2.4欧拉运动方程及其积分详解
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牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得
Dv x p dxdydz f x dxdydz ( dxdydz ) x Dt
2.4.1 欧拉运动方程
两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度 的表达，得
vx vx vx 1 p vx fx vx vy vz x t x y z
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为
y
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计
粘性力，表面力就没有切向力，仅有 法向力（压力）一种，而彻体力是可 以有的 。
z dx
· P
式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：
V 2 vx vy vz 2vz x vx z x y z y 2
vz vz vz V 2 vx vy vz 2(vx y v y x ) x y z z 2
同理可以写出 y 和 z方向的表达：
v y v y v y 1 p v y fy vx vy vz y t x y z
fz 1 p vz v v v vx z v y z vz z z t x y z
这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。
直匀流对机翼的绕流
2.4 欧拉运动方程
解: 流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得：
1.225 p0 101200 (100 ) 2 107325 牛 / 米 2 2
于是：
p A p0 pB p0 pC p0
Байду номын сангаас
2 2
VA2 107325 牛 / 米2 VB2 107325 0.6125 22500 93825 牛 / 米2 VC2 107325 1531 105794 牛 / 米2
z
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
x 方向的彻体力为：
f x dxdydz
向量形式
1 DV 2 f p V Dt
2.4.1 欧拉运动方程
理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的 迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下：
v y vx vx vx v vx vy vz vy vz z x y z x x v y vx vx v y w vx vz v v v v v y z y z x x x x z x y x V 2 2v y z vz y x 2
该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋 流动。
2.4 欧拉运动方程
例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的
静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，
C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒， 空气在海平面的ρ=1.255千克/米3 。假设流动无旋，求A、 B、C三点的压强。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cosds
2
2.5 环量与涡
2.5.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭 曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符
号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方
向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所 包围的区域总在行进方向的左侧。
2.4.1 欧拉运动方程
1 DV f p 欧拉方程的向量形式为： Dt
欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力
之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项
vx vx vx vx 1 p vx vy vz fx 2 v x t x y z x v y v y v y v y 1 p vx vy vz fy 2 v y t x y z y vz vz vz vz 1 p vx vy vz fz 2 v z t x y z z
v y
v y
v y
得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰 姆方程”：
2.4.1 欧拉运动方程
vx V 2 1 ( ) 2(v y z vz y ) t x 2 1 v y V 2 ( ) 2(vz x vx z ) t y 2 v V 2 1 z ( ) 2(vx y v y x ) t z 2 p fx x p fy y p fz z
dy dz x
2.4.1 欧拉运动方程
六面体体积：dτ=dxdydz
y dy dz
p dx x 2
中心点坐标： x ,y ,z
中心点速度： vx ,vy ,vz 中心点加速度： Dtx , 中心点压强：p 中心点密度：ρ
Dv
p dx p x 2
Dvy Dt
,
Dv z Dt
· P
dx
p
x
Dv x p dxdydz f x dxdydz ( dxdydz ) x Dt
2.4.1 欧拉运动方程
两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度 的表达，得
vx vx vx 1 p vx fx vx vy vz x t x y z
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为
y
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计
粘性力，表面力就没有切向力，仅有 法向力（压力）一种，而彻体力是可 以有的 。
z dx
· P
式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：
V 2 vx vy vz 2vz x vx z x y z y 2
vz vz vz V 2 vx vy vz 2(vx y v y x ) x y z z 2
同理可以写出 y 和 z方向的表达：
v y v y v y 1 p v y fy vx vy vz y t x y z
fz 1 p vz v v v vx z v y z vz z z t x y z
这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。
直匀流对机翼的绕流
2.4 欧拉运动方程
解: 流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得：
1.225 p0 101200 (100 ) 2 107325 牛 / 米 2 2
于是：
p A p0 pB p0 pC p0
Байду номын сангаас
2 2
VA2 107325 牛 / 米2 VB2 107325 0.6125 22500 93825 牛 / 米2 VC2 107325 1531 105794 牛 / 米2
z
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
x 方向的彻体力为：
f x dxdydz
向量形式
1 DV 2 f p V Dt
2.4.1 欧拉运动方程
理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的 迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下：
v y vx vx vx v vx vy vz vy vz z x y z x x v y vx vx v y w vx vz v v v v v y z y z x x x x z x y x V 2 2v y z vz y x 2
该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋 流动。
2.4 欧拉运动方程
例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的
静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，
C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒， 空气在海平面的ρ=1.255千克/米3 。假设流动无旋，求A、 B、C三点的压强。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cosds
2
2.5 环量与涡
2.5.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭 曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符
号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方
向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所 包围的区域总在行进方向的左侧。
2.4.1 欧拉运动方程
1 DV f p 欧拉方程的向量形式为： Dt
欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力
之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项
vx vx vx vx 1 p vx vy vz fx 2 v x t x y z x v y v y v y v y 1 p vx vy vz fy 2 v y t x y z y vz vz vz vz 1 p vx vy vz fz 2 v z t x y z z
v y
v y
v y
得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰 姆方程”：
2.4.1 欧拉运动方程
vx V 2 1 ( ) 2(v y z vz y ) t x 2 1 v y V 2 ( ) 2(vz x vx z ) t y 2 v V 2 1 z ( ) 2(vx y v y x ) t z 2 p fx x p fy y p fz z
dy dz x
2.4.1 欧拉运动方程
六面体体积：dτ=dxdydz
y dy dz
p dx x 2
中心点坐标： x ,y ,z
中心点速度： vx ,vy ,vz 中心点加速度： Dtx , 中心点压强：p 中心点密度：ρ
Dv
p dx p x 2
Dvy Dt
,
Dv z Dt
· P
dx
p
x