浅谈数学中的直觉

浅谈数学中的直觉

王冉海

内容摘要：“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。”这是法国著名科学家庞加莱指出的。由此，在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养，尤其是直觉思维能力。在二十一世纪信息高速发展的时代，培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。

关键词：思维能力数学直觉

数学直觉，简单地说，是具有意识的人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，也可以说是领悟和洞察。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。

在数学中，确实存在一些“只可意会，不可言传”的东西，这就需要学生具有高度的抽象思维去加以捕捉，深刻理解，但仅仅有这些，显然是不够的，有时，数学直觉也会带来意想不到的效果，但这种直觉不是与天而来的，而是靠学生勤于思考，热衷思考形成的。正是因为有了这种直觉思维，才产生了许多丰富的创新，深奥的探索。

从培养直觉思维的必要性来看，直觉思维有以下三个显著特点：

1、简约性

直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。

2、创造性

曾有人说过：中国的教育制度不改革，永远也培养不出获得“诺贝尔奖金”的科学家，因为获得“诺贝尔奖金的科学家都是“立体型”的科学家，而现行的中国教育制度培养的只是“平面型”的科学家。可见，创造性是相当重要的。

3、自信心

居里夫人有句名言：“我们应该有恒心，尤其要有自信心。”直觉发现伴随着很强的“自信心”。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的钻研动力，从而更加相信自己的能力。

数学内容的抽象性和逻辑的严谨性往往掩盖了数学活动中直觉思维的存在。片面强调数学解题中逻辑方法的重大价值，忽视学生的想象力、创造力培养的倾

向依然存在。事实上，直觉思维在数学教学中的重要作用是不可否认的。

数学中的直觉归根结底是由思维者的审美情感所支配的，数学中最高层次的直觉，就是由美感产生的直觉。正如著名的科学史专家库恩所指出的：“在新理论的建立中，美学考虑的重要性有时是决定性的。”

例1：由美感产生的直觉导致了射影几何的建立。在欧氏平面几何中，点和直线的关系并不是完全对称的，因为过两点总可以作一条直线，而两条直线并不总有交点。为了解决上述矛盾，法国数学家笛沙格提出如下设想：同圆一样，直线也是一种封闭图形，其两端点的连接点在无穷远外。因而在直线上就有一个无穷远点。正是从这个假想出发，笛沙格初步建立了射影几何的理论。

数学美的因素对学生思维活动的影响是潜在的、不被觉察的，但这种审美情感却是驱动学生直觉思维的一股强大的力量。

例2： 已知关于X 的方程ax 2 + 2(2a-1)x + 4a － 7=0 ，问a 为何值时，方程至少有一个整数根？

分析：所给方程是一个含参数a 的二次方程，如果用求根公式解出x ，再由a 的值来讨论根的情况，运算就较为复杂。但若注意到a 的最高次数仅为一次，则可简单地把原方程看成关于a 的方程，由此再讨论整数根x 的存在就较为简便。

例3：已知：b a 2cos 4cos + b

a 2sin 4sin = 1 求证： a

b 2cos 4cos + a

b 2sin 4sin = 1 分析：这是一道常见的数学题，通常的证明均较繁琐。但如能“跳出”三角函数或恒等变形的圈子，用代数变换，则证明很简捷。如设sin2a=x ， sin2b=y

x , y 都属于(0 , 1)代人已知条件可得y x 2 + y

x --1)1(2

= 1，整理x = y 。再改写上式得 x y 2 + x

y --1)1(2

= 1代入所设即得要证的结论。 在数学学习过程中，光是靠直觉不行，有时，直觉也会导致谬误，缺少反思。 例4：这组四个数是按一定规律排列的，把其中多余的一个数找出来：3，9，18，27，81

分析：由于这道题是在“数列”这一章节中，学生凭直觉可能会认为此题是按等比数列设计的，所以答案就是18。也正是由于数学直觉能带给学生极强的自我效能感，极易导致解题后缺少反思。也正是由于缺少反思，使得学生不会对自己原有的认识进行重新评价和调控，题目中原有的解题思想可能得不到彻底的贯彻。就象上一道题，其实还可以有：

1）按是否为合数分类，应选3；

2）按是否可以写成不超过10的3个整数之和分类，应选81；（3＝0＋1＋2，

9＝2＋3＋4，18＝5＋6＋7，27＝8＋9＋10，而81>10＋10＋10）

3）按数码和是否为9分类，应选3。

在生活中，有这样的事情：分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间有什么影响呢？不用计算也能肯定它们是互相独立的！应该承认这些议论是颇有道理的，在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定中间的“相互独立”性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的。

例5：一个家庭有若干个小孩，假定生男孩和女孩是等可能的，令

A={一个家庭中有男孩，又有女孩}

B={一个家庭中最多有一个女孩}

对于下述两种情形，讨论A 与B 的独立性；

1、家中有两个小孩；

2、家中有三个小孩。

分析：就我们平时的经验和直觉，生男孩和生女孩都是一样的，不管家庭中有几个小孩，所以，对于两个问题都具有独立性，而经过计算之后，情况却颇为不同。

解：1、有两个小孩的家庭，样本空间为：

M={（男、女），（女、男），（男、男），（女、女）}

它有4个基本事件，由等可能性和概率各为1/4，这时，

A ={（男、女），（女、男）}

B ={（男、男），（女、男），（男、女）}

AB={（男、女），（女、男）}

于是 P （A ）=21 P （B ）=43 P （AB ）=2

1 由此可知：P （A ）* P （B ）≠P （AB ）

所以事件A 与B 不互相独立。

2、有三个小孩的家庭，同理：

P （A ）=43 P （B ）=21 P （AB ）=8

3 显然有 P （A ）* P （B ）=P （AB ）

所以事件与B 互相独立。

这个例子使我们感到，我们不能停留在“直觉”上，有必要对某些问题进行深入的研究。

数学直觉思维能力是可以培养的，也是不断在提高的，它是一个发展的过程。

1、直觉不是靠机遇，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，