构造地质学

smin
tmax
（7） （8）
②当a=90°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的 夹角)
结论: 在与外力平行的截面上, 存在最小主应力s2, 剪应力为零
在（7）中代入a=90° 5 cos2a＝－1 4 sa =s2 =smin 在（8）中代入a=90° 5 sin2a＝0 4 ta=0
(2) 求smax
（二） 应力状态和应力椭球体
1. 应力状态: 点的应力状态: 过物体中某一点的 各个不同方向截面上的应力情况 截取包含该点的一个小单元体,一 个正六面体来研究. 如单元体选择在六 个面上只有正应力的作用, 而无剪应力 的作用，这六个面上的正应力叫做主 应力。 若单元体六个截面上的三对主应 力的值都相等时, 称为等应力状态, 在 这种应力状态下, 物体只发生体积膨胀 或收缩的变化而不会产生形态变化(畸 变). 当单元体六个截面上的三对主应力不 都相等时, 单元体截面上存在最大主应 力s1, 中间主应力s2和最小主应力s3, 这种应力状态可导致物体形态变化(畸 变), 其中s1-s3 之值称为应力差。 微小单元体六个截面上的三对主 应力, 每对主应力作用方向线叫做主应 力轴, 主应力所作用的截面称为主应力 面或主平面
1. 单轴应力状态的二维应力分析 1) 平面上一矩形物体, 作用于物体上的外力为P1 , 内力为p1, 那么, 垂直于外力截面A0 上的主应力为: =p1/A0 （1） 2) 在与内力p1斜交的截面Aa上, 设其正应力为上sa, 剪应力为ta, 合应力为sA, 截面Aa 的法线与p1作用线之间的夹角为a , 则 =p1/Aa （2） 根据三角函数关系: 5 sa=sA cosa 并代入（2） 4 sa= p1 cosa/ Aa 由（2） 得p1 = s1 A0 代入∴ sa= s1 A0 cosa / Aa ,又 5 cosa = A0 /Aa ∴ sa= s1 cos2a （3） 2a可写成: 据倍角公式1＋ cos2 a ＝2 cos sa= s1(1+cos2 a ) / 2 （4） 剪应力 5 ta = p1 sina / (sA / cos a) 4 ta = s1cos a sina （5） 用倍角公式sin2 a ＝2 cos a sina 可写成： ta = s1 /2 sin2 a （6） （4）和（6）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力s1、正应力sa及剪应力ta的关系。
3. 应力的概念: 一物体受外力P 的作用, 物体内部产生与外力作用相 抗衡的附加内力p, 将物体沿 截面A切开, 取其中一部分, 此 时, 截面A 上的附加内力与外 力P 大小相等, 方向相反. 应 力 可定义为受力物体内任意 一截面单位面积上的附加内 力。
写为: s =P/A 应力的单位是帕斯卡(Pa) 或兆帕(MPa), 并规定, 挤压力 为“正”, 拉张力为“负”.
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
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tmax
（7） （8）
③当a=45°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹 角)
结论: 在与外力呈45°的截面上, 正应力为二主应力之和的一半, 剪应力为最大
在（7）中代入a=45° 5 cos2a＝0 4 sa = (s1 + s2)/2 在（8）中代入a=45° 5 sin2a/2 4 ta= tmax
第三章 构造研究中的应力分析基础
一、 应力
地壳中地质构造是地壳中的作用力达到和 超过岩石的强度极限或屈服极限, 岩石发生构造变 形而形成的, 所以, 地质构造的形成与力之间存在 着密切的依存关系. 要研究地质构造的成因, 形成 机制, 发展和组合规律, 就要研究力在地壳中的分 布规律, 活动规律, 变化规律, 时间和空间规律, 要 研究地质构造与作用力的之间的几何和空间关系, 从而由地质构造的特征去追溯地质历史时期作用 力的方式、方向和大小, 及其时空变化规律。
3. 一点的空间应力状态类型 (1) 三轴应力状态: 三个主应力均不为零的状态, 这是自然界最 普遍的一种应力状态 (2) 双轴应力状态: 一个主应力的值为零, 另外两个主应力的值 不为零的应力状态 (3) 单轴应力状态: 其中只有一个主应力的值不为零, 另外两个 主应力的值都等于零的应力状态 (4) 静水应力状态：三个主应力均不为零，但三个主应力相等 的应力状态。 (5)平面应力状态:中间主应力为零,另两个主应力不为零的应力 状态. (6)纯剪应力状态: 中间主应力为零, 另两个主应力的绝对值相 等的应力状态.
(1) 应力椭球体: 当物体内一点主应力性 质相同，大小不同, 即 s1>s2>s3时, 可以取三个主 应力的矢量为半径, 作一个 椭球体, 该椭球体代表作用 于该点的全应力状态, 称为 应力椭球体，其中长轴代表 最大主应力s1, 短轴代表最 小主应力s3, 中间轴代表中 间主应力s2
(2) 应力椭圆: 沿椭球体三个 主应力平面切割椭球 体, 可得三个椭圆, 叫 应力椭圆, 每一个应 力椭圆中有两个主应 力, 代表二维应力状 态. 这三个应力椭圆 分别为: s1与s2椭圆、 s1与s3椭圆、s2与s3 椭圆
一、 应力分析
（四） 图解法求应力-----应力摩尔圆
1. 应力摩尔圆的数学模型: 从双轴应力状态的应力公式 sa =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 ta= (s1 - s2) sin2a/2 可以看出, 当受力方式一定, 应力s 就成为角度a的函数, 为了得出应 力摩尔圆公式，先将公式中a消去. 为此移项得: sa - (s1 + s2)/2= (s1 - s2) cos2a /2 ta -0 = (s1 - s2) sin2a/2 等式两端平方得: [sa - (s1 + s2)/2]2 =[(s1 - s2) cos2a /2] 2 (ta -0 ) 2 = [(s1 - s2) sin2a/2] 2 公式二式相加得: [sa - (s1 + s2)/2]2 + (ta -0 ) 2 = [(s1 - s2) /2]2 比较圆数学方程 (x -a) 2 +(y -b) 2 =r 可知此即应力摩尔圆的 圆数学方程式。
2. 双轴应力状态的二维应力分析
已知双轴应力状态的应力公式
s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
（7） （8）
讨论: (1) 两个互相垂直截面Aa, Ab.上的应力: 先求Aa截面上的应力, 由公式公式（7） 和（8）可得: sa =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 ta= (s1 - s2) sin2a/2 同理可求Ab截面上的应力（b＝90+a） sb =(s1 + s2)/2-(s1 - s2) cosa /2 tb= -(s1 - s2) sin2a/2 由以上结果得: sa + sb= s1 + s2=常量 结论: 在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量, 且等 于二 主应力之和
4. 附加内力的分解 在物体内任意选取一个 与外力作用方向不相垂直的小 截面dF, 作用于截面dF 上的附 加内力为dP , 根据平行四边形 法则, 可将内力dP 分解为垂直 于截面dF 的分力dN , 及平行 于截面dF 的分力dT. 合应力: sf=dP/dF 正应力: 垂直于截面dF上 的应力 s=dN/dF 剪应力: 平行于截面dF 上 的应力 t=dT/dF 规定: 顺时针剪切为 “负”, 逆时针剪切为“正”
结论:
在距主应力面 45°的截面上(即 a=45°的截面上), 正应力等于主应力 的一半。剪应力值 也等于主应力的一 半，并且最大。在 两垂直的截面 （ α=45° 和α=-45° ） 上剪应力互等, 剪 切方向相反
主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (4) 当a=90° 时 ∵cos2 a ＝－1 ，sin2 a ＝0 4 s a= 0 ta = 0 结论: 在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力, 也无 剪应力
（一）有关力的一些概念 1. 外力的概念: 对于一个物体来说, 另一个物体施加于这个 物体的的力称为外力. 外力又可分为面力和体力两种类型: 面力: 通过接触面作用于物体的力 体力: 物体内每一个质点都受到的力, 它不通 过接触, 而是相隔一定的距离相互作用, 如太空星 球之间的吸引力, 物体的重力等
又由
结论:
ta= (s1 - s2) sin2a/2 tb= -(s1 - s2) sin2a/2 得 ta= -tb
两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相 等, 剪切方向相反, 这一关系称为剪应力互等定律
讨论: (2) 求smax
smin
tmax （7） （8）
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
（三）二维应力分析
前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用 方式是单向，相互垂直的双向或相互垂直的三向 外力划分的。无论什么方式的外力作用，地壳中 岩石的应力状态都是三维应力状态,只是 推导、计 算和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠加原理, 单轴应力分析方法是分析研究相互垂直的二轴和 三轴应力状态的基础。
（6） 已知应力摩尔圆圆周上的一个点, 找出该点在单元体中的对应截面
从单元体可以看出 ： 1）当在a=0°截面时, 对应的应力摩尔圆圆周上的A点,此时, E sa =s1 ， sa =smax, , ta=0 , 即在此截面上有最大主应力而无剪应力. 2）当在a=90°截面时, 对应的应力摩尔圆圆周上的B点,此时, sa =s2 sa =smin ,, ta=0 , 即在此截面上有最小主应力而无剪应力 ., 3）当在a=45°和a=135°截面时, 对应的应力摩尔圆圆周上最 高和最低点,此时, sa = (s1 + s2)/2 ，ta= (s1 - s2)/2 =tmax 和ta=- (s1 - s2)/2 =tmix,，即在此截面上有剪应力绝对值最大。
2. 应力摩尔圆的性质:
如以s为横坐标，t为纵坐标 （1） 圆心一定在横轴上, 圆心坐标为 ((s1 + s2)/2, 0) （2） 圆的半径为(s1 - s2) /2 （3） 单元体中截面角a, 应力圆上为2a （4）单元体上任何一截面都对应于摩尔应力圆圆周上的的一个点, 该截面上的一 组应力值即为圆周上对应点的一组坐标 （5）已知单元体上的一个截面, 求出该截面在应力摩尔圆圆周上的对应点.
角)
① 当a=0°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹
结论: 在与外力垂直的截面上, 存在最大主应力s1 , 剪应力为零, 即 没有剪应力
在（7）中代入a=0° 5 cos2a＝1 4 sa =s1 =smax 又在（8）中代入a=0° 5 sin2a＝0 4 ta=0
(2) 求smax
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
2. 内力的概念: 物体内部各部分之间的相互作用力叫内力 内力又可分为固有内力和附加内力两种类型: 固有内力: 一物体未受外力作用时, 其内部质 点之间存在的相互作用力, 这种相互作用力使各质 点处于相对平衡状态, 从而使物体保持一定的形状, 这种力称为物体的固有内力. 附加内力: 物体受到外力作用时, 其内部各质点的相对 位置发生了变化, 它们之间的相互作用力也发生了 变化, 这种物体内部内力的改变量称为附加内力
从上可得主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (1) 当a=0 时 ∵（4）中的 cos2 a ＝1 4 sa= s1
ta = s1(sin2 *0 )/2 4 ta= 0 结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 正应力最大，等于主应力。 结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 剪应力为零, 即无剪应力存在。
主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (2) 当a=45° 时 5 cos90＝0 4 sa= s1/2 5 sin90＝1 4 ta = s1 /2= tmax (3) 当a=-45° 时 sa= s1/2 ta = -s1 /2 = tmax