对流扩散方程背景

对流扩散方程背景

提出一种隐格式用于解决二维时间依赖的Burgers型方程。迎风单边差分格式被用于对流项离散；对扩散项用二阶中心差分格式离散。我们建立了全隐的数值有限差分格式，分析了无条件稳定性和严格推导了收敛性，在空间是二阶收敛的和时间一阶收敛的。给出数值结果验证理论正确性。

关键词：隐格式，单边差分逼近，Burgers方程，稳定性，收敛阶

对流扩散方程背景

对流扩散方程描述黏性流体的动力学行为，这在许多工程应用中发挥了重要作用。对流占优型扩散方程一般具有对流比扩散的系数大得多的特点，通常数值模拟具有一定难度，因为一方面，扩散系数比传输速度小，并且在另一方面，由于数值扰动容易出现边界层现象。许多格式已用于这些问题的模拟，并有大量成功的数值方法[1-3]。通过离散方法来解决对流扩散问题时，一般运用标准Galerkin有限元方法求解，但此方法会导致非物理特征扰动。为了解决这类缺陷，几种稳定的有限元方法已经在[4]中被提出了。

我们感兴趣的是建立非耗散方法来克服数值扰动，并有鲁棒性和二阶精度，尤其是对Burgers问题。Burgers问题通常被认为非线性流体的流动和扰动的经典模型。在二维非线性的情况下，可以描述对流和扩散的现象，Burgers方程代表一种最基本的非线性模型方程。从一个数值格式出发研究是相当有趣的，因为Burgers已出现在众多的流体方程中[5-7]。并已经由霍普夫-科尔计算出多种组合的初始条件和边界条件下的结果[10,11]。此外，对于非线性Burgers方程的解析解也可以通过Homotop Perturbation法[12]得到。

众所周知，单独的选择一种基本差分格式如中心差分或者迎风格式，来计算纯对流式的方程，扩散项通常只是中心近似。而解决问题的关键在于对流方面构造稳定的离散结构来克服数值扰动。虽然单边差分近似格式已经被提出了30年之久[13]，人们却很少关注他们在计算流动问题。一阶或者二阶单边迎风有限差分

近似已经在[14]中用来分析双曲型偏微分方程的数值解，尤其在一维空间非线性守恒定律上。本文是二阶迎风差分近似非线性对流扩散问题[15]在二维空间的延伸。就像单边迎风格式，本文提出一种易于实现的格式，该格式是将高阶单边差分近似用于对流项和二阶中心差分近似用于扩散项，而非线性项在文中给予适当的离散形式。

如[11]，多维隐格式往往比显格式的数值结果更有效，归结于隐格式具有更高的稳定形式，尤其在解的精度要求更高的空间精度，而时间精度对解的影响较小。这就使得隐格式只需较少的数值计算复杂度就能得到应有的精确，要比显格式开销更小。然而在有限元求解和有限差分离散中，通过此方法计算的规模相比谱方法显得过于庞大。如果重新定义的网格，求解大型的线性或非线性方程组又都需要较高的计算成本。所以用大小不同的尺度来构造对流方程。

基于单边有限差分隐格式提出用于解决Burgers型方程。本文提出了数值格式，证明稳定性和先验误差估计。运用Matlab进行了多种尺度的数值模拟，绘制了

L阶收敛，并确认该格式是等高图表示了数值结果的稳定性，数值结果说明实验

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有较高的容错性和稳定性，能较好的逼近了Burgers方程的解析解。