新版高等数学 初等函数.ppt

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1
y x y x2 y x3 y x2 y x1
定义域 R
R
R [0, ) {x | x 0}
值域 R [0, ) R [0, ) {y | y 0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
[0, )为
单调性 增函数 增函数, 增函数
y
x
O
x
y=cosx
y
O
x
x
y=cotx
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反三角函数
y
y y
y
O
x
O
x
O
1
x
O1
x
y=Arcsinx
y=Arccosx
y=Arctanx y=Arccotx
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反正弦函数
和(差) f g : ( f g)(x) f (x) g(x), x D;
积 f g : ( f g)(x) f (x) g(x), x D;
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}
g
g(x)
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复合条件在实际应用时常取形式 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
y u, u cot v, v x . 2
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函数的运算
设函数 f (x), g(x) 的定义域依次为 D1, D2 , D D1 D2 ,则我们可以定义这两个函数的 下列运算:
最小正周期T=
➢奇偶性： cot(x) cot(x)
余切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
➢单调性：余切函数在开区间 k, k , k Z
内都是减函数。
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正割函数
余割函数
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y O
y=sinx
y O
y=tanx
(,0] 为
减函数
[0, )为 (,0) 增函数 (0, )为
减函数
定点
(1,1)
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幂函数y x的性质:
•所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1), 但不通过第四象限.
•当 时0 ,幂函数经过原点(0,0),在 为(0增, 函)数.
•当 时0 , 在 为(0,减函)数,图像向上与y轴无限地
2
2
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y tan x
3 2
2
3
2
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正切函数的性质：
➢定义域：
x
|
x
2
k
,
k
Z
➢值域： 全体实数R
➢周期性： 正切函数是周期函数，
最小正周期T=
➢奇偶性： tan(x) tan(x)
正切函数是奇函数，正切曲线
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0<a<1
图
a>1
象
定义域: (,)
性 值域: (0,)
当 x = 0 时, y = 1 , 即过点 ( 0 , 1)
质
当x>0时, 0 y 1 当x<0时, y 1
当x>0时, y 1 当x<0时, 0 y 1
在 (,) 上是减函数 在 (,)上是增函数
当0<x<1时, y 0 当x>1时, y 0
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数
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三角函数
三角函数常用公式
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f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
1
图象 0 -1-
2
y
1
3 2
2 x 0
-1
2
⑵ y= eu, u sin v, v t , t x2 1.
例 3 设 f (x) x2 , g(x) 2x, 求 f [g(x)], g[f (x)].
解 f [ g ( x)]=[ g ( x)]2=( 2x )2= 4x , g [ f (x)] = 2 f (x) = 2x2 .
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反余弦函数
y arccos x
y
定义域： [-1，1]
y arccos x
值域： [0, ]
2
奇偶性： 无 单调性： 在 [-1，1] 单调递减
x 1 O 1
有界性： 有界函数
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⑷反余切函数 y arc cot x ( x R) ,值域为 (0, )
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k
(k Z) 时
2
ymax=1
x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
f(x)= 0
x k (k Z )
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R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z )
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当 y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
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O 1234 x
y 1
O 1
x
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例1 是由哪些函数复合而成的.
解
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例2 分析下列复合函数的结构：
解
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对数函数
求 y a x ( x R,a的反0函,a数 1)
解: y a x ( x R)的值域为(0, ,即) y 0
y a x x loga y
反函数为: y loga x ( x 0,a 0,a 1)
对数函数
换底公式：loga
x
ln x ln a
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定义域: (0, )
e A 0, A ln A
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0<a<1
a>1
图
( 1, 0)
象
( 1, 0)
定义域: (0,)
性 值域: (,)
当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 )
当0<x<1时, y 0
质 当x>1时, y 0
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反正切函数
y
y arctan x
2
定义域：（ , ） y arctan x
值域： ( , )
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o
x
2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在（ , )单调递增 有界性： 有界函数
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反余切函数
y arccot x
y arcsin x
定义域： [-1，1]
值
域：
[ , ]
22
奇偶性： 奇函数
y
2
y arcsin x
1 O 1x
单调性： 在 [-1，1] 单调递增
2
有界性： 有界函数
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因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.
定义域：（ , ）
值域： (0, )
奇偶性： 无
单调性： 在（ , )单调递减 有界性： 有界函数
y arc cot x
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二、复合函数
定义:
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
——复合条件
y arcsin(2 x2 )
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f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
2 奇函数
2 偶函数
单调性
单调增区间:
[ 2k , 2k ](k Z)
2
2
单调减区间:
单调增区间: [ 2k ,2 2k ](k Z) 单调减区间:
[ 2k , 3 2k ](k Z) [2k , 2k ](k Z )
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例4.
设函数
f
(x)
3x 1 , x ,
x x
1, 1
求
f[
f
(x)].
解:
x 换为 f (x)
f[
f
( x)]
3f
(x) 1,
f
(x)
1
f (x) , f (x) 1
9x 4 , x 0
3x 1, 0 x 1
x, x 1
x0 3(3x 1) 1
接近,向右与x轴无限地接近.
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,幂函
数为偶函数.
•当 时0 ,
函数为常数函数 y 1
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指数函数
定义:函数 y 叫 做a指x 数函数,其中 是 a 一个大于0,且不等于1的常量,函数的定义
域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
关于原点0对称
➢单调性：
正切函数在开区间 内都是增函数。
2
k
,
2
k
Baidu Nhomakorabea
,
k
Z
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y
y cot x
2
o
2
x
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余切函数的性质：
➢定义域：x | x k,k Z
➢值域： 全体实数R
➢周期性： 余切函数是周期函数，
第二节 初等函数
第一章
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
幂函数
定义:函数 y称为x幂函数,其中x是 自变量, 是常数.
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1
画出 y x, y x2 , y x3 , y x 2 , y x1的图像
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内容小结
1. 基本初等函数的性质 2. 复合函数 3. 初等函数的结构
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第二节 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P13 1 (1)(2) ; 2 (3); 4
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三. 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P12 – P13 )
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