第2节2011届高三数学一轮复习精品课件：命题及其关系、充分条件与必要条件

考点四 充要条件的证明
证明分为两个环节，一是充分 性；二是必要性．证明时，不要认 为它是推理过程的“双向书写”，而 应该进行由条件到结论，由结论到 条件的两次证明．
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例4 (解题示范)(本题满分12 分) 求证方程ax2＋2x＋1＝0 有且只有一个负数根的充要 条件为a≤0或a＝1 【思路点拨】 (1)注意讨论a的不同 取值情况； (2)利用根的判别式求a的取值范围．
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【名师点评】 判断一个语 句是否是命题，关键在于能否判 断其真假，一般地，陈述句、反 意疑问句是命题，而感叹句、祈 使句、疑问句都不是命题，含有 变量的语句叫开语句，不能判断 真假的开语句也不是命题．
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考点二
四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系 时，首先要分清命题的条件与结 论，再比较每个命题的条件与结 论之间的关系，要注意四种命题 关系的相对性，一旦一个命题定 为原命题，也就相应地有了它的 “逆命题”“否命题”和“逆否命题 ”．
q：(x-1)(y-2)=0.
思维启迪
首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断.
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解 （1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反 之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B.
故p是q的充要条件.
(2)四种命题间的关系
逆命题
否命题
逆否命题
(3)四种命题的真假关系 相同 ①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假 性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真 没有关系 假性________.

基础知识梳理
3．充要条件 (1)若p⇒q且q≠＞ p，则p是q的 充分不 必要 条件，q是p的 必要不充分 条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的 充分必要 条件，q 也是p的 充分必要 条件． (2)若A、B为两个集合，满足A⊆B， 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则p是q的 充分不必要 条件，q是p的 必要不充分 条 件；若A＝B，则p是q的充分必要 条件．
根．
【思路点拨】 写成“若p，则q”的形式→写出 逆命题、否命题、逆否命题→判断真假．
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【解】 (1)通过反意疑问句，对矩形 是平行四边形作出判断，是真命题． (2)疑问句，没有对垂直于同一直线的 两条直线平行作出判断，不是命题． (3)是命题，是假命题，1不是合数也不 是质数． (4)是命题，是假命题，没有考虑到必 须在同一个三角形中． (5)是命题，是假命题，若x＝ 2 ，y= - 2 (6)祈使句，不是命题．
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【证明】 充分性： 当a＝0时，方程变为2x＋1＝0， 1 其根为x＝－ ，方程只有一负根. 2分 2 当a＝1时， 方程为x2＋2x＋1＝0，其根为x＝－1， 方程只有一负根. 4分 当a＜0时，Δ＝4(1－a)＞0， 1 方程有两个不相等的根，且 ＜0，方 a 程有一正一负根. 6分
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【例3】指出下列命题中，p是q的什么条件 （在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、
“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B; (4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，
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例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题，并判断它们的真假． (1)面积相等的两个三角形是全等三角 形． (2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根． (3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零． (4)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
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【解】 (1)逆命题：全等三角 形的面积相等，真命题． 否命题：面积不相等的两个三 角形不是全等三角形，真命题． 逆否命题：两个不全等的三角 形的面积不相等，假命题．
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(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两 个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1， 所以m－2＝－(x1＋x2)－2 1 ＝－(x1＋ )－2 x1 x21＋2x1＋1 (x1＋1)2 ＝ ≥0,8分 － ＝－ x1 x1 所以m≥2. 综合(1)(2)知命题得证. 10分
另： (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均 为负，则有 x1 x2 1 所以m≥2. x1 x2 m 0
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必要性： 若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 当a＝0时，适合条件． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1， 8分 当a＝1时，方程有一负根x＝－1.
a＜1 若方程有且仅有一负根则 1 ， ＜0 a
∴a＜0. 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅 有一负根的充要条件为 a≤0或a＝1. 12分
三基能力强化
4．a＝1是直线y＝ax＋1与y ＝(a－2)x＋3垂直的________条 件． 答案：充要
三基能力强化
5．下列命题： ①若一个整数的末尾数字为0，则这 个整数能被5整除； ②奇函数的图象关于原点中心对称； ③矩形的对角线相等． 其逆否命题为真命题的序号为____． 答案：①②③
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(4)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都 是奇数，是假命题； 否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y 不是偶数，是假命题； 逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y 不都是奇数，是真命题．
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【名师点评】 (1)“都是”的否定是“ 不都是”，而不是“都不是”，因为“x、y不 都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”、“x 不是奇数y是奇数”、“x、y都不是奇数”三 种情况；(2)“x＝0或y＝0”的否定是“x≠0 且y≠0”，而不是“x≠0或y≠0”，因为“x＝0 或y＝0”包含“x＝0且y≠0”、“x≠0且y＝0”、 “x＝0且y＝0”三种情况．
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(2)逆命题：若方程x2＋2x ＋q＝0有实根，则q≤1，真命 题． 否命题：若q>1，则方程x2 ＋2x＋q＝0无实根，真命题． 逆否命题：若方程x2＋2x ＋q＝0无实根，则q>1，真命 题．
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(3)逆命题：若实数x，y全为 零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则实 数x，y不全为零，真命题． 逆否命题：若实数x，y不全 为零，则x2＋y2≠0，真命题．
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【思维总结】 (1)条件已知证 明结论成立是充分性．结论已知推 出条件成立是必要性； (2)证明时易出现必要性与充分 性混淆的情形，这就要分清哪是条 件，哪是结论．
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高考检阅 (本题满分10分)求证：关于x的方程x 2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2. 证明：(1)充分性：因为m≥2， 所以Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根． 设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知x1x2＝1＞0， 所以x1、x2同号． 又因为x1＋x2＝－m≤－2， 所以x1、x2同为负根. 4分
(2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p,
但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有
x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p q但q p,故p是q的充分不必要条件.
考点一 命题的判定
(1)判断命题的真假，可先写 出命题，分清条件与结论，直接 判断； (2)如果不易判断，可根据互 为逆否命题的两个命题是等价命 题来判断．
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例1 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真
假，并说明理由． (1)矩形难道不是平行四边形吗？ (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (3)一个数不是合数就是质数； (4)大角所对的边大于小角所对Leabharlann Baidu边； (5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数； (6)求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数
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考点三
充分条件与必要条件的判定
判断一个命题是另一个命题的什么 条件，关键是利用定义．如果p⇒q，则 p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命 题)成立，命题中的条件是充分的，也 可称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p 叫做q的必要条件，逆命题(或否命题) 成立，命题中的
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条件为必要的，也可称q是p的充分条件； 如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q， 则p叫做q的充分必要条件，简称充要条 件，原命题和逆命题(或逆否命题和否 命题)都成立，命题中的条件是充要 的．
三基能力强化
1．下列命题是假命题的是( ) A．若ac2>bc2，则a>b B．5≥3 C．若M＝N，则lnM＝lnN D．若sinα＝sinβ，则α＝β的逆命 题
答案：C
三基能力强化
2．(2009年高考湖南卷改编)对 于非零向量a、b，“a＋2b＝0”是“a ∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
失误与防范
1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论， 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.
2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方
向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.
第2课时 命题的四种形式、充要条件
基础知识梳理
1．命题 用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫作命题， 其中判断为真的语句叫作 真命题 ， 判断为假的语句叫作 假命题 ．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p，则q”， 则其逆命题是 若q，则p ； q 否命题是若┓p，则┓；逆否命题是若┓ q，则┓ .p
基础知识梳理
“否命题”与“命题的否定”有何 不同？ 【思考· 提示】 “否命题”与“命 题的否定”是两个不同的概念，如果 原命题是“若p，则q”，那么这个原 命题的否定是“若p，则非q”，即只 否定结论，而原命题的否命题是“若 ┓ p，则┓ q”，即既否定命题的条件， 又否定命题的结论．
基础知识梳理
三基能力强化
3．(教材习题改编)命题“若a2＋b2＝0，a， b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( ) A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0 B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0 C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0 答案：D
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探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分
析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题
的等价性，转化为判断它的等价命题.
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m2 4 0
综合(1)(2)知命题得证.
10分
规律方法总结
1．四种命题间的关系 在判断四种命题之间的关系时，首先 要分清命题的条件与结论，再比较每个命 题的条件与结论之间的关系，并注意四种 命题关系的相对性，一旦一个命题定为原 命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否 命题”和“逆否命题”． 2．命题中条件与大前提的关系 当一个命题有大前提而要写出其他三 种命题时，必须保留大前提，也就是大前 提不动；对于由多个并列条件组成的命题， 在写其他三种命题时，应把其中一个(或 多个)作为大前提．