大学物理实验课件

2
f 2 f 2 f 2 N x1 x2 xm x1 x2 xm
ln f 2 ln f 2 N x1 x2 N x1 x2
（三）算术平均值的标准偏差和高斯分布
测量次数n↑或↓，算术平均值本身是一个随机变量。可靠性如何？ 算术平均值 l
l1、l 2、 l n
的标准偏差 l 为 ：
l1、l 2、 l n
l
l
i 1
n
i
l
2

f’()

n
f()
nn 1
比测量列中的任一测量值更可靠！
统计意义：待测量的真值 a - - σ l
g 980.665(cm / s 2 )
2
g 980.1(cm / s 2 )
g 980.7(cm / s 2 )
Δg = 980.1 - 980.7 = 0.6(cm / s )
Δg 980.1 - 980.7 = = 6.1×10- 4 = 0.61% g 980.7
三、误差理论
（一）误差的分类 1、系统误差——非个人因素 2、随机误差——个人因素
Δ m = 0.05mm 游标分度数有两种：20格、50格 游标卡尺的分度值分别为0.05mm、0.02mm。 Δ m = 0.02mm
2、螺旋测微计
量程在0-25mm及25-50mm的千分尺示值误差均为 Δ m =0.004 mm
3、电表
Δ m = 量程 ×准确度等级%
4、数字式仪表
误差示值取其末位数最小分度的一个单位。
• 3、直径的测量
• 用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺 • 数据如下： D/cm 计算如下： 质量的不确定度—“单次测量的不确定度” ：
2 2 2 Δ(M ) = Δ2 ( M ) + Δ ( M ) = ( 0 . 01 ) + ( 0 . 02 / 3 ) =0.015g 估 仪
1、系统误差 3）个人误差 心理作用——读数（估计）偏大或偏小。 生理因素 听觉
对音域（20HZ--20KHZ）的辨别。 对音色的辨别。
嗅觉 色觉
视觉
1、系统误差 4）环境误差 20°C标定的标准电阻、标准电池一定温度下使用等。
光点检流计 输入
市电的干扰
接近时，静 电干扰，使 光斑移动等
1、系统误差 5）发现和消除系统误差 发现系统误差的方法
三、误差理论 （三）算术平均值的标准偏差和高斯分布 • • • 等精度测量无法断定n个测量值（ l1、l 2、 l n 谁更可靠。 可以证明，其平均值 n 1 l li n i 1 ）中

为最佳值也称期望值，是最可以信赖的。即当 n
1 lim n n
l
i 1
n
i
l
算术平均值趋于真值l 算术平均值——测量结果的最佳值
一、课程目的、与大学物理课程 ——联系与区别
——均以物理学知识为背景 ——自然科学的许多领域和工程技术的基础。 基础物理的学习——知识结构顺序为特点 大学物理实验的学习——案例式学习为特点。
二、典型案例
二、案例
用单摆测重力加速度

o
理论公式（模型）
g 4 2 l T 2
L
用仪器直接测量 卷尺
x - x0 x0
× 100%
若存在可修正的系统误差，设被测量 x 的可定系统误差为 s ，则其最佳值应修正为 n
1 x n
x
i i 1
s
三、误差理论
（六）测量结果的表示 2、间接测量量
N f x1 , x 2 , , x m
2
N f x1, x2 ,
2
, xm
N N N
2
2
ln f 2 xm xm
2
例子
• 测量一个圆柱体的密度

• 3个直接测量量M、D、h
M 4M V D2h
• 1、质量的测量 • 可读性（精度）为0.01g、不确定度限为0.02g的电子天平 M=80.36g
• 2、高度的测量 • 最小分度值0. 01cm、不确定度限值0.01cm的钢尺，估读1/5分度 左端读数：H1＝4.00cm； 右端读数：H2＝19.32cm
l100 99.86(cm)
l 4 99.85(cm)
...
与真值之差
l 2
l1
l 3
l100
错误
l 4
...
100次——等精度测量
正确
错误
2
3
4
5
三、误差理论
（二）测量列的标准偏差 对物理量做 n 次等精度测量，得到
l1、l 2、 l n
的一个测量列
绝对误差 ε = 测量值 l - 被测量的真值 a i li a
三、误差理论 （四）有限次测量情况和 t 因子 •
有限次测量结果不严格遵从正态分布，成为t 分布（或学 生分布，虚线）。 同样的置信概率置信区间变宽 ，将 l 乘以一个大于1的因子t，在 t分布下，常用 S l 来估计测量列平均 值的误差：
S l t l t
f()
l
i 1
理论分析法 实验对比法 数据分析法
系统误差的减小与消除 交换法、替代法、异号法等。
三、误差理论
（一）误差的分类 2、随机误差——随机性 误差的数值与符号以不可预知、无法控制的方式变化 的测量误差分量，称为随机误差。
2、随机误差
l1 100.15(cm)
l 2 100.20(cm)
l 3 99.93(cm)
5、仪器示值误差或准确度等级未知
取其最小分度值的一半为示值误差（限）。
6、电阻箱、电桥等
示值误差用专用公式计算。
B类不确定度的合成
2 单次测量： ΔB ( x) = Δ2 估( x) + Δ仪 ( x)
一般长度值是两个位置读数x1和x2之差，其不确定度合成公式为：
2 2 ΔB ( x) = Δ2 估 ( x1 ) + Δ估 ( x2 ) + Δ仪 ( x)
n
i i
n , l l
(l
i 1
n
i
l)
2
f()
- 0 +
d
n 1

,
2 ,2
区间
置信概率
68.3 %
95.4 % 99.7 %
3 ,3
统计意义：测量次数足够多时，测量列中任一测量值与平均 值的偏离落在区间 , 的概率为68.3%。
统计方法 A类 标准不确定度 非统计方法 分析评定 B类
2A 2B
表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。
三、误差理论 （五）测量的不确定度
1、测量列的A类标准不确定度 A 5＜n≤10时 直接测量量平均值的标准误差
A S x t p x t p
x x
B 0 nI
螺线管为无限长，管壁磁漏可忽略。
忽略空气阻力等
1 h = gt 2 2
1、系统误差
2）方法、理论误差 内接 VR VA A V 用V作为VR的近似值时，求
V VR VA R IR IR VR V A VR IR IR IR
外接 IR A
V
IV
V R I V V I R IV IR
意义???
通过公式计算得到——间接测量量
几个名词： 直接测量量 测量 间接测量量 实验方法——比较法 实验技术——光电技术 仪器设备——选择、使用 有效数字——如何确定 建模（理论公式） 测量结果的表示以及意义
三、误差理论
2 结果 g 4 3.1416
100 .10 2 980 . 1 ( cm / s ) 2 2.008
n
i
l

t 分布 0
2

nn 1
t 与n有关，也与置信概率p有关。
三、误差理论 （四）有限次测量情况和 t 因子 •
三、误差理论
（五）测量的不确定度
测量不确定度是测量结果带有的一个参数
对测量真值在某一个量值范围内的一个评定，表征合理赋 予被测量值的分散性，也是对测量结果可信赖程度的具体评定。
当 n 很大时随机误差 i 按统计规律分布——高斯分布 n∞时，曲线连续。
f()
σ——测量列的标准偏差
-
i
+

（二）测量列的标准偏差 n 有限的，真值不可知。贝塞尔法——实验标准偏差近似代 替标准误差，任何测量值与平均值之差满足归一化条件。
lim
n

i 1
n
i2
一、课程目的、与大学物理课程 ——联系与区别 《大学物理实验》——通过对实验现象的观察、分析和对物
理量的测量，学习物理实验的基本知识（误差基本理论、数据处 理基本方法）、基本仪器设备的使用、基本实验方法和技术。 扎根于 “放之四海而皆准”的物理学基本Βιβλιοθήκη Baidu理这一深深 土壤里的、一场由老师主导的启迪学生思维、培养学生思辨等 能力的师生之间互动的贯穿博雅教育理念的综合实践的活动。
多次测量：
Δ B ( x) = Δ 仪 ( x)
三、误差理论
（六）测量结果的表示 1、直接测量量
1 x= n
∑x
i= 1
n
i
Δx = Δ2A +Δ2 B
x x x
Δ A =tσ x
Ex =
x - x) ( ∑ =t n(n - 1)
n i= 1 i
2
Δx × 100% x
相对误差百分误差
E0 =
大学物理实验绪论
何焰蓝
一、课程目的、与大学物理课程的联系与区别 二、案例 三、误差理论 四、测量的有效数字 五、常用的数据处理方法
六、实验报告示例
七、常见的两种系统误差 八、课程实践
一、课程目的、与大学物理课程——联系与区别 大学物理——通过研究物质的基本结构、相互作用和物质最基
本、最普遍的运动方式及其相互转化规律，打好必要的物理基础 ，初步学习科学的思想方法、研究问题的方法以及培养辨证唯物 主义世界观。
比较法
2 0 0 8
99 cm 100 101
l 100.10(cm) 5位有效数字
T 2.008( s )
mg
mgsin m mgcos
计时计数测速仪 光电技术
2 结果 g 4 3.1416
4位有效数字
100 .10 980 .1(cm / s 2 ) 2 2.008 4位有效数字
三、误差理论
（一）误差的分类 1、系统误差——确定性
误差的数值与符号保持恒定或以可预知方 式变化的测量误差分量，称为系统误差。
1、系统误差 1）仪器误差
0
45
O O 30
15
/
1、系统误差
2）方法、理论误差
T 2 l / g

o
成立条件：摆角趋于零
L
mgsin
m mgcos
mg
天平不等臂
B2 类不确定度 仪 k p m （仪器不确定度） C
Δ m 为仪器的不确定度限值
C称为“置信因子
f ()
一般服从均匀分布规律：
1 f (Δ) = 2Δ m
1 2 m
仪器的标准误差与仪器误差（限）的关系： 通常取
C= 3
m
m

仪器误差
仪器的示值误差（限） 国家技术标准或检定规程规定的计量器具最大允许误差或允 许基本误差，经适当的简化称为仪器误差（限），用 m 表示。 它代表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被测量真值之间可 能产生的最大误差的绝对值。 仪器误差（限）举例 1、游标卡尺，仪器示值误差一律取卡尺分度值。
真值
物理量存在着的不依人意志为转移的客观量值 ——不能确定
实际应用中真值约定的方式： 理论真值： 理论设计值，公理值，理论公式计算值。 计量约定真值：国际计量大会规定的各种基本单位值，基本常数值。 标准器件真值：高级标准器件值作为较低级仪表的相对标准值。 算术平均值： 测量次数趋于无穷时，测量值的算术平均值趋于真值。 测量值 长沙地区的重力加速度真值
i 1 i
n
2
n n 1
（五）测量的不确定度 2、测量列的B类标准不确定度 B 通常以测量的估计误差和仪器的最大允差组成。
2 ΔB = Δ2 + Δ 估 仪
B 类不确定度
Δ估 = d / 10 (最好) (中等) B1 类不确定度， Δ估 = d / 5 d为仪器的分度值 ( ) Δ估 = d / 2 较差 （单次测量） (特殊情况，比如数字显示) Δ估 = d
置信概率 68.3 % 0
σl
+

l 2 l , l 2 l l 3 , l 3
l l
l l , l l
区间
同样的置信概率， 区间变小 坏值的剔除区间
95.4 %
99.7 %
该测量列的平均值的标准差 l ，也称做该测量列的A类不确定度。