基础知识天天练3-4. 数学 数学doc

第3模块 第4节

[知能演练]

一、选择题

1．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是

( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

x ＋

π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6

C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫

4x －π3

D ．y ＝cos ⎝⎛⎭

⎫

2x －π6

解析：由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫

π12＋π6＝π， ∴ω＝2，排除A 、C. ∵图象过(

π

12

，1)代入B 项， ∴f (π12)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×

π12－π6＝0≠1. 排除B ，选D. 答案：D

2．为得到函数y ＝cos(2x ＋π

3

)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象

( )

A ．向左平移5π

12

个单位长度 B ．向右平移

5π

12

个单位长度 C ．向左平移5π

6个单位长度

D ．向右平移5π

6

个单位长度

解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛2x ＋

5π6. 由题意知要得到y ＝sin(2x ＋5π6)的图象只需将y ＝sin2x 向左平移5π

12

个单位长度． 答案：A

3．设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是

( )

A ．f (0)＝1

B ．f (0)＝0

C ．f ′(0)＝1

D ．f ′(0)＝0

解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数， ∴sin(ωx ＋φ)＝sin(－ωx ＋φ)． ∴sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0. ∴φ＝kπ＋π

2k ∈Z)，∴f (0)＝sin φ＝±1.

又f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，∴f ′(0)＝ωcos φ＝0. 答案：D

4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π

6)等于( )

A ．2或0

B ．－2或2

C ．0

D ．－2或0

解析：由f (π6＋x )＝f (π6－x )可知x ＝π

6是f (x )的一条对称轴．又∵y ＝2sin(ωx ＋φ)在对称轴

处取得最值，故选B.

答案：B 二、填空题

5．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π

3)上有最小值，无最大值，

则ω＝________.

解析：如下图所示，

∵f (x )＝sin(ωx ＋π3)，且f (π6＝f (π

3

)，

又f (x )在区间(π6，π

3)内只有最小值、无最大值，

∴f (x )在π6＋

π32＝π

4

处取得最小值．

∴π4ω＋π3＝2kπ－π

2(k ∈Z)． ∴ω＝8k －10

3

(k ∈Z)．

∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝14

3

；

当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间(π6，π3)内已存在最大值．故ω＝14

3.

答案：14

3

6．函数y ＝|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值的和为________． 解析：y ＝|sin x |cos x －1

＝⎩⎨⎧

1

2sin2x －1， 2kπ≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z ，－1

2sin2x －1， (2k ＋1)π

其图象如下图所示：

函数最小正周期T ＝2π，最大值y max ＝－12，

故最小正周期与最大值之和为2π－1

2.

答案：2π－1

2

三、解答题

7．已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π

4)．

(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤

－

π12，π2上的值域． 解：(1)∵f (x )＝cos(2x －π3＋2sin(x －π4)sin(x ＋π

4)

＝12cos2x ＋3

2sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6

)． ∴周期T ＝2π

2＝π.

由2x －π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ2＋π

3(k ∈Z)．

∴函数图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π

3(k ∈Z)．

(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－

π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦

⎤

－π3，5π6. ∵f (x )＝sin(2x －π6

)在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π

2上单调递减，

∴当x ＝π

3时，f (x )取得最大值1，

又∵f (－π12)＝－32

2

，