浙江省长兴县古城中学2019-2020学年中考数学模拟考试试题

浙江省长兴县古城中学2019-2020学年中考数学模拟考试试题
一、选择题
1．某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．1
2．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（ ） A.
12
B.
13
C.
23
D.
14
3．一个塑料袋丢弃在地上的面积约占0.023m 2
，如果100万个旅客每人丢一个塑料袋，那么会污染的最大面积用科学记数法表示是（ ） A ．2.3×104m 2
B ．2.3×106m 2
C ．2.3×103m 2
D ．2.3×10﹣2m 2
4．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）
A. B.
C. D.
5．在一次数学测试后，随机抽取八(1)班5名学生的成绩(单位：分)如下：80,98，98,83,91，关于这组数据的说法错误．．的是( ) A ．众数是98 B ．平均数是90 C ．中位数是91 D ．方差是56
6．下列整式的计算正确的是（ ） A ．2x ﹣x ＝1 B ．3x•2x＝6x C ．（﹣3x ）2
＝﹣9x 2
D ．（x 2
）3
＝（x 3
） 2
7．若代数式42
x -的值与0
(1)-互为相反数，则x =（ ） A ．1
B ．2
C ．2-
D ．4
8．不等式组30
2x x +>⎧⎨-≥-⎩
的整数解有（ ）
A ．0个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个 9．关于x 的一元二次方程(k-1)x 2
+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k 5<
B ．k 5<且k 1≠
C ．k 5≤
D ．k 5≤且k 1≠
10．已知ABC △，D 是AC 上一点，用尺规在AB 上确定一点E ，使ADE ∽ABC △，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C.
D.
11．16的平方根为（）
A．±4
B．±2
C．+4
D．2
12．某公司员工的月工资统计表如下，这个公司员工工资的中位数为（）
二、填空题
13．设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝_____．14．为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为________米．（注：反射角等于入射角）
15，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．
16．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依次规律，则点A8的坐标是_____．
17．计算(的结果等于__________．
18．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CO ＝2，则阴影部分的面积为_____．
三、解答题
19．如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 相交于点D ． （1）设弧BC 的长为m 1，弧OD 的长为m 2，求证：m 1＝2m 2；
（2）若BD 与⊙O 1相切，求证：BC ．
20．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．
（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为_____ ； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为_____ ；
（3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长。

21．(1)计算：(﹣1)8+24×(﹣2)﹣3 (2)化简：
2)1x x x 1
÷(1--+1
22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．点A 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，0）．一条抛物线214y x bx c =
++经过O ，A ，B 三点，直线AB 的表达式为1
52
y x =+，且与抛物线的对称轴交于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，求出面积S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF，在平移过程中，以A，D，Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．
23．如图1，直线1：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、点E，抛物线L：y＝ax2+bx+c经过点B、点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），并与直线l交于另一点D．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P为x轴上一动点
①如图2，过点P作x轴的垂线，与直线1交于点M，与抛物线L交于点N．当点P在点A、点B之间运动时，求四边形AMBN面积的最大值；
②连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标．
24．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
25．（初步认识）
（1）如图，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△MNO，连接AM、BM，
求证△AOM∽△BON．
（拓展延伸）
（2）如图，在等边△ABC中，点E在△ABC内部，且满足AE2＝BE2＋CE2，用直尺和圆规作出所有的点E （保留作图的痕迹，不写作法）．
【参考答案】***
一、选择题
13．4
14．4
15．3 5
16．（0，16）17．6
18．2 3
三、解答题
19．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OC，O1D，根据已知条件和圆心角与圆周角的关系可以得到弧BC，弧OD所对的弧的度数相同，根据弧长公式计算就可以证明结论；
（2）利用切线的性质和直径所对的圆周角是90°可以证明∠DAO1＝∠CBD，然后证明△ACB∽△BCD，再根据相似三角形对应边成比例得到BC2＝AC•CD，而OD⊥AC，据垂径定理知道D是AC的中点，这样就可以证明题目结论．
【详解】
解：（1）连接OC，O1D．
∵∠COB＝2∠CAB，∠DO1O＝2∠DAO，
∴∠COB＝∠DO1O
设∠COB的度数为n，
则∠DO1O的度数也为n，
设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，由题意得，R＝2r，
∴m1＝
2
180180
n R n r
ππ
=＝2m2．
（2）连接OD，
∵BD是⊙O1的切线，
∴BD⊥O1D．
∴∠BDO1＝90°．
而∴∠CBD+∠BDC＝90°，∠ADO1＝∠CBD，又∵∠DAO1＝∠ADO1，
∴∠DAO1＝∠CBD，
∴△ACB∽△BCD,
∴AC BC BC CD
=,
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO＝90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC＝2CD＝2AD．
∴BC2＝AC•CD＝2AD2，
∴BC．
【点睛】
此题主要利用了垂径定理，切线的性质定理，圆的弧长公式，利用它们构造相似三角形相似的条件，然后利用相似三角形的性质解决问题．
20．（1）（2，-3）；（2）（3,1）；（3）π
【解析】
【分析】
（1）利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解；
（2）利用点的平移规律求解；
（3）点C走过的路径为以点O为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，然后根据弧长公式计算点C走过的路径长；
【详解】
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标为（2，-3）；
（2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A2B2C2，则点B2的坐标为（3，1）；
（3）将△ABC绕O点顺时针方向旋转90°，则点C走过的路径长= 902
180
π´
=π；
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此
可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21．(1)-4；(2)11
x -. 【解析】 【分析】
(1)根据幂的运算性质以及二次根式的性质化简即可；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】
解：(1)
原式＝1124()8+⨯-＝1﹣3﹣2＝﹣4； (2)原式＝(1)(1)x x x +-÷1x x +＝(1)(1)x x x +-•1x x +＝1
1
x -．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（1）215
42
y x x =-
+；（2）当S 取得最大值16时，点P 的坐标为（6，6）；（3）以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，12-），E 2（15，5
2
-），E 3（
3111
24
,-），E 4（16，﹣3）． 【解析】 【分析】
（1）将点A 的坐标（10，0）．O （0，0）代入抛物线2
14
y x bx c =++，解出b ，c ，再代回，即可得抛物线的解析式；
（2）先将直线与抛物线解析式联立，解出点B 坐标，再设出点P 和点G 坐标，用相关点的横纵坐标表示线段长河高，从而可得面积的表达式，再从函数角度即可得解；
（3）利用勾股定理分别表示出AD 2，AQ 2，QD 2，再分AD ＝AQ ，AD ＝QD ，AQ ＝QD ，分别来求解，从而得点D 坐标，再将其横坐标加10，纵坐标不变即可得点E 的坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线2
14
y x bx c =
++经过O ，A ，B 三点，点A 的坐标为（10，0）．O （0，0）， ∴2
10101040b c
c ⎧=-⨯++⎪⎨⎪=⎩
∴520
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣
14x 2+5
2
x ．
（2）由21542
15
2
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得﹣14x 2+52x ＝152x -+，
∴x ＝2或x ＝10， ∴点B （2，4）．
如图2，作PC ⊥x 轴于C 点，交AB 于点G ， ∵动点P 在抛物线上，直线AB 的表达式为1
52
y x =-+， ∴设P （m ，﹣14m 2+5
2m ），G （m ，152
m -+）， ∴PG ＝﹣14
m 2
+3m ﹣5， ∴S ＝
12PG （x A ﹣x G ）+12PG （x G ﹣x B ）＝12（﹣14
m 2+3m ﹣5）（10﹣2）＝﹣m 2
+12m ﹣20＝﹣（m ﹣6）2
+16，
∴当m ＝6时，S 最大＝16， ∴P （6，6）
答：当S 取得最大值时点P 的坐标为（6，6）． （3）∵抛物线的对称轴为x ＝5，点Q 在直线1
52
y x =-+上， ∴Q 点坐标为（5，
52
），D 点在过O 点且平行于AB 的直线y ＝12x 上，设D （a ，1
2a -），
∴AD 2＝（10﹣a ）2+
14a 2，AQ 2＝25+254＝125
4，QD 2＝（a ﹣5）2+215()22
a -- ①当AD ＝AQ 时，（10﹣a ）2+14a 2＝125
4
，解得a 1＝11，a 2＝5， ∴D 1（11，1
2-），D 2（5，﹣52）； ∴E 1（21，1
2-
），E 2（15，-52
）； ②当AD ＝QD 时，（10﹣a ）2
+14a 2＝（a ﹣5）2
+
215()22
a --，解得a ＝112， ∴D 3（
112，114-），E 3（312，11
4
-）； ③当AQ ＝QD 时，1254＝（a ﹣5）2
+
215()22
a --，解得a ＝6， ∴D 4（6，﹣3），E 4（16，﹣3）
综上所述，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，1
2
-
），E 2（15，52-
），E 3（312，114
-），E 4（16，﹣3）．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直线与抛物线所形成的三角形面积的最大值问题、图形平移形成等腰三角形后相关点的坐标等问题，综合性比较强，难度较大． 23．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①S 四边形AMBN 最大值为252 ；②P 的坐标：P 13,05⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，P 2（﹣15，0）． 【解析】 【分析】
（1）先求出B 的坐标，再将A 、B 、C 坐标代入y ＝ax 2
+bx+c 列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据S 四边形AMBN ＝12AB•MN＝2
14[(1)(23)]2x x x ⨯-+-+-＝﹣2（x+32）2+252
，所以当x ＝﹣32时，S 四边形AMBN 最大值为
252
； ②先联立方程组．求出D 点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ；Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ． 【详解】
（1）∵y ＝﹣x+1， ∴B （1，0），
将A （﹣3，0）、C （0，﹣3），B （1，0）代入y ＝ax 2
+bx+c ，
9303
0a b c c a b c -+=⎧⎪
=-⎨⎪++=⎩， ∴123a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
∴抛物线L 的解析式：y ＝x 2
+2x ﹣3； （2）设P （x ，0）． ①S 四边形AMBN ＝1
2
AB•MN ＝
21
4[(1)(23)]2
x x x ⨯-+-+- ＝﹣2（x+32）2+252
， ∴当x ＝﹣
3
2时，S 四边形AMBN 最大值为252
； ②由2231y x x y x ⎧=+-⎨=-+⎩
，得1110x y =⎧⎨=⎩，224
5x y =-⎧⎨=⎩，
∴D （﹣4，5）， ∵y ＝﹣x+1，
∴E （0，1），B （1，0）， ∴OB ＝OE ， ∴∠OBD ＝45°．
∴BD ＝
∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），
∴OA ＝OC ，AC ＝AB ＝4． ∴∠OAC ＝45°，∴∠OBD ＝∠OAC ．
Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ．
∴
AP AC
AB BD
=，
∴
4AP =
， ∴12
5
AP =
， ∴P 13(,0)5
-
Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ． 过点A 作x 轴的垂线，交P 2C 于点K ，则∠CAK ＝∠CAP 1，又AC 公共边， ∴△CAK ≌△CAP 1（ASA ） ∴AK ＝AP 1＝
125， ∴K （﹣3，﹣
12
5
）， ∴直线CK ：1
35
y =-
-， ∴P 2（﹣15，0）．
P 的坐标：P 13(,0)5
-，P 2（﹣15，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的基本性质和相似三角形的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析；.
【解析】
【分析】
(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
【详解】
(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线，
∵CD切⊙O于点D，
∴BC＝CD；
(2)连接BD，
∵BC＝CD，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD•tan∠ABD
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用旋转的性质可也得到AO＝OM，BO＝ON，∠AOM＝∠BON＝90°，即可解答
（2）根据题意以AB,AC作为半径做圆，使得B,C两点落在圆上，点E在弧BC上（不包括B,C两点）【详解】
（1）证明：∵△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△MNO，
∴AO＝OM，
BO＝ON，
∠AOM＝∠BON＝90°．
∵AO MO BO NO
，
∴△AOM∽△BON．（2）画图正确
∴点E在弧BC上（不包括B,C两点）
理由要点：（1）将△ACE旋转60°；则∠FAE=60°，AE=AF=EF,EC=FB.
（2）∠BEC＝150°．则可得旋转后∠FBE=90°，则有FB2+EB2=EF2.
【点睛】
此题考查了三角形相似，图形的旋转，和尺规作图，解题关键在于熟练掌握相似三角形的证明。