开题报告： 奇异积分算子及其交换子的有界性
一类奇异积分算子的交换子的有界性
ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｌ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ， ａ ｎ ｄ ｔ ｏ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｉ ｔ ｓ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ ． Ａｔ ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ｇ ｉ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｂ ｏ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｍｕ ｔ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ
间上 的 有界 性 问题 ．
关键 词 ： 奇异积分算子 ； 交换子 ； ｓ ｈ ａ ｒ ｐ极 大函数估计 ； Ｍ ｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空间 ； Ｔ ｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空 间
中图分类号 ： Ｏ １ ７ ４ ． ３ 文献标识码 ： Ａ
Ｂｏ ｕ ｎｄ ｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｍｕ ｔ ａ ｔ ｏ ｒ Ｒｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ Ｃｅ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ Ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ
Ｖ０ １ ． １ ０ Ｎｏ ． ４
Ｄｅ ｃ ． ２０ １ ３
文章编号 ： １ ６ ７ ２ － ７ ０ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ １ ２ — ０ ８
一
类奇 异 积 分 算 子 的 交换 子 的有界 性
陈 大 钊
（ 邵 阳学院 理 学与信 息科 学 系， 湖南 邵阳 ４ ２ ２ ０ ０ ０ ）
足变 Ｈ Ｓ ｒ ｍ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ 条件的奇异积分算 子所构 成 的交换 子 ， 然后证 明 了该 交换 子 的 ｓ ｈ ａ ｒ ｐ极 大 函数 估计． 最后 ， 我们研 究 了该 交换子在 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ空间、 Ｍ ｏ ｒ ｒ ｅ ｙ空间以及 Ｔ ｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空
强奇异积分算子及其交换子在Hardy型空间上的有界性
Ａ ｒ，００ ｐ．２ １
强奇 异积 分 算 子及 其交换 子在 Ｈ ｒｙ型 ａｄ 空 间上 的 有 界 性
刁俊 东 ， 晓峰 ， 叶 陈跃 辉
（ 东 交 通 大学 基 础 科 学 学 院 ， 西 南 昌 ３０ １） 华 江 ３０３
摘要： 当核 Ｋ ｘｙ 在 ＝Ｙ附近满足较高的奇性时， （ ，） 得到强奇异 Ｃｌ ｒ － ｇ ｕｄ ａ ｅ ｎ ｙ ｎ 积分算子 ｄ ６ｚ ｍ
个条 件 ：
（ ）Ｔ可以连续 扩张 为 一 上 的有 界算子 ； １
（） ２ 存在一个在 ｛ Ｙ ： ≠ Ｙ 上的连续函数 （ ）当 ２Ｊ （ ） ， ｝ ， ， Ｙ—ｚ。 Ｉ 一 Ｊ 满足 ≤ 时， Ｉ ， ） ，） 十 ｆ ｙ 一 ， ｌ ｌ （ ｙ 一 （ ｚ ｌ （ ， ） （ ） ≤ Ｃ丁 上
８ ７
Ｉ Ｊ Ｊ Ｉ ｆ
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＜ ∞，
０＜
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定义 ３ ｂ∈ Ｌｐ （ （ ＜ １ ， ∈ Ⅳ 和 ０＜Ｐ≤ １ １ ｒ≤ ∞， ｉｐ Ｒ ）０＜ ）ｍ ，≤ １＜ ｓ＜ ∞ ， 个 函数 ０ ） ～ （ 被
称作（ ｓｂ） 子 ， Ｐ， ； 原 如果 它满 足 以下 条件 ：
型奇异 积分算 子 ， 奇性 核更强 ， 使 从而 广泛 的应用 到数学 的众 多分支 和相关领 域 ， 取得 了大量 的成果 ， 并 这
篇文章 是进一 步拓展 了它 在特殊 空 间的有界性 。
１ 定 义 及 主 要 结 果
定 义 １ Ｔ：— ｓ是 有界 的线 性算 子 ， ｓ 称 是 Ｃｌｅ ｎＺｇ ｕｄ型强奇 异积 分算子 ， ａ ｒ —ｙｍ ｎ ｄ６ 是指 满足 以下 ３
其定 义 为 ： ，） （ ：
满足一定条件的θ-型Caldero’n-Zygmund奇异积分算子交换子的有界性
收 稿 日期 ：Ｏ８ ６０ ２０ ． －２ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金（ ＳＣ １５ １１） Ｎ Ｆ （０７ １ ）和江西师大成长基金 （９ ３ 资助项 目 Ｎ Ｆ （０７０４ ， ＳＣ １５１５ ） ６ １８）
作者 简 介 ： 玉 青 （９２）男 ， 西 宜 丰人 ， 学硕 士研 究 生 ， 刘 １８． ， 江 理 主要 从 事 调 和 分 析 的研 究 ．
第 ３ 卷第 ５ ２ 期
２０ ０ ８年 ｌ ０月
江西 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科学 版 ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ ＭＡ ＮＶ Ｒ ｒＹ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｒ ＬＵ ＩＥ ＳＩ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｉ Ｎ ＇
成 的交 换子定 义为 ［ ， ］ ＝ ｂ （）一Ｔ ）一 方面 ＳＪｎｏ 证 明 了当 ｂ∈ Ｂ ｂ Ｔｆ Ｔｆ （ ． ． ｓｎ ａ ＭＯ时 ，ｂ Ｔ 在 上 是有界 ［，］ 的（ １＜Ｐ ＜ ∞） ． … 文献 ［］ ２ 中有 同样 的证 明 ． ．ｈｎｌ 证 明了由 ｂ∈ Ｂ ＳＣ ａｉｏ ｌ ＭＯ与分数 次积分算 子 ，生成的交 ０
关键 词 ： 型 Ｃｌ ｒ ｎ ｙ ｕｄ 良 ａｅ ’－ ｇ ｎ 奇异积分算子； ｄｏ Ｚ ｍ 交换子； ｌ ； ， ） Ａ（ ） Ｒ （ 中图分类 号 ： ４２ Ｏ１ ． ７ 文献标识 码 ： ， ４
１ 引言 及结 果
设 ｂ Ｒｎ 的局部可积 函数 ， 为 Ｃ ｌｅ ’．ｙｍ ｎ 奇 异积分算 子 ， 光滑 的函数 来 说 ， ７与 ｂ 是 上 ａｄｒ ｎＺ ｇ ｕ ｄ ｏ 对 有 １ 生
的可测 函数 ｋ ， ） （ Ｙ 是一个 型 核 ， 如果 ｋ ， ） 足下列 条件 （Ｉ （ Ｙ 满 ）当 ≠ Ｙ时 ，Ｉ （ Ｙ ≤ Ｃ Ｉ — ， ）ｌ ｋ
两类算子及其交换子的有界性的开题报告
两类算子及其交换子的有界性的开题报告一、题目：两类算子及其交换子的有界性二、研究背景和意义：在数学中，算子是指把一个函数变成另一个函数的映射，是一种广泛存在于各种数学问题中的概念。
有界算子则是指从一个赋范空间到另一个赋范空间的线性变换，并且满足其模（也称范数）有一个有限的上界。
本研究主要关于两类算子的有界性问题：1. 微分算子：微分算子指的是将一个函数对自变量的导数映射为另一个函数的线性算子。
在实际问题中，微分算子应用非常广泛，如在物理学和工程学中都有着重要应用。
因此，研究微分算子的有界性问题具有很高的实用性和重要性。
2. Fourier变换算子：Fourier变换是一种函数变换，它将一个时域函数（例如一个指定时间内的电压）映射到一个与之等价的频域函数（例如相应频率的电压），是解决线性偏微分方程中的常用工具。
因此，研究Fourier变换算子的有界性问题对解决实际问题也具有重要意义。
此外，本研究还会探讨两种算子的交换子有界性问题，即研究微分算子和Fourier变换算子的交换子是否有界。
三、研究方法和步骤：本研究将从以下两个方面探讨两类算子及其交换子的有界性：1. 利用算子范数的定义和有关性质，研究微分算子和Fourier变换算子的有界性问题，进而给出它们的范围估计。
2. 利用两类算子之间的关系，探讨它们的交换子有界性问题。
此外，该方面还需要探究交换子有界性的一些条件和性质。
四、预期成果：通过对两类算子及其交换子的有界性问题进行研究，可以得到一系列关于微分算子和Fourier变换算子的有界性和交换子有界性的结论和性质，提高了我们对算子的认识和理解，为更深入地研究相关问题提供了一定的参考；同时，对于相关领域的应用也具有一定的指导意义。
拟微分算子、奇异积分及其相关问题的开题报告
拟微分算子、奇异积分及其相关问题的开题报告一、研究背景及意义拟微分算子与奇异积分是现代数学中重要的研究方向之一，涉及了微分方程、泛函分析、偏微分方程等多个领域。
拟微分算子广泛应用于控制理论、信号处理、图像处理、机器学习等领域中的数学模型描述与分析中，而奇异积分也涉及到物理学、金融学、生物医学等领域中的数学建模和计算方法。
因此，研究拟微分算子、奇异积分及其相关问题具有非常重要的理论和应用价值。
二、研究内容及方法本研究计划主要围绕拟微分算子、奇异积分及其相关问题展开深入探讨。
具体研究内容如下：（1）拟微分算子的基本理论及应用。
主要研究拟微分算子的定义、性质以及在控制理论、信号处理、图像处理、机器学习等领域中的应用。
（2）奇异积分的数学理论及应用。
主要研究奇异积分的定义、性质以及在物理学、金融学、生物医学等领域中的应用。
（3）拟微分算子与奇异积分的相关性质及应用。
主要研究拟微分算子与奇异积分的联系与相互转化，及其在实际问题中的应用。
本研究计划主要采用数学分析、泛函分析、偏微分方程等数学方法进行研究。
同时运用数值方法，如有限元、谱方法等进行实验验证。
三、预期成果本研究计划预期达到以下成果：（1）在拟微分算子、奇异积分及其相关问题方面取得一定的理论研究成果。
（2）提出有效的数学模型描述与分析方法。
（3）在控制理论、信号处理、图像处理、机器学习、物理学、金融学、生物医学等领域中具有较好的应用价值。
四、研究进展目前，本研究计划已经完成对拟微分算子和奇异积分的背景知识和理论基础的深入了解和学习。
同时，已经初步探讨了拟微分算子、奇异积分及其相关问题的研究方向。
接下来，将进一步展开深入研究，并通过数值实验进行验证和应用。
Marcinkiewicz积分算子及交换子
西北师范大学 硕士学位论文 Marcinkiewicz积分算子及交换子 姓名：司颖华 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：陶双平
2008-05
摘 要
本文主要讨论了 Marcinkiewicz 积分算子及其交换子的有界性. 关于 Marcinkiewicz 积分算子, 首先证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子 µΩ 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 其次证明它在弱齐次 MorreyHerz 空间 W M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 最后证明它在齐次加权 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(ω1, ω2) 上的有界性. 关于 Marcinkiewicz 积分交换子, 首先证明一类带粗糙核的 Marcinkiewicz 积 分算子与 BM O(Rn) 函数 b(x) 生成的高阶交换子 µmΩ,b 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 其次证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子与 Lipschitz 函数 b(x) 生成的交换子 µΩ,b 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 最 后证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子与 BM O(Rn) 函数 b(x) 生成的交换子 µΩ,b 在齐次加权 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(ω1, ω2) 上的有界性. 关 键 词: Marcinkiewicz 积 分 算 子; 交 换 子; BM O 函 数; Lipschitz 函 数; 粗糙核; 齐次 Morrey-Herz 空间; 齐次加权 Morrey-Herz 空间
一类奇异积分算子与BESOV函数生成的交换子的有界性
一类奇异积分算子与BESOV函数生成的交换子的有界性作者：胡鑫娜，孙杰来源：《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》2021年第04期摘要：讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin 空间及在Lebesgue空间上的有界性.关键词：Triebel-Lizorkin空间;Besov函数;交换子;极大函数[中图分类号]O 174.2[文献标志码]ABoundedness for Commutators of a Type of Singular IntegralOperators and Besov functionHU Xinna，SUN Jie（College of Mathematical Science;Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）Abstract：In this paper，we discuss the commutator generated by a type of singular integral operators and Besov function is bounded from Lebesgue spaces to Triebel-Lizorkin spaces and to Lebesgue spaces.Key words：Triebel-Lizorkin spaces;Besov function;commutator;the Maximal function算子理论是调和分析的核心内容，证明奇异积分算子与适当函数生成的交换子的有界性问题是算子理论研究的重要内容.1976年Coifman，Rochberg和Weiss首次介绍了经典奇异积分算子T与局部可积函数b生成的交换子[b，T][1]，证明了奇异积分算子T与BMO函数生成的交换子有界.自此之后，交换子的问题得到了广泛关注，取得了很多研究结果.[2-3]本文讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Ld到Fβ-n/p，∞d及Ld到Lr有界的問题.1预备知识2003年Trujillo-González在参考文献[4]中介绍了核满足如下条件的奇异积分算子定义1[4]设K∈L2（Rn）.若C0>0使（1）‖K︿‖∞≤C0;（2）|K（x）|≤C0|x|n;（3）存在函数B1，…，Bm∈L1locRn＼{0}和Rn 中的一族有界函数Φ={1，…，m}且detj（yi）2∈RH∞（Rnm）;（4）对固定的γ>0及|x|>2|y|>0，有K（x-y）-∑mj=1Bj（x）j（y）≤C0|y|γ|x-y|n+γ，对f∈C∞c（Rn），定义Tf （x）=∫RnK（x-y）f（y）dy.当m=1，j（y）=1，Bj（x）=K（x）时，上面定义中的算子是经典的奇异积分算子.定义1中的奇异积分算子与Besov函数生成的交换子定义为Tbf（x）=[b，T]f（x）=b（x）Tf（x）-T（bf）（x）.引理1[5]设1≤p≤∞.T是定义1的算子，则存在C>0，f∈Lp（Rn），有‖Tf‖p≤C‖f‖p，其中C 与f无关.引理2（i）当1（ii）对任意1≤s引理3[6]设f∈Lp（Rn），当1supQ1Q1+β/n-1/p∫Qb-bQdy≤supQ1Qβ/n+1/q-1/p∫Qb-bQqdy1/q≤Cb∧·p，qβ.2结果与证明2.1奇异积分算子交换子Tb是从Ld到Fβ-n/p，∞d有界的定义1所定义的一类奇异积分算子是具有标准核奇异积分算子的推广，故得到的结论对具有标准核的奇异积分算子的交换子也是成立的.定理1设22qq-2，Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，则Tb是从Ld到F·β-n/p，∞d有界的.证明固定方体Q=Q（xQ，s）.对于f∈C∞c（Rn），令f=f1+f2，其中f1=fχ2af2=f-f1.由Tbf=Tb-bQf.令A=∑mj=1Cjj-（y-xQ），Cj是待定常数j=1，2，…，m.有∫QTbf（y）-（Tbf）Qdy≤2∫Qb（y）-bQTf（y）dy+2∫QT（b-bQ）f1（y）dy+2∫QT（b-bQ）f2（y）-Ady∶=J1+J2+J3.现估计J1，由Ho··lder不等式及引理4得到J1≤2∫Qb（y）-bQqdy1q∫QTf（y）qq-1dyq-1q≤CQ1+βn-1qb∧·p，qβMqq-1（Tf）（x）.再估计J2，当21，由引理1及Ho··lder不等式，有J2≤CT（b-bQ）f12Q12≤C（b-bQ）f12Q12≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβM2qq-2（f）（x）.最后估计J3，由于b-b2Q≤1Q∫Qb（y）-b2Qdy≤C2Qβn-1pb∧·p，qβ，那么可以得到b2kQ-bQ≤Ck2kQβn-1pb∧·p，qβ.令Cj=∫Rnf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-bQdy.j=1，2，…，m.证明Cj有限.由f∈C∞c （Rn），设suppfQ0=（xQ，d），d>0.存在方体Q*，中心为xQ，使suppf∪2QQ*.Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，根据引理4，由Ho··lder不等式有|Cj|≤∫Q*＼2Qf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-b2Qdy由z∈（2Q）c，y∈Q，则|y-z|～|z-xQ|有J3≤2∫Q∫（2Q）cK（y-z）-∑mj=1Bj（xQ-z）j（xQ-y）b（z）-bQf（z）dzdy.由定义1中条件（4）可以得到J3≤C∫Q∫（2Q）c（xQ-z）-（y-z）γy-zn+γb（z）-bQf（z）dzdy.插项有J3≤C|Q|∑∞k=2∫2kQ＼2k-1Q2-ky2kQ-1b（z）-bQ+b2kQ-b2kQf（z）dz.再由引理4得到J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβ∑∞k=22k（-γ+β-npMq′（f）（x）+∑∞k=22k（-γ+β-npkM（f）（x）.最后当0J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβMq′（f）（x）+M（f）（x）.综上，由于d>2qq-2以及22qq-2>qq-1=q′.且0TbfF·β-np，∞d≤Cb∧·p，qβfd.定理1得证.2.2Tb是Ld到Lr有界的证明满足定义1中条件（1）到（4）的一类奇异积分算子的交换子Tb是Ld到Lr有界的，即在Lebesgue空间上的有界性.定理2设0证明利用变量替换，有Tbf（x）≤∫Rnb（x）-b（x-t）K（t）f（x-t）dt≤C0∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdt.考虑Tbf的Lr范数Tbfr≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdtrdx1r∶=S1.q>1，对变量t用Ho··lder不等式S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtrq∫Rnf（x-t）tn-nq-βqq-1dtr（q-1）qdx1r.由于pr>1再对x用Ho··lder不等式S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtpqdx1p∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.应用广义Minkowski不等式有S1≤Cb∧·p，qβ∫Rn∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.令α=q βq-1，取g=fqq-1，由1r=1d-βn+1p和qq-1S1≤Cb∧·p，qβgq-1qd（q-1）q≤Cb∧·p，qβfd.定理2得证.3结论本文讨论了一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin 空间及在Lebesgue空间上的有界性问题，推广了经典奇异积分算子交换子的相关结果，对后续交换子的研究具有一定的推动作用.参考文献[1]Coifman R.，Rochberg R.and Weiss G..Facorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann of Math.，1976，103（3）：611-635.[2]Paluszyński M..Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman，Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.J.，1995，44：1-17.[3]孙杰.Hardy算子与加权BMO函数生成交换子的加权估计[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2019（4）：15-18.[4]Trujillo-González R..Weighted norm inequalities for singular integrals operators satisfying a variant of Hormander condition[J].Comment Math.Univ.Carolin.，2003，44（1）：137-152.[5]Grubb D.J.，Moore C.N..A variant Hormander's condition for singularintegrals[J].Colloq.Math.，1997，73（2）：165-172.[6]Gao X.L.，Ma B.L..The boundedness of commutators of singular integral operators with Besov functions[J].Scientific Horizon，2010，8（3）：245-252.[7]周民強.调和分析讲义[M].北京大学出版社，2003，67-71.编辑：琳莉。
奇异积分算子在H 1(R n)空间上的有界性
收稿 日期 ：０ ０—１ ２１ １一ｌ Ｏ
基金项 目： 浙江 省 教育 厅 科 研 计 划项 目（ ２ １１４ ９） Ｙ ０ ０ ８６ 作者 简 介 ： 阮建 苗 （ ９ ９一）男 ， 江 象 山 人 ， 江 外 国 语 学 院 理 工 学 院 数 学 系 讲 师 ， 学 博 士 １７ ， 浙 浙 理
阮建 苗
（ 江 外 国语 学 院 理 工 学 院 ， 江 杭 州 ３ ０ １ ） 浙 浙 １０ ２
，
摘 要 ： 用 Ｈ （ 的原 子分 解 理论 以及 ｈ （ （ 部 Ｈａｄ 利 Ｒ ） Ｒ ） 局 ｒｙ空 间） 的分 子 理 论 ， 明 了一 类奇 异积 分算 子从 Ｈ （ 到 ｈ （ ） 证 Ｒ ） 有界 ． 为应 用 ， 到 了若 Ａ ∈Ｌ 作 得 （ ） 则 Ｃ ｕｈ ， ａ ｃ ｙ积 分算 子 ｃ 从 （ 到 ｈ （ 有界． Ｒ ） Ｒ ） 关键 词 ： ａ ｅ６ ．ｙｍ ｎ Ｃ ｌ ｒｎＺ ｇ ｕ ｄ算子 ； ａ ｃｙ积 分算子 ； Ｒ ） ｈ （ ｄ Ｃ ｕｈ 日 （ “ ；’ Ｒ ） 中图分类号 ： １４ ２ 文献标识码 ： 文章编号 ：６ １ ６７ （０ １０ — ０２— ４ ０ ７． Ａ １７ — ５４ ２ １ ） １ ０９ ０
由文献 ［ ４ 知 ， ３— ］ 当
＜ ｐｓ１ 若 Ｔ∈Ｃ Ｏ， ， Ｚ 则 从 Ｉ （ “ 到 Ｌ （ 有 界 ； 一 步 ， ｒ － Ｒ ） ｐ尺 ） 进 若
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Ｉ 一 Ｉ
非倍测度空间和齐型空间上几类算子的有界性的开题报告
非倍测度空间和齐型空间上几类算子的有界性的开题报告
非倍测度空间和齐型空间是实际数学分析中常遇到的两类重要的空间。
在这些空间中，有很多常见的算子，如积分算子、傅里叶变换算子等等。
本文将探讨非倍测度空间和齐型空间上几类算子的有界性问题。
具体来说，将介绍积分算子、傅里叶变换算子、上下界算子以及线性变换等算子的有界性的研究现状和问题。
首先，积分算子是在测度空间上具有重要应用的算子，经典的有限测度空间上积分算子所对应的线性算子是有界的。
但对于非倍测度空间，积分算子可能不具有有限的范数，因此问题是如何描述积分算子在非倍测度空间上的有界性。
其次，傅里叶变换算子是另一个常见的算子，它在齐型空间中有广泛应用。
而傅里叶变换算子的有界性是与齐型空间的几何结构密切相关的。
因此，问题是如何研究傅里叶变换算子在齐型空间上的有界性，同时深入探讨齐型空间的几何特征。
第三，上下界算子是广泛应用于函数空间的一类算子，如嵌套定理中就用到了上下界算子。
上下界算子的有界性问题是非常基础的，而在非倍测度空间和齐型空间上的上下界算子问题是如何描述它们的有界性和有什么具体应用。
最后，线性变换是线性代数中的基本操作之一，在数学分析和形式化方法的研究中也有非常广泛的应用，因此讨论线性变换的有界性问题是很重要的。
综合而言，非倍测度空间和齐型空间上几类算子的有界性问题是一个非常有价值的研究方向。
通过精细地研究这些问题，有助于我们更深入地理解这些空间的结构和性质，并有可能推动相关领域的理论和实践进一步发展。
齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子的极大交换子的有界性
１ 相 关 定 义
近 年来 奇异 积分 算子及 其 交换子 得 到 了广 泛 的研 究 ， 并取 得 了丰硕 的成果 ， 自文 献 ［ １ ］的作 者 给出带 非
光滑核的奇异积分算子的定义以来 ， 许多学者对带非光滑核的奇异积分算子及交换子做 了大量的研究 ， ２ ０ ０ ３ 年文献［ ２ ］ 的作者证明了带非光滑核的奇异积分算子 Ｔ与Ｂ ＭＯ 函数生成的交换子在齐型空间上是有界的， 最近文献 ［ ３ ］ 的作者对带光滑核 的奇异积分算子 Ｔ与 Ｂ ＭＯ 函数生成的极大交换子在齐型空间上做出了加
引用格式 ： 王永艳 ， 束字 ． 齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子 的极大交换子的有界性 ［ Ｊ ］ ． 自 然科学版 ： 安徽 师范大学学报 ， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ３ ） ： ２ １ ６
—
２ ２ １ ．
３ ６卷第 ３期
王永艳 ， 束 字 ： 齐型空 间上 带非光滑核的奇异 积分算子 的极大交换子 的有 界性
第３ ６卷 ３期
２ ０１ ３ 年 ５月
安徽 师范 大 学学报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｍ￣ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ． ３ Ｍａ ｖ． ２０ １ ３
齐型 空 间上 带 非 光 滑核 的奇 异 积分 算 子 的 极大 交换 子 的Leabharlann 界 性 王永 艳 ， 束
（ １ ． 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖
宇２
２ ４ １ ０ ０ ３ ； ２ ． 安徽商贸职业技 术学 院 经 济贸易系 ， 安徽 芜湖 ２ ４ １ ０ ０ ２ ）
极大多线性奇异积分算子的有界性
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第０１卷 第 ２期 ２ｌ １ ０年 ４月
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信 息 工 程 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＩ ｆ ｒ ｔｏ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ
Ｖ０ ．１ １ １ Ｎｏ ２ ． Ａｐ ． ０１ ｒ２ ０
极 大 多 线 性 奇 异 积 分 算 子 的有 界 性
中 图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．２ １４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：６ １— ６ ３ ２ １ ） ２— １７— ５ １７ ０７ （００ ０ ０３ ０
Ｂｏ ｎｄｅ ｅ ｓ ｏ ａ ｉ ａ ｐｅ ａ ｏｒ ｆ ｒ Ｍ ｕｌｉ ｎ ａ ｎｇ ｌ ｒ Ｉ ｔ ｇ ａ ｓ ｕ ｄｎ ｓ ｆＭ ｘ ｍ ｌＯ ｒ ｔ ｏ ｔｌ ｅ ｒ Ｓｉ ｕ ａ ｎ ｅ ｒ ｌ ｉ
．
Ｋ ｅ ｒ ｓ： ｍ ａ ｄｅ ｙ ｅ ｅ ｕ ａ ｉ ｃ ｎ ｉｉｎ； ｍ ｕ ｉｉ ｅ ｒ ｓｎ ｕ ａ ｎｔｇ ａ ｐ ｒ ｔｒ ； ｍａ ｉ ｌ ｙ ｗｏ ｄ Ｈｒ ｎ ｒ ｔｐ ｒ ｇ ｌ ｒｔ ｏ ｄ ｔｏ ｙ ｈ ｌｎ ａ ｉ ｇ ｌｒ ｉ ｅ ｒ ｌｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｘ ｍａ
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多线性奇异积分算子构成的交换子在Hardy空间的有界性
Ｍ Ｓ ２０ ０： Ａ２ Ｃ １ ３１ ５
１ 定 义
令 ｂ∈ Ｂ ＭＯ（ ， ， Ｒ ） Ｔ为 Ｃ ｌ ｅｏ？Ｚ ｇ ｎ ａｄ ｒ — ｙ ｍｕ ｄ算 子． ｂ和 Ｔ生 成 的交换 － Ｅ ， ３定 义为 ｚ 由 Ｔ ｂｒ － － Ｅ ， ］ （ ）一 ６ ｚ Ｔ ｚ 一 Ｔ（ｆ （ ） ｂ丁 ＿ｚ 厂 （ ） ｆ（ ） ｂ ）ｚ ．
关键 词 ： 异 积分 ； 奇 多线性 交换 子 ； ＭＯ 空 间 ； ｒｙ空 间 ； Ｂ Ｈａｄ 齐型空 间
中图分类 号 ： １４３ Ｏ ７ ． 文 献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ０ １ ６ （ ０ １ ０ － ０ ２ － ０ １０ — ５５ ２ １）２ １６ ４
Ｂｏ ｎ ｅ ｎ ｓ ｏ ｕ ｔｌｎ ａ ｍ ｍ ｕ ａ ｏ ｆ Ｓ ｎｇ ｌ ｒ ｕ ｄ ｄ ｅ ｓ ｆ ｒ Ｍ ｌｉｉ ｅ ｒ Ｃｏ ｔ ｔ ｒｏ ｉ ｕ ａ Ｉ ｅ ｒ ｌｉ ｒ ｙ ｏ ｐａ ｅ ｆ Ｈｏ ｏ ｅ ｏ ｓ Ｔｙ ｎｔ ｇ ａ ｎ Ｈａ ｄ ｎ Ｓ ｃ ｓ ｏ ｍ ｇ ｎｅ ｕ ｐｅ
ＳＨＩ ａ — ｏ ， ｎ ｇｕ ＺＨＯ Ｕ Ｍ ｅ ｇ ＹＡＮＧ ｎ —ａ ＳＨＩＹａｎ ｆ ｎ Ｊｉ ｎ 。。 Ｊｉｇ ｆ ， －ａ ｇ
（ ． ｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｓａ ｄ Ｃ ｍｐ ｔ ｒＳ ｉ ｎ ｅ Ｈ ｅ ｅ ｎ ｖ ｒ ｉ Ｂ ｏ ｉ ｇ ０ １ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｃｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｏ ｅ ｕ ｅ ｃｅ ｃ ， ｂ ｉ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ Leabharlann ， ａ ｄ ｎ ７ ０ ２， ｉ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ （Ｈ ， ｓｒ ｃ ： Ｌ ） ｙｐ ｕｎ ｄｎｅ ｓ ｆ ｒ ｔ ｅ ｍ ｕｈｉｉ ａ ｏｍｍｕｔ ｔ ｒ ａ ｓ ｃａ ｅ ｔ ｈｅ ｓｎｇｕ ａ ｎ ｅ ｔ ｅ ｂｏ ｄｅ ｓ ｏ ｈ ｌｎｅ ｒ ｃ ａ ｏ ｓ ｏ ｉ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｉ ｌｒｉｔ—
多线性奇异积分振荡和变分算子的有界性
多线性奇异积分振荡和变分算子的有界性多线性奇异积分振荡和变分算子的有界性引言：在数学领域，多线性积分和变分算子是重要的工具和概念，在数值计算、物理学和工程学等各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨多线性奇异积分振荡和变分算子的有界性，旨在深入理解其数学本质和应用。
一、多线性奇异积分的定义多线性奇异积分是一种对多元函数进行积分的扩展形式。
它与普通积分的主要区别在于对积分点的奇异性要求。
多线性奇异积分可以表示为以下形式：$$\int_{\Omega} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{\Omega \setminus B(x_0, \epsilon)} f(x) dx +\lim_{\epsilon \to 0} \int_{B(x_0, \epsilon)}\frac{g(x)}{|x - x_0|^{n-p}} dx$$其中，$\Omega$表示积分区域，$f(x)$表示在$\Omega$上定义的多元函数，$x_0$是积分区域$\Omega$的奇异点，$g(x)$是$x_0$附近的光滑函数，$B(x_0, \epsilon)$表示以$x_0$为中心、半径为$\epsilon$的球体。
二、多线性奇异积分的振荡性质多线性奇异积分的一个重要性质是其振荡性。
振荡现象是指随着积分点趋近于奇异点，积分值会出现明显的振荡变化。
对于一些奇异函数，其积分值可能会趋于无穷大，或者无界。
我们以经典的Dirichlet积分为例进行说明。
Dirichlet积分是定义在$(-\infty, \infty)$上的函数，其表达式为：$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$$显然，当$x=0$时，函数的奇异性达到最大，此时积分值也会产生振荡。
实际计算中，需要使用数值方法对该类积分进行近似计算。
三、变分算子的定义和性质变分算子是一种将函数映射到函数的线性算子，常用于求解变分问题。
浅析几类奇异积分算子的有界性
浅析几类奇异积分算子的有界性作者：薛庆平赵辉来源：《新教育时代·教师版》2016年第05期摘要：对具有非光滑多线性奇异积分算子有界性进行研究。
对一类广义Morrey空间次线性算子有界性进行探讨；深入阐述了非其次空间中Marcinkiewicz积分交换算子的有界性。
关键词：奇异积分算子 Morrey空间 Marcinkiewicz积分有界性引言为了对非光滑核的多线性奇异积分算子进行研究，首先对极大交换子Cotlar不等式进行构建，通过非光滑核多线性奇异积分算子加权有界性，对非光滑核多线性奇异积分算子有界性进行证明。
[1]一、一类广义Morrey空间次线性算子有界性Morrey为了对二阶椭圆偏微分方程解局部渐进行为进行研究，第一次引进经典Morrey空间。
对于偏微分方程解正则性中，Morrey空间的研究具有非常重要的意义。
下文就一类广义Morrey空间次线性算子有界性的进行探讨。
[2]定理：假设，当次线性算子在有界，同时，就任何一个存在紧支集函数并且，那么存在式中，，是绝对常数；假设作为零次齐次函数，同时，有。
当满足任何一个下面的条件：从而，证明了一类广义Morrey空间次线性算子的有界性。
二、非齐次空间中Marcinkiewicz积分交换算子的有界性问题提出，假定是在上的正测度，同时，与以下的增长条件吻合，就全部，存在式中，为正数，同时，满足表示的是是一个半径的开球。
就任何的，当，那么就叫是倍测度。
满足的测度的Marcinkiewicz积分如下：假设是定义在的局部可积函数，并且能够满足以下条件：[3]从而证明了非其次空间中Marcinkiewicz积分交换算子的有界性。
三、结束语通过对一类广义Morrey空间次线性算子有界性和非其次空间中Marcinkiewicz积分交换算子的有界性的研究，针对不同函数空间中算子有界性的研究，为积分算子的有界性研究提供了参考。
参考文献[1]陈晓丽，陈杰诚.次线性算子在一类广义Morrey空间上的有界性及其应用[C].数学年刊A辑.2011.32：705-720[2]陈秀琼.新型各向异性奇异积分算子的有界性[J].汕头大学学报（自然科学版）.2014.11（15）：26-30[3]叶晓峰，胡媛媛.非其次空间上几类积分算子的有界性[J].华东交通大学学报.2012.8（15）：68-72。
齐型空间上奇异积分双线性交换子的有界性
齐型空间上奇异积分双线性交换子的有界性
陆燕;黄小妹;朱月萍
【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(8)3
【摘要】在Co,man-Weiss意义下的齐型空间上引入双线性Calderon-Zygmund奇异积分算子与BMO函数的交换子的概念,证明了齐型空间上双线性交换子Tb是乘积空间Lp,1(ML(logL)2ρ-1+δ×LP2(ML(logL)2ρ-1+δω)到Lp(ω)有界的算子.
【总页数】7页(P72-78)
【作者】陆燕;黄小妹;朱月萍
【作者单位】南通大学理学院,江苏,南通,226007;南通大学理学院,江苏,南
通,226007;南通大学理学院,江苏,南通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子的极大交换子的有界性 [J], 王永艳;束宇
2.带非光滑核的奇异积分算子生成的多线性交换子在齐型空间的有界性 [J], 孙爱文;王永艳;束立生
3.齐型空间上双线性C-Z奇异积分算子的加权有界性 [J], 黄小妹;陆燕;朱月萍
4.齐型空间上奇异积分变换构成的交换子在Morrey空间中的有界性 [J], 邓燕谊
5.齐型空间上双线性C-Z奇异积分算子的加权有界性 [J], 黄小妹;陆燕;朱月萍
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一类粗糙核奇异积分算子与Lipschitz函数生成的交换子的有界性估计
设Ｑ ） 零次 （ 为 齐次且 【Ｏｘｘ ０ 定 （ｄ＝ ， 义 ）
Ｔｋ ｂ
，
ｗ ｐ ∈Ａ ，则算子是 （ ， （）ｃ上 的有界算子． ｗ （） ｂ
１９ ９ ３年 Ｊ ｖ ｒｚ ．ａ ｂ ，Ｄ．ｕｔ ＣＰ ｒｚ 】 ． ａｅ，ＲＢ ｇ ｙ Ｋ ｒ Ａｌ ｚ和 ．ｅｅ ［ ３ 进
圭吉罟 一， ＝一ｃ ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｓｎ ｕ ａ ｔｇ ａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｃ ｍｍｕ ａ ｏ ； ｌ ｐ ｉｒｏ ｅ ａｏ ； ｐ ｃ ｉ ｐ ｃ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｇ ｌｒｉ ｅ ｒ ｌ ｅ ａｏ ； ｏ ｎ ｏ ｔｔ ｒ ｍｕ ｔ ｌ ｐ ｒ ｔ ｒ Ｌｉ ｓ ｈ ｔ ｓ ａ ｅ ｉ ｅ ｚ
作者简介：曹前（９８） ， １７一，男 讲师， 硕士， 研究方向为调和分析． － ａ：８９１＠ｑ ． ｒ Ｅ ｍ ｉ ５６ １１ ｑ ｏ ｌ ｃｎຫໍສະໝຸດ Ｖｌ１２３Ｎ Ｏ． ０． ４
Ｄｅ ． ０ １ ｃ ２ １
ｄ ｉ１． ６ ／ｉ ｎ１７－ １６２ １． ．０ ｏ： ０３ ９ ．ｓ． ２ ６４ ．０ １ ４０ ６ ９ ｊｓ ６ ０
一
类粗糙核奇异积分算子与 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数生成的
交换子 的有界性估计
曹 前 马柏林 ，
（． １ 湖南文理 学院 数学与计算科学学院， 南 常德， １００ 湖 ４ ５０； ２ 嘉兴学院 数理与信息工程学院， ． 浙江 嘉兴，１００ ３４０）
Ｍａ ｍａ ｃ ｄ ｈ ｓ ｓ ｎ ｆｒ ｔ ｍ Ｅ ｇｎｅｉｇＣ ｌｇ ，ｉ ｉｇ ｏｌｇ １０ ０ Ｃ ｉａ ｔ ｔ ｓ ｎ ｙｉ ｄ ｎｏｍａｉ ｎ ｉｅｒ ｏｌ ｅＪ ｘｎ ｌ ｅ ０ ， ｈｎ） ｈ ｉ ａ Ｐ ｃａ Ｉ ｏ ｎ ｅ ａ Ｃ ｅ ３４
marcinkiewicz积分交换子的有界性
marcinkiewicz积分交换子的有界性
马丁·马辛基维茨积分交换子的有界性
伴随着近几十年科学和技术的不断发展，数学在多种领域的应用也变得越来越广泛。
众多的数学研究工作中，马丁·马辛基维茨的积分交换子有其重要的地位，尤其是在处理
有界性问题时，该交换子非常有用。
马辛基维茨积分交换子是一种完全离散的变换，能够
从许多给定函数中提取信息并将其转换成更高维度的信息。
马辛基维茨积分交换子试图解决有界性问题，这是数学家一直以来关注的问题。
有界
性是指某些量是有限的，而不是无限的。
一般而言，任何函数都可以使用马辛基维茨积分
交换子进行有界性分析。
例如，马辛基维茨积分交换子可以用来求解常微分方程，因此有
助于形成常微分方程所对应的有界函数，而这些函数就可以用来解决有界性问题。
马辛基维茨积分交换子本身具有解决许多问题的能力。
但是，它也有许多性质，其中
包括它的有界性性质，这种有界性性质帮助确定系统的范围和限制，以及处理可能发生的
问题或不变性，从而使结果更加明确。
马辛基维茨积分交换子也可以用来通过在空间维度上对数据的秩序化作用来标定空间
维度，其中一些维度可以用于辨认特定模式，而另一些维度则可用于描述特定空间内的相
关信息和模式。
这种有界性特性不仅有助于表示以数学方式单一性和唯一性，而且也有助
于结果的可靠预测和准确估计。
因此，马辛基维茨积分交换子在有界性问题上发挥着关键作用，使系统变得更加完善，结果更加明确，帮助数学家更好地处理科学问题。
多线性奇异积分算子交换子在Morrey空间的有界性
８５０ ； ３ ００
摘 要 ： 主要 考虑 具有标 准 多线性 ｍ— ａｄ ｒｎＺ ｇ ｎ Ｃ ｌｅ６ — ｙ ｍｕ ｄ核 的奇异积 分算 子与 Ｂ ＭＯ 函 数 生成 的一 类 交换 子在 广 义 Ｍｏｒｙ 空 间上 的 有 界 性 ， 为 推 论 得 到 了该 交换 子 在 经 典 ｒｅ 作 Ｍｏｒｙ空间 中的有界 定理 ， 广 了 Ｐ ｒｚＣ和 Ｔ ｒｅ 的结果． ｒｅ 拓 ｅｅ ｏｒｓＲ 关 键词 ： 多线性 算子 ； 交换 子 ； ＭＯ 函数 ； ｒｅ Ｂ Ｍｏｒｙ空间 中图分类 号 ：Ｏ１ ４ ２ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
Ｂｏ ｎ ｅ ｔｍ ａ ｉ ｎ ｏ ｍｍ ｕ ａ ｏ ｓ ｏ ｕ ｔｌｎ ａ ｕ ｄ ｄ Ｅｓ ｉ ｔｏ ｆＣｏ ｔ ｔ ｒ ｆＭ ｌｉ ｅ ｒ ｉ Ｓ ｇｕ ａ ｎ ｅ ｒ ｌ ｎ Ｍ ｏ ｒ ｙ Ｓ ｃ ｓ ｉ ｌ ｒＩ ｔ ｇ ａ ｓ ｏ ｒ ｅ ｐａ ｅ
文 章 编 号 ：６ ４ ２ ７ （ ０ ０ ０ — ０ ００ １ ７ — ９ ４ ２ １ ４ ０ ９ — ３ Ｊ
多 线 性 奇 异 积 分 算 子 交 换 子 在 Ｍ ｏ ｒｙ空 间 的 有 界 性 ｒｅ
周 疆 李 亮 伊 磊 陈金 阳。 ， ， ’
，
（． １ 湖南 大学 数 学 与 计 量 经 济 学 院 ， 南 长沙 ４ ０ ８ ；． 犁 师 范 学 院 数 学 系 应 用 数 学 研究 所 ， 疆 伊 宁 湖 １０ ２ ２ 伊 新
＜ 。 ）空间上 是有界 的．Ｐ ｒｚ等人 将 上 述交 换 。 ｅｅ
１ 背 景 介 绍及 基 本 概 念
多线性 奇异 积分理 论最初 是 由 Ｃ ｉ ｎ等人 ｌ ｏｆ ｍａ ＿ １ ］ 建立 的 ， 由于多线性 算 子理论 在偏微 分方 程 ， 复变 多 分析 中有广 泛 的应 用 ， 于此 理论 的研究 越来越 多 ， 关 特别 是 近几 年 来 又 有 许 多新 的研 究 成 果， 中 其 Ｇｒｆｋ ｓ等人 在文献 ［ — ５ 中对 多线 性 Ｃ ｌｅ６ — ａａ ｏ ２ ］ ａｄ ｒ ｎ Ｚｇ ｎ ｙ ｍｕ ｄ算 子理 论 做 了系 统 阐 述． 一 方 面 ， 换 另 交 子理论 的研究 在算子 理论 及偏 微分方 程 中 占有 很重 要的地 位 ， ｏｆ ｎ等人 定义 了一 种交换 子 ， Ｃｉ ｍａ 即
粗糙核的奇异积分算子交换子的有界性
ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍ ｍｕ ｔ ａ ｔ ｏ ｒ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ Ｔ ； ２ ）ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ
．
ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ｎ ｏ ｎ — ｓ ｍ ｏ ｏ ｔ ｈ ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ ｓ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｉ ｎ ｇ ｔ ｗ ｏ ｑ ｕ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ： １ ）ｔ ｈ ｅ
定义 １ ． １
Ｂｏ ｕｎ ｄｅ ｄｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍ ｍ ｕｔ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｏ ｆ ｓ ｉ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｎｏ ｎ－ ｓ ｍｏ ｏ ｔ ｈ ｋ ｅ ｒ ｎ ｅ ｌ ｓ
ＺＨＡＮＧ Ｘｕ ｅ — ｍｉ ｎ ｇ
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｊ ｉ ｎ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ６ ３ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
２ ９ 卷 第２ 期
２ ０ １ ３年４月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｍｅ ｒ ｃ ｅ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
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Hale Waihona Puke 学 号： 姓 名： 学科专业： 学科专业： 基 础 数 学 研究方向： 研究方向： 调 和 分 析 导师姓名： 导师姓名：
一、立论依据
由于奇异积分算子及其交换子是调和分析的 重要算子， 重要算子 ， 它们不仅在调和分析理论中具有 重要的地位， 重要的地位 ， 而且在微分方程等学科中有着 极其重要的应用， 极其重要的应用 ， 因此我们选择这类算子及 其交换子作为研究的对象。 其交换子作为研究的对象。 调和分析中一些经典算子与BMO函数生成的 调和分析中一些经典算子与 函数生成的 交换子在偏微分方程中有着广泛的应用， 交换子在偏微分方程中有着广泛的应用 ， 因 此研究交换子的有界性是一个很有意义的问 题。
拟解决的关键问题： 拟解决的关键问题：
1.研究奇异积分算子及其交换子在一类空间 研究奇异积分算子及其交换子在一类空间 上的性质。 上的性质。 2.将奇异积分算子及其交换子在一类空间上 将奇异积分算子及其交换子在一类空间上 的有界性问题进行推广。 的有界性问题进行推广。
2.拟采取的研究方案及可行性分析 拟采取的研究方案及可行性分析: 拟采取的研究方案及可行性分析
2. 尚缺少的条件和拟解决的途径
⑴缺少的条件：图书馆相关方面的国内外资料相 缺少的条件： 对有限， 对有限，信息的获取与最新研究动态及最新资料 搜集相对不足。 搜集相对不足。 解决途径：适时地到其他高校去学习、访问、 ⑵解决途径：适时地到其他高校去学习、访问、 讨论、收集资料，以获得最新的资料和信息， 讨论、收集资料，以获得最新的资料和信息，获 取先进的学习方法和研究方法，积累经验。 取先进的学习方法和研究方法，积累经验。
二、研究方案
1.研究目标、研究内容和拟解决的关键问题 研究目标、 研究目标
研究目标： 研究目标：
利用已有的理论研究奇异积分算子及其交换 子的有界性问题。 子的有界性问题。
研究内容： 研究内容：
1.利用已有的相关结论进一步研究奇异积分 利用已有的相关结论进一步研究奇异积分 算子及其交换子的性质。 算子及其交换子的性质。 2.这类奇异积分算子及其交换子在一类空间 这类奇异积分算子及其交换子在一类空间 上的有界性的问题。 上的有界性的问题。
四、主要参考文献
周民强编.调和分析讲义.北京大学出版社,1999. 周民强编.调和分析讲义.北京大学出版社,1999. 陆善镇、王昆扬著.实分析（第二版） 北京师范大学出版社,2006. 陆善镇、王昆扬著.实分析（第二版）.北京师范大学出版社,2006. Shanzhen Lu Dachun Yang and Guoen Hu, Herz Type Spaces and Their Applications, SCIENCE PRESS BeiJing ,2008. Walter Rudin,Funcional Analysis(Second Edition),China Machine Press,2004. 韩永生.中国科学 中国科学(A ，1987，(8):500一 韩永生 中国科学 A辑)，1987，(8):500一812. Q.,泛函分析讲义 上册, 泛函分析讲义, Zhang, G. Q.,Lin, Y. Q.,泛函分析讲义, 上册, 北京大学出 版社,1987. 版社,1987. 程民德、邓东皋、龙瑞麟著.实分析.高等教育出版社,1993. 程民德、邓东皋、龙瑞麟著.实分析.高等教育出版社,1993. 韩永生著.近代调和分析方法及其应用.科学出版社,1988. 韩永生著.近代调和分析方法及其应用.科学出版社,1988. 丁勇著.现代分析基础.北京师范大学出版社,2008. 丁勇著.现代分析基础.北京师范大学出版社,2008. singuPerez C.,Endpoint estimates for commutators of singuAnal.,1995,128:163lar integral operators,J.Funct. Anal.,1995,128:163-185.
HerzLu S.C.,Yang D.C., The Herz-type Hardy spaces and its China,Ser.A,1995,128:662applications,Science in China,Ser.A,1995,128:662-673. Lu S.C.,Yang D.C., The continuity of commutators on HHerztype spaces,Michigen Math.[J].1997,44:255-280. Math.[J].1997,44:255陆善镇，吴强，杨大春.交换子在Hardy型空间上的有界性.中 陆善镇，吴强，杨大春.交换子在Hardy型空间上的有界性. Hardy型空间上的有界性 国科学，A辑，2002，32(3):232-244. 国科学， 2002，32(3):232Coifman R.Rocherg R.Weiss G.Factorization theorems for hardy spaces in several variable[J].Ann.of Math.1976,1 261103: 2611-635. homogDuoandikoetxea J.Weighted norm inequalities for homogeneous singular integrals[J].Trans.Amer.Math.Soc.1993, 336:869336:869-880. 胡国恩,杨大春.卷积算子交换子的一个加权估计[J]. [J].数学进 胡国恩,杨大春.卷积算子交换子的一个加权估计[J].数学进 ,1997,28:47展,1997,28:47-56. 胡国恩,陆善镇,马柏林.卷积算子的交换子[J].数学学报， [J].数学学报 胡国恩,陆善镇,马柏林.卷积算子的交换子[J].数学学报， 1999,42:359-368. 1999,42:359-
利用已有的结论进一步研究奇异积分算子及 其交换子的性质及有界性问题，利用奇异积分， 其交换子的性质及有界性问题，利用奇异积分， 泛函分析，调和分析的方法研究算子、 泛函分析，调和分析的方法研究算子、奇异积分 等若干问题，得到了相关的结果。 等若干问题，得到了相关的结果。 所选课题是调和分析的课题，前期准备充分， 所选课题是调和分析的课题，前期准备充分， 相关专业课基础扎实，阅读了大量的文献， 相关专业课基础扎实，阅读了大量的文献，系统 的掌握了一套科学的研究方法， 的掌握了一套科学的研究方法，并且研究方案和 技术线路合理可行，学校具备良好的学习环境， 技术线路合理可行，学校具备良好的学习环境， 因此是切实可行的。 因此是切实可行的。
刘宗光,陆善镇. 强奇异卷积算子交换子的Hardy型空间估计, Hardy型空间估计 刘宗光,陆善镇. 强奇异卷积算子交换子的Hardy型空间估计, 数学 学报, 417学报, 2003, 46(3): 417-426. 林燕,陆善镇.与强奇异Calderon Calderon算子相关的Toeplitz 林燕,陆善镇.与强奇异Calderon-Zygmund 算子相关的Toeplitz 型 算子,中国科学A 615算子,中国科学A辑.2006, 36(6): 615-630. 丘道文,齐型空间上的一类积分算子.数学年刊（ ），2001 22： 2001， 丘道文,齐型空间上的一类积分算子.数学年刊（A辑），2001，22： 797797-804. 徐莉芳,多线性奇异积分在齐次Herz空间中的有界性, Herz空间中的有界性 徐莉芳,多线性奇异积分在齐次Herz空间中的有界性, 北京师范大学 学报（自然科学版） 291学报（自然科学版）, 2003,39(3): 291-296. 韩彦昌,非齐型空间上奇异积分算子加权估计,中山大学学报（ 韩彦昌,非齐型空间上奇异积分算子加权估计,中山大学学报（自然 科学版）,2005,44(3):1科学版）,2005,44(3):1-4. 伍火熊,一类粗糙算子的高阶交换子在加权Herz空间的有界性, Herz空间的有界性 伍火熊,一类粗糙算子的高阶交换子在加权Herz空间的有界性,北京 师范大学学报（自然科学版）,2001,37(3):299师范大学学报（自然科学版）,2001,37(3):299-306. J.Alvarez,R.Bagby,D.Kurtz,C.P erez.Weighted estimates for Math.,1993,104:195commutators of linear operators.Studia Math.,1993,104:195209. 陆善镇，吴强，杨大春.交换子在Hardy型空间上的有界性.中国科学， Hardy型空间上的有界性 陆善镇，吴强，杨大春.交换子在Hardy型空间上的有界性.中国科学， 2002，32(3):232A辑，2002，32(3):232-244.
3. 预期研究成果
（1）利用对已有的奇异积分算子及其交换 ） 子的性质及有界性知识的掌握， 子的性质及有界性知识的掌握，将其有界 性问题推广到一些空间中去。 性问题推广到一些空间中去。 （2）将有关结果整理成文章发表在省级以 ） 上的刊物上。 上的刊物上。
三、研究基础
1. 与本课题有关的，前期研究工作积累和已取得的研究工作 与本课题有关的， 成绩（包括近期已发表与本课题有关的主要论著目录） 成绩（包括近期已发表与本课题有关的主要论著目录）
在本科阶段系统的学习了数学分析， 在本科阶段系统的学习了数学分析 ， 实变函 数与泛函分析， 点集拓扑， 微分方程等理论， 并 数与泛函分析 ， 点集拓扑 ， 微分方程等理论 ， 且听了若干有关分析学的讲座， 且听了若干有关分析学的讲座 ， 积累了一定的知 识并产生了兴趣。 识并产生了兴趣 。 在读研期间又学习了现代分析 基础， 欧氏空间的傅里叶分析引论， 基础 ， 欧氏空间的傅里叶分析引论 ， 奇异积分与 函数的可微性， 实分析与复分析， 函数的可微性 ， 实分析与复分析 ， 调和分析等理 并搜集了一些相关资料， 论 ， 并搜集了一些相关资料 ， 了解一些最新研究 成果。 成果。