电磁场理论(柯亨玉)答案第五章 时变电磁场

2 H (r ) k 2 H (r ) J (r )
其中 k 2 2
2.
电磁场矢势与标势的微分方程。 电磁场波动方程中源的形式复杂。不易解出。故仍像稳恒场一样引人势涵数。
A . B A , E t
2
相应的方程：
2

对于时谐场
洛伦兹规范：
A(r ) j (r ) 0
相应的方程：
J (r ) A(r ) 2 k 2 1 (r ) (r )
A 0
时变电磁场的唯一性定理 一般的时变场问题是有方程（5-1-4） ， （5-1-5）的求解问题，则问题可分为三类。 1）混合问题，即有初始条件，又有边介条件的问题。 2）边值问题或无初始条件问题，这类问题有两种可能， （1）恒定场（或静态场） 问题，这就是泊松方程（或拉普拉斯方程 ）的边值问题。 （2）问题所处的时间 距初始状态的时间足够长致使初始状态对的影响可忽略这就是稳态，简谐的变姆霍 兹方程问题。 3）初值问题或无边介条件问题，即问题所涉及的区域边介足够远致使边介影响可忽略 我们主要研究的是有边介问题，其中第二类中（1）的唯一性定理前面已讲，本章研 究的是混合问题的唯一性定理。 亥姆霍兹方程边值的唯一性定理 定理表述：处处给定闭合在区域 v 内，源密度处处给定，在区域边介上电场的切向分量 或磁场的切向分量处处给定。则区域 v 内麦克斯韦方程或亥姆霍兹方程的解是唯一的。 4. 以上定理也包括无源问题。 均匀平面电磁波 在无源、无界、均匀、各向同性、线性、静止的媒介中 波动方程：


同理， E 2 超前或滞后 E1 分别表示左、右旋椭圆极化波。


1 ED 2 1 wm B H 磁能密度： 2 2 单位体积内焦耳热损耗： E J E
对于时谐场，复坡印延定理的积分形式
1 1 1 1 ( E H * ) ds E J * dv j 2 ( B H * E D * )dv s 2 v2 v 4 4 1 其中平均坡印延矢量 S av Re ( E H * ) 2 1 平均电能密度： We Re ( E D * ) 2 1 平均磁能密度： Wm Re ( B H * ) 4 1 * 1 * 平均单位体积内焦耳热损耗： E J E E 2 2
第五章时变电磁场 内容提要： 1. 电磁场的波动方程 对于线性均匀各面同性介质。电磁场所满足的波动方程为：
2E J E 2 D t t
2
2H H J t 2
2
对于时諧电磁场。波动方程为
2 E (r ) k 2 E (r ) j (r )
库仑规范： 相应的方程：
2 A(r ) k 2 A(r ) j (r ) (r ) 2 (r )
达朗贝方程在自由空间的解
(r ', t v A(r , t ) v 4 r r'

平面波的特点：1） E H , 都是横向. S E H 指向波的传播方向；


2） E
H

k
（振幅比） ，是一无衰减的等幅行波；
E 3） 为实数， E 与 H 同相 H
4） Weav Wmav

1 2 1 E0 H 02 4 4
这样求解有源电磁场 E , B 的问题就转化成求势涵数 A, 中的问题。 洛伦兹规范：


A 0 t
2
J A 2 达朗贝尔方程： ( 2 ) 1 t
A 0
库仑规范：
2 A A 2 [ J ( )] t t
r r'
v v
(r ')

e
jk r r '
dv'
e r r'
(r ')
jk r r '
dv
表示电磁场能量守恒与转换关系的是坡印延定理。 定理的积分形式： 微分形式： 其中坡印延矢量： 电能密度：
1 1 E H ds ( B H _ E D)dv E dv s v t v 2 2 1 1 ( E H ) ( B H E D) J E t 2 2 S EH we
ˆ 的方向关系 n ˆ 。沿传播方 ˆ1 n ˆ2 k ˆ1 、 n ˆ 2 是横截面内一对相互垂直的单位矢量，与wenku.baidu.comk n


"" 号分别表示左、右旋圆极化波，即 E 2 超前或滞后 E1 。 向观察， ""、
椭圆极化波的电矢量：
ˆ1 E1e j1 n ˆ 2 E2 e j 2 )e j ( k r t ) E (n
2 E k 2 E 0 2 H k 2 H 0
其中 k
2
( E 0) ( H 0)
2
波动方程解的最简单形式：
E E 0 e j ( k r )
( E0 常矢)
E E0 e jkz
(仅沿 z方向传播)

r r'
) dv'
上式表明 r ' 处 t
r r' v
时刻的电荷电流产生的场要经过推迟时间
r r' v
才能到达观
才能到达察点 r 。所以上式代表的势称为推迟势。 对于时谐场

A(r ) 4 1 (r ) 4
3. 电磁场的能量及坡印延定理
ˆvW S av k av ˆvW Wav k av
1 2 1 1 2 Wav E0 H 0 ,v 2 2
5.
平面电磁波的极化
ˆ1 E0 e 线极化波的矢量： E n

j ( k r t )
是垂直传播方向的横截面内任一方向上的单位矢量。
ˆ1 jn ˆ 2 ) E0 e j ( k r t ) 圆极化波的电矢量： E (n