立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．

8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由．

(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．

(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。?

拓展提升

(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解．

(2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．

9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD．

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面

PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

如图所示，在正方体ABCD—A l B l C1D l中，M,N分别是AB，BC中点．

(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；

(2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1∥平面PMN，若有，确定点P的

位置；若没有，说明理由．

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：

(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，

求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．

P

D

A

B

C

E

立体几何中探索性问题的向量解法

高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。

一、存在判断型

1、已知空间三点A （-2，0，2），B （-2，1，2），C （-3，0，3）.设a =AB ，b =AC ，是否存在存在实数k ，使向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由。

解∵k a +b =k （0，1，0）+（-1，0，1）＝（-1，k ，1），k a -2b =（2，k ，-2）， 且(k a +b )⊥（k a -2b ）， ∴（-1，k ，1）·（2，k ，-2）=k 2 -4=0. 则k=-2或k=2.

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做. (k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2= k 2 -4=0，解得k=-2或k=2.

2、 如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.

解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ).

∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ·MN =(0，2b ，0)·(a ，0，atan θ)=0，

∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN. 若MN ⊥PC ，

则MN ·PC =(a ，0，atan θ)·(2a ，2b ，-2atan θ)

=2a 2-2a 2tan 2θ=0.

∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°. 即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.

【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.

二、位置探究型

3．如图所示。PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E 是PB 的中点，DP 与AE 夹

角的余弦值为

3

3。 （1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标。

（2）在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥平面PCB ？

解析：⑴以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设P （0,0,2m ）.

则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，

从而AE =(-1,1,m),DP =(0,0,2m).

B

P

D

A

C

E

B

AE

DP AE DP AE DP ⋅=

〉〈,cos =3

32222

2

=

+m m m ，得m=1. 所以E 点的坐标为（1,1,1）.

（2）由于点F 在平面PAD 内，故可设F(z x ,0,)， 由EF ⊥平面PCB 得：

0=⋅CB EF 且0=⋅PC EF ，

即10)0,0,2()1.1,1(=⇒=⋅---x z x 00)2,2,0()1.1,1(=⇒=-⋅---z z x 。

所以点F 的坐标为（1,0,0）,即点F 是DA 的中点时，可使EF ⊥平面PCB.

【方法归纳】点F 在平面PAD 上一般可设DP t DA t DF 21+=⋅、计算出21,t t 后，D 点是已知的，即可求出F 点。

4、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ．

（1）当E 、F 在何位置时，B 1F ⊥D 1E ；

（2）是否存在点E 、F ，使A 1C ⊥面C 1EF ？

（3）当E 、F 在何位置时三棱锥C 1－CEF 的体积取得最大值，并求此时二面角C 1－EF －C 的大小．

解：（1）以A 为原点，以1AB AD AA 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BE=x ，则有

11(,0,),(0,,),(,,0),(,,0)B a a D a a E a x F a

x a

11(,,),(,,)B F x a a D E

a x a a

11()

()()0B F D E

ax

a x a a a 因此，无论E 、F 在何位置均有11B F D E

（2）1

1

1

(,,),(0,,),(,0,),AC a a a EC a

x a FC x a 若A 1C ⊥面C 1EF ，则

22

()

a a x a ax

a

得0a

矛盾，故不

存在点E 、F ，使A 1C ⊥面C 1EF

（3）12

2()6

2

4

C CEF

a

a a V x

当2

a

x

时，三棱锥C 1—CEF 的体积最大，这时，E 、F 分别为BC 、CD 的中点。

连接AC 交EF 于G ，则AC ⊥EF ，由三垂线定理知：C 1G ⊥EF

11.C GC C EF C 是二面角的平面角，

11112,,tan 22,44

CC GC

AC a CC a C GC GC

1arctan 2 2.C EF C 即二面角的大小为 【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.