第3讲 实数的运算及分数指数幂(讲义)解析版

第3讲实数的运算及分数指数幂

模块一：近似数的精确度

.知识精讲

知识点：有关概念

1．准确数概念：

一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．

2．近似数概念：

与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．

☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．

☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）

3．精确度概念：

近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．

☆近似数的精确度通常有两种表示方法：

（1）精确到哪一个数位；

（2）保留几个有效数字．

4．有效数字概念：

对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．

例题解析

例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．

【难度】★

1.732；四； 1、7、3、2．

≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．

1.732

【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.

例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?

1)2000； 2）4.523亿；3）5

⨯；4）0.00125．

7.3310

【难度】★

【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；

2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；

3)有效数字：7、3、3，精确到千位；

4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．

【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．

【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．

例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．

（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；

（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；

（3）548203(精确到千位) ≈_________；

（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________． 【难度】★

【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例4.已知 3.1415926

π=，按四舍五入法取近似值．

（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；

（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．

【难度】★★

【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示． 例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★

【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．

【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.

【总结】本题主要考查了精确度的概念．

例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？ （1）2000 （2）0.6180

（3）7.20万 （4）5

1010.5⨯ 解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；

（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0； （3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0； （4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0．

例7：地球表面积约为8

1011.5⨯平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳

得到的能量相当于燃烧8

103.1⨯千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）． 解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧

16168

8

1064.610

643.6103.11011.5⨯≈⨯=⨯⨯⨯

例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．

【解析】45060030000310⨯==⨯．

【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．

模块二：分数指数幂 知识精讲

1、有理数指数幂

把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：

(0)m

n

a a =≥(0)m n

a

a -

=>，其中、n 为正整数，1n >．

上面规定中的m n

a 和m n

a

-

叫做分数指数幂，a 是底数．

整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：

设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；

（3）()p

p

p

ab a b =，()p

p p a a b b

=．

例题解析

例1.把下列方根化为幂的形式：

（1

；

（2

）

（3

；

（4）

（5

；

（6

．

【难度】★

【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12

()a -．

【解析】（11

3

2=； （2）13

10-；

（3）2

18

4

55=； （4）13

7=；

（513a ==-； （612

()a =-．

【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 例2.把下列分数指数幂化为方根形式： （1）1

31()27

-；

（2）2

38()27；

（3）1

21()16

-；

（4）113

2(64)．

【难度】★