《矢量分析》PPT课件

则定义： A(r ) dS
S
为矢量 A(r沿) 有向曲面S 的通量。
若S为闭合曲面
sA(r) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合 面S的矢量通量的代数和。
讨论：1）面元 定d义S ；
矢量场的通量
2） A(r) cos (r)ds s
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 b) 若 c) 若
电磁场与电磁波
第2版
绪论
1.课程的性质和任务. 2.电磁场与电磁波的概念. 3.课程内容和章节安排. 4.电磁场与电磁波的应用.
1.课程的性质和任务
“电磁场与电磁波”是高等学校电子信息类及 电气信息类专业本科生必修的一门技术基础课， 课程涵盖的内容是合格的电子、电气信息类专 业本科学生所应具备的知识结构的重要组成部 分。
3、矢量及表示 A eˆA A
单位矢量
二、矢量的代数运算 矢量的加法和减法 （平行四边形法则）
A B (Ax Bx ) ex (Ay By ) ey (Az Bz ) ez
A B (Ax Bx ) ex (Ay By ) ey (Az Bz ) ez
A
A B
AB
B
矢量的标积 （Scalar Product）
1) 在直角坐标系下：
rotF eˆxrotxF eˆyrotyF eˆzrotzF
eˆx
(
Fz y
Fy z
)
eˆy
(
Fx z
Fz x
)
eˆz
(
Fy x
Fx y
)
(eˆx
x
eˆy
y
eˆz
) z
eˆx Fx eˆy Fy eˆz Fz
2、圆柱坐标系
(eˆ
r
eˆ
1 r
eˆz
) z
ex ey ez rotF F
x y z Fx Fy Fz
4. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该 点处的漩涡源密度； 3) 点P 的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 4) 点P 的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。
5. 旋度的计算
4.电磁场与电磁波的应用
当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、 遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论 为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分 发挥其重要作用。下面我们来看一下一些常见的天线和馈线。
中、短波发射天线
微波接力天线
矢量
A
e
验2 证 e散z 2度z 定理。
1.4 矢量场的环流 旋度
1、矢量的环流 环流的定义：
在场矢量 空间F中，取一有向闭合路径 ，则称 沿 C积分的结果称F为矢C量 沿 的环流。即：
FC
CF dl
讨论：1）线元矢量 的定d义l ；
S nˆ S
P
A
C
环流的计算
2） F (r ) dl F (r ) cos (r )dl
卡塞格仑天线
MMDS—A型微波天线
MMDS—C型微波天线
对数周期天线
麦克斯韦方程组
电磁场与电磁波内容
介质中的第麦三克章斯韦方程
第矢一量章分析 电第场二、章磁场
第四章 矢量位与标量位
静第态五场章的解
D
D E
E
2
2 0
亥
唯一性定理
姆
B 0
E
B
H
J
t D
介质中传播
B H
B A
非导电介第质七中章的电磁波
霍 子 定 理
t
真 空 中
第电六磁章波
第一章 矢量分析
➢介绍矢量分析和场论基础。 ➢三种常用的正交坐标系 ➢散度、旋度和梯度的基本概念； ➢ 算符运算公式； ➢散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示。
➢讨论了拉普拉斯运算与格林定理，亥母霍兹定理
主要内容
r
x
y
z
eˆ eˆ sin eˆ cos
x
y
eˆ eˆ cos cos eˆ cos sin eˆ sin
x
y
z
1.3 矢量场的通量 散度
1、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场 的方向；
2、矢量场的通量
若矢量场 A(分r) 布于空间中，在空间中存在任意曲面S，
rotn F
lim
s0
C
s
ro表tnF示矢量场 在点FM处沿 方向nˆ的漩涡源密度；
3. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为 最大环量密度的方向。用 r表ot示nF，即：
F dl
rotF nˆ lim C s0 s
max
式中：nˆ表示矢量场旋度的方向；
在直角坐标系下
divFv1 s1 F dS1
divFv2 s2 F dS2
• • • )
n2
n1
vdivFdv sF dS
高斯公式
n1=-n2
sF dS VdivFdv V Fdv
式中s为v的外表面
• 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
【例题1.3.1】
在由 5, z 围0和 成z的圆4 柱形区域，对
在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化， 则将场称为时变场。而当描述场的物理量与时间无 关时，就将场称为静态场。
1.2 三种常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z）
方向单位矢量：
eˆx , eˆy , eˆz
位置矢量：
r x0eˆx y0eˆy z0eˆz
矢量表示：
A Axeˆx Ayeˆy Azeˆz
r
r
z
θ0 P(r0,θ0,ψ0)
O r0 ψ0
e
e
er
y
4、坐标变换
➢圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ
eˆ x
cos
eˆ y
sin
eˆ
eˆ x
sin
eˆ y
cos
eˆ eˆ
z
z
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sin cos eˆ sin sin eˆ cos
Bx By Bz
4、矢量代数公式（1）ΑFra bibliotekBC)
B
(C
A)
C
(A
B)
（2）
（3）
(A
B)C
A(B C )
（4） A (B C) ( A B) C
Α (Β C) (Α C)Β (Α B)C
三、 标量场与矢量场
场 标量场 矢量场
“场”是指某种物理量在空间的分布 具有标量特征的物理量在空间的分布 具有矢量特征的物理量在空间的分布
C
C
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反 之，则矢量场存在涡漩运动
反映矢量场漩涡源分布情况。
2. 环流面密度
S nˆ S M
在场矢量 F空间中，围绕空间某点M取一
面元S，其边界曲线为C，面元法线方向
C
A
为 ，nˆ当面元面积无限缩小时，可定义 在
F 点M处沿 方nˆ向的环量面密度
F dl
z
z0
O x0 x
A P(x0,y0,z0) ez
y0 y
ex
ey
任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量 ，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂 直并遵循右手螺旋法则，即
ex • ey＝＝e0z eyy • ez＝＝e0x ez •exx＝＝e0y
2、圆柱坐标系 ( ,, z )
方向单位矢量：
设
A ex Ax ey Ay ez Az B ex Bx ey By ez Bz
则
A B A B cos AxBx AyBy AzBz
为矢量 A 与矢量 B 之间的夹角
两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的 数量值 !
矢量的矢积 （Vector Product）
设
A ex Ax ey Ay ez Az B ex Bx ey By ez Bz
目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率 为 f 2 102 Hz ，其波长为地球半径的 5103倍，而
电磁波的最高频率为 f 1025 Hz ，它来自于宇宙的 射
线。为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长或频 率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱 无线电波 微波 红外线 可见光 紫外线 X射线 伽马射线
，闭合0面内有产生矢量线的正源； ，闭合0面内有吸收矢量线的负源； ，闭合0面无源。
3、矢量场的散度的定义
在场 空A间(r )中任意点M 处作一个闭合曲面，所 围的体积为 ，则定V义场矢量在M点处的散度为：
计算公式
divA(r) lim sA(r) dS
v0 v
divA
A
Ax x
Ay y
Az z
F 1 ( F ) 1 F Fz z
F
1
eˆx
eˆy
eˆz
z
F F Fz
3、在球坐标系
eˆr
r
eˆ
1 r
eˆ
1
r sin
F(r )
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
eˆr reˆ r sin eˆ
A
r2
1
sin
r
5、散度的计算
在直角坐标系下：
divF (r ) Fx Fy Fz x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
(Fxex
Fy e y
Fz ez
)
6、高斯公式(散度定理)
1
divF lim
F dS
v0 v s
divFv lim F dS v0 s
对于有限大体积v，可将其按 如图方式进行分割，对每一小体 积元有
ex x ey y ez z
4、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• A = 0 (无源） • A = 0 (正源) • A = 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源 密度；若矢量场中处处• A=0，称之为无源场。
可见光: 红 | 橙 | 黄 | 绿 | 蓝 | 靛 | 紫
电 磁 波 谱
注意 1. 由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波
长为几百千米（105米）的低频电磁波强度很弱， 通常不为人们注意。
2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米（频率为几百千 赫）开始： 波长3000米－50米（频率100千赫－6兆赫）的属于中波段； 波长50米－10米（频率6兆赫－30兆赫）的为短波； 波长10米－1厘米（频率30兆赫－3万兆赫）甚至达到1毫米 （频率为3×105兆赫）以下的为超短波（或微波）。
本课程将在“大学物理（电磁学）”的基础 上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基 本规律及其分析计算方法。通过课程的学习， 掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基 本的电磁场工程问题的能力.
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
1.2 电磁波谱
1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在
Ar rA r sin A
【例题1.4.1】
求合矢回量路场由（0，0）A和(（r) ）x之沿2eˆ间xx y的平一y面2段eˆ内y抛一物闭z线2合eˆz回路和C两的段线平积行分于，坐此标闭
则
A B en A B sin
为矢量 A 与矢量 B 之间的夹角
两矢量进行矢积后的结果仍为矢量
en为矢量A与矢量B所形成平面的法向单位矢量
注
A B ( AyBz Az By ) ex ( AzBx AxBz ) ey ( AxBy AyBx ) ez
上式可 记为
ex ey ez A B Ax Ay Az
有时按照波长的数量级大小也常出现米波，分米波，厘 米波，毫米波等名称。
中波和短波用于无线电广播和通信，微波用于电视和无 线电定位技术（雷达），
电 磁 波 谱 的 应 用 领 域 图 示
3.课程内容和章节安排
按教材顺序，课程包括11章。第一章矢量分 析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场 的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学基础。第 二章电场、磁场与麦克斯韦方程，基本理论以 及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦 克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量位 求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场 量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空 间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。 第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在 介质中传播特性。
eˆ , eˆ , eˆz
位置矢量：
r eˆ zeˆz
矢量表示：
x
A r
(
r
)eˆ
A (r )eˆ
A (r )eˆ
z
z
z
P0 z0 O
ψ0
P(p0,ψ0,z0)
ez
y
e e
3、球面坐标系 ( r, , )
方向单位矢量：
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
r reˆr
x
矢量表示：
A (r )eˆ A (r )eˆ A (r )eˆ
1.1 矢量代数运算 1.2 场论- 梯度、散度和旋度 1.3 散度定理和斯托克斯定理 1.4 矢量微分算子 1.5 矢量积分定理 1.6 亥母霍兹定理
1.1 矢量代数运算
一、矢量与标量
1、实数域内，任一代数量 都可以称为标量。它 只能表示该代数量的大小。
2、三维空间内某一点P处存在的一个既有大小又有 方向特性的量称为矢量。