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的( )

A.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 B 若m=1,则f(x)=x2-6x+6,易知f(x)在区间(-∞,3]上为单调递减函数,即“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分条件;反过来,若函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数,则3≤3m,即m≥1,所以“m=1”不是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间

(-∞,3]上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分而不必要条件,故选B.

4.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是( )

A.(0,4]

B.

C.

D.

答案 C 函数y=x2-3x-4=-的图象如图.

令y=x2-3x-4=-4,解得x=0或x=3.为了保证函数的值域为,则≤m≤3,故选C.

5.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=x2-x,则当x∈[-2,-1]时, f(x)的最小值为( )

A.-

B.-

C.-

D.0

答案 A 当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],则f(x+2)=(x+2)2-(x+2)=x2+3x+2,又

f(x+2)=f((x+1)+1)=2f(x+1)=4f(x),∴f(x)= (x2+3x+2)=-,∴当x=-时, f(x)取得最小值-.

6.(2016北京东城期末)已知函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a 的取值范围是( )

A. B.[1,2] C. D.[-1,1]

答案 D 设(x,x+1)为函数g(x)=x+1的图象上的点,则(x,-x-1)为函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)的图象上的点,所以-x-1=a-x2.依题意得方程x2-x-a-1=0在区间[1,2]上有解.

设h(x)=x2-x-1-a,则有解得-1≤a≤1.故选D.

7.(2017北京西城二模)函数f(x)=x|x|,若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是( )

A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.

D.

答案 D 易知f(x)=x|x|在R上单调递增,

∴在[1,+∞)上, f(x-2k)的最小值为

f(1-2k)=(1-2k)|1-2k|.

∴(1-2k)|1-2k|

当k≥时,(1-2k)[-(1-2k)]-k<0,

整理得4k2-3k+1>0.

∵Δ=(-3)2-4×4×1=-7<0,

∴4k2-3k+1>0恒成立,∴k≥.当k<时,(1-2k)2-k<0,

整理得4k2-5k+1<0,

解得

又k<,∴

8.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)

答案(3,5)

解析f(x)==(x>0),易知x∈(0,+∞)时, f(x)为减函数,∵f(a+1)

∴解得∴3

9.已知点P1(x1,2 015)和P2(x2,2 015)在二次函数f(x)=ax2+bx+9(a≠0)的图象上,则f(x1+x2)的值

为.

答案9

解析依题意得x 1+x2=-,则f(x1+x2)=f=+b+9=9.

10.(2016北京第八十中学零模)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为元.

答案 4 050

解析设每辆车的月租金为x(x≥3 000)元,租赁公司的月收益为y元,则y=x-×50-×150=-+162x-21 000.

根据题意得解得3 000≤x≤8 000.

y=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.

当x=4 050时,y max=307 050.

故每辆车的月租金应定为4 050元.

11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;

(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;

(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.

解析(1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),

∴f(x)=

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,

当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在[1,2]上的最小值;

当1

当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在[1,2]上的最小值.

综上,在x∈[1,2]上,

g(x)min=

12.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).

(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.

解析(1)因为f(-2)=1,

即4a-2b+1=1,

所以b=2a.

因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,

所以Δ=b2-4a=0,

所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2.

所以f(x)=x2+2x+1.