高等数学之微分方程课件

合集下载

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

高数微分方程PPT课件

高数微分方程PPT课件
Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点:如何求特解? 方法:待定系数法.
湘潭大学数学与计算科学学院
21
第21页/共53页
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根,2 p q 0,
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
湘潭大学数学与计算科学学院
18
第18页/共53页
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ;
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2

3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ;
Dn
a Dn1 1
an1 D an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算.
湘潭大学数学与计算科学学院
10
第10页/共53页
3、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 若是k重根r
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x);
2、 y e2 x sin 3 x .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
湘潭大学数学与计算科学学院
19

高等数学第十一章课件.ppt

高等数学第十一章课件.ppt

这类方程的特点是经过适当的变换,可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积,而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下:
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ; 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解,隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解.
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解, y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解,则Y y 是 y py qy f (x) 的通解.
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数).
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程.

高等数学之微分方程课件

高等数学之微分方程课件
8-4 二阶微分方程
精品课程
例8 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 (共轭虚根时,由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i )
8-5 数学建模:微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力,可视为双方的士兵人数,一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少(死亡或受伤)的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比,而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程: (1) 下面分析求解此微分方程组
《高等数学》 教学课件
旅游旅行攻略
汇报人姓名
CLICK TO ADD TITLE来自八章 微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1:曲线过点(1,2),且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ,根据导数的几何意义得 (1) 此外还应满足条件 把方程(1)两边积分,得 即 把条件 代入(2),得C=1 把 C=1代入(2)式,即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 (可以证明,二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ,只要他们不成比例,则 为该方程的通解) 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时,得一个特解 ,再用待定法令 或 等等,求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程,能使方程恒等,这个方程称为微分方程的解;求微分方程的解的过程,叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式,常用的两种形式是:一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解;另一种是解不含任意常数,称为特解

高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt

高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
故所求特解为 lnln| yy|11lnln((xx2 21)1.). 22
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程.
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ;
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程.
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解. dx
解: 两端积分得通解 y x2 C .
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解. dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解: e y e x C
(2)
反之,
当 g( y) 0 时,
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;

【课件-高等数学】_第五章 微分方程-1

【课件-高等数学】_第五章  微分方程-1

( C 为任意常数 )
6
例2. 解初值问题 xydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得

y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
7
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件, 得 C M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . o
t
9
例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv dt
初始条件为 v t0 0
对方程分离变量, 然后积分 :

(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
代入上式后化简,
kБайду номын сангаас
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
k
10
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
第五章 微分方程
第一节 一些物理规律的数学描 述-微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中 的应用实例

高等数学微分方程总结ppt课件.pptx

高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2;
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式,得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点:如何求特解?
方法:待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数)
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0

高等数学全微分方程精品PPT课件

高等数学全微分方程精品PPT课件

dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0

d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy

高等数学 常微分方程PPT课件

高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项


法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
[提示](1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型,并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

《微分方程 》课件

《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时,需要选择合适的代换变量,使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子,将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子,将微分方程转化为积 分方程,从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换,简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换,将微分方程转化为 更简单的形式,从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程,通过引入新的变量 代换,可以将高阶微分方程转化为更简单的形式,从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a(常数)时,方程 简化为 y'' + ay = f(x),其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程,通过微分来描述函 数的变化率。

大学课件高等数学微分方程

大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.

微分方程解法ppt课件

微分方程解法ppt课件

阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程:
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对(5)式两端积分一次,得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次,得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入(7)式中,将条件S t0 0代入(8)式,
原方程,经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式(5),得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程(linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程(1)的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过(1,2)点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

例 3 求微分方程
解 原方程可改写为 分离变量,得 两边积分,得
xy ′ + y = 0
x dy + y=0 dx
的通解
dy 1 = − dx y x
ln y = − ln x + c
于是 ln y + ln x = c 即 xy = c ,这就是所求的微分方 程的通解。
8-2 可分离变量法
精品课程
例8 求微分方程 y′′ − y′ + y = 0 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解
r2 − r +1 = 0
r1 = 1 3 1 3 + i , r2 = − i 2 2 2 2
x 2
y = e (C1 cos
3 3 x + C 2 sin x) 2 2
(共轭虚根时,由欧拉公式有
e
r1 x
−3 x 则通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e
重根时,得一个特解 y1 = e −3 x ,再用待定法令 y2 = xe −3 x 重根时 或 y2 = x 2e−3 x 等等,求得另一个特解 y 2 = xe − 3 x
8-4 二阶微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
例4 求方程
y′ = 10 x + y 满足初始条件 y x =1 = 0
dy = 10 x10 y dx
的特解
解 原方程可改写为 分离变量,得 两边积分,得 化简,得
8-1 什么是微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
引例1:曲线过点(1,2),且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ,根据导数的几何意义得 dy = 2(1) x
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
相关概念
1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程 微分方程 2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数,叫做 微分方程的阶 3、如果把某个函数代入微分方程,能使方程恒等,这个方程 称为微分方程的解 微分方程的解;求微分方程的解的过程,叫做解微分方 微分方程的解 解微分方 程 4、微分方程的解有不同的形式,常用的两种形式是:一种是 解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,这样的解称为微分方程的通解 通解;另一种是解不含 通解 任意常数,称为特解 特解 5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特 、 定值而得到,用来确定特解的条件,称为初始条件 初始条件
8-2 可分离变量法
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
解简单微分方程常用的方法: 解简单微分方程常用的方法
将方程进行变形,然后等式两边进行积分 将方程进行变形,然后等式两边进行积分。 例:求解一阶微分方程 解 变形为
2 解 解特征方程 r − 5r + 6 = 0 得 r1 = 2 , r2 = 3
y = C 1e 2 x + C 2 e 3 x 于是微分方程的通解
(可以证明 可以证明,二阶常系数线性齐次微分方程的两个 可以证明 特解 y 1 , y 2 ,只要他们不成比例,则 y = C1 y1 + C 2 y 2 为该方程的通解) 例7 求方程 y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 的通解 解 特征方程 r 2 + 6r + 9 = 0 r1 = r2 = − 3
8-4 二阶微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
形如 y′′ + py′ + qy = 0 的二阶微分方程称为 二阶常系数线性齐次微分方程 。如 y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 例6:求 y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 的通解 分析: 解微分方程是求未知函数y,观察分析此题, 常见函数中什么函数的 y , y ′ , 是同 y ′′ 一类函数呢?联想到是ex类型, e 用待定法设 y=erx ,代入变形为
引例2:质量为M的物体,受重力作用自由下降,试求物体下 落的运动规律? 解 设所求运动规律为s=s (2 t ) ,根据导数的力学意义,未知 函数s=s ( t ) 应满足方程 d 2s = g (4)
dt
由于自由落体的初始位置和初始速度均为零,未知函数 s=s ( t )满足条件 s t =0 = 0, ds t =0 = 0
− 2k
于是温度函数为 H = 20 + 17 e −0.063t
8-3 微分方程应用(1)
精品课程
(2)作草图如下:
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
H
H=20+17e-0.063tt H=20+17e 063 37
dH = − k ( H − 20) dt
k >0
分离变量求解,得
H − 20 = Be− kt
37 − 20 = Be − k *0 = B 代入初始值(t=0时,H=37)求B,
于是H − 20 = 17e− kt 为了求K的值,我们根据两小时后尸 体温度为350C这一事实,有 35 − 20 = 17e −2 k 15 化简,取对数得 ln 17 = ln(e ) ,k ≈ 0.063
= e
1 2 +
3 2
i x
= e
x 2
3
e
2
ix
= e (cos
x 2
3 x + sin 2
3 x) 2
再根据该方程 C1 y1 + C2 y2 = y 的线性组合仍是解而 消去i )
8-4 二阶微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
《高等数学》 高等数学》
教学课件
第八章 微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
内容导航
什么是微分方程 分离变量法 微分方程的应用( 微分方程的应用(1) 二阶常系数线性微分方程 数学建模:微分方程应用( 数学建模:微分方程应用(2)
dx
此外还应满足条件 y x=1 = 2 把方程(1)两边积分,得 y = ∫ 2xdx 即 y = x 2 + C (C为任意常数) 把条件 y x=1 = 2 代入(2),得C=1 把 C=1代入(2)式,即得所求曲线方程
y = x2 +1
8-1 什么是微分方程
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
20 0 t
t→ (3)“最终趋势”指 ∞
,取极限
H = 20 + 17 e − 0 .063 t → 20 ( t → ∞ )
(4)求多长时间尸体温度达到300C,即 令H=30,代入得 30 = 20 + 17e
−0.063 t
10 , 17
= e
− 0 . 063
t
两边取自然对数得 − 0.531 = −0.063t 即t≈8.4 (小时) 于是,谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时 (即8小时24分),所以谋杀是在上午7点36分发生的。
1 dy = 2 xdx 2 y
dy = 2xy 2 dx
然后两边积分,得 ∫ 1 dy = ∫ 2 xdx y
2
于是 − 1 = x 2 + C y

y=−
1 ,其中C为任意常数, x2 + C
可以验证,函数 y = −
1 x2 + C
是方程的通解。
8-2 可分离变量法
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
8-3 微分方程应用(1)
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
解 (1)按冷却定律建立方程 温度变化率=a×温度差=a(H-20), 其中a为比例 常数,H 为尸体温度 dH 于是 dt = a( H − 20) 考虑a的正负号,如果温度差是 正的(即H>20)、则是H下降的,所以温度的变化 率就应是负的,因此a 应为负的,于是
dt
把方程(4)两边积分,得
ds = gt + C1 dt
相关文档
最新文档