如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。

对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。

今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。

举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像

设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。

我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。

接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。

接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：

令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。

我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。

根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。

从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2)

我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。

在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。

与上面算出的半径相等！

因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2

抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。

高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无

数个圆周运动组合而成！