2第二型曲线积分
空间第二类曲线积分积分法
空间第二类曲线积分积分法
空间第二类曲线积分（也称为“环路积分”或“曲线闭合积分”）是矢量场与封闭曲线之间的运算。
它在物理学和数学中有广泛的应用，例如电磁学、流体力学和热力学等领域。
空间第二类曲线积分的积分法可以通过以下步骤进行：
1. 确定曲线：首先需要明确要进行积分的曲线路径。
这条曲线通常是一个简单的封闭曲线，可以用参数方程表示：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t的取值范围为[a, b]。
2. 计算切向量和微元长度：计算曲线上每一点的切向量T(t)和微元长度ds。
切向量T(t)可通过对参数方程求导得到，微元长度ds可以通过对参数方程求导的模长来计算。
3. 构建矢量场：根据问题给出的矢量场F(x, y, z)构建对应的矢量场函数。
4. 计算积分：将矢量场F(x, y, z)与切向量T(t)进行点积，然后乘以微元长度ds，最后对参数t在[a, b]范围内进行积分。
具体计算公式如下：
∮ F · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · T(t) ds
其中，F(r(t))表示将矢量场F(x, y, z)代入到参数方程r(t)中得到的函数。
通过以上步骤，可以计算出空间第二类曲线积分的结果。
需要注意的是，在具体问题中可能需要特定的数学技巧和方法来简化计算或处理特殊情况。
第二类曲线积分定义式
第二类曲线积分定义式摘要：1.第二类曲线积分的概念2.第二类曲线积分的定义式3.第二类曲线积分的性质与应用正文：在数学中，曲线积分是一种对函数在曲线上的变化进行描述的方法。
根据积分路径的性质，曲线积分可分为两类：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
本文将介绍第二类曲线积分的定义式、性质及应用。
一、第二类曲线积分的概念第二类曲线积分是指在平面或空间中的曲线C上，对函数f(x,y,z)的积分。
它可以表示为：∫C f(x,y,z)ds其中，f(x,y,z)是定义在曲线C上的函数，ds表示曲线C上的微小弧长。
二、第二类曲线积分的定义式第二类曲线积分的定义式为：∫C f(x,y,z)ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t),z(t))|dx/dt|dt其中，a、b为曲线C的参数，t为参数变量，x(t)、y(t)、z(t)分别为曲线C上点的位置坐标，|dx/dt|表示速度矢量的模。
三、第二类曲线积分的性质与应用1.线性性质：第二类曲线积分具有线性性质，即若f1(x,y,z)、f2(x,y,z)为定义在曲线C上的函数，常数k、l为实数，则有：k∫C f1(x,y,z)ds + l∫C f2(x,y,z)ds = ∫C [kf1(x,y,z) + lf2(x,y,z)]ds2.代数性质：第二类曲线积分满足下列代数性质：(1) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C上的点坐标。
(2) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C关于坐标轴旋转得到的曲线坐标。
3.应用于物理、力学等领域：第二类曲线积分广泛应用于物理、力学等领域的求解问题，如求解质点在曲线路径上的位移、速度、加速度等物理量，以及求解曲线上的应力、应变等问题。
第二类曲线积分
分
λ0 i1
曲
线
注 1° 关于第二类曲线积分的几个术语
F(
x
,
y)
d
r
第二类曲线积分的向量形式
L
P( x, ( x, y)dx 对 x 的曲线积分;
L
Q(x, y)dy
对 y 的曲线积分.
L
2° 若 为空间曲线弧 ,
F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
解 直线AB为:
内容小结
1.
定义 F ( x, y) d r
L
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L
n
lim P(ξk , ηk ) xk Q(ξk , ηk ) yk ] λ0 i1
2. 性质 [α F 1( x, y) β F 2( x, y)] d r L
α F 1( x, y) d r β F 2( x, y) d r
(1)
2 当a b 时， 沿着L的方向移动时，参数 t 减少. d r r(t)d t
dt 0
故 d r 与r(t)方向相反，而与L的方向一致.
于是
d r ( e r ) d s
(2)
综合(1)、 (2)，得
d
r
e L
d
s
其中
eL
是与L同方向的单位切向量.
e L (cos , cos )
dx cos αds, dy cos ds,
ds 2(t) 2(t) dt
例1 将积分 P( x, y)dx Q( x, y)d y 化为对
L
弧长的积分, 其中L 沿上半圆周 x2 y2 2x 0
§2第二类曲线积分
§ 2 第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分,但在力学.物理等许多问题中,还常常用到另外一类曲线积分,叫做第二型曲线积分.一 第二型曲线积分的定义1 力场作功问题如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s ，那末这个常力所做功为 θcos s F W = 其中s F ,分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.设平面力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F = ，即力),(y x F 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y). 质点在力场作用下，沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n M M M M T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以i s ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长. i ni s T ∆=≤≤1max . b) 作和任取一点i i i i M M P 1),(-∈ηξ，由于有向线段),,().,(111i i i i i i y x M y x M ---在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,于是 ),(1i i i i y x M M ∆∆=-.从而力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈i i y x ∆∆,(）= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆c) 取极限于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x s P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη 当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定,都要求计算上述形式的和式上极限（参见本节附录）, 这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2 第二型曲线积分的定义（P202-203）设P,Q 为定义在平面有向可求长度的曲线（即光滑或分段光滑平面有向曲线）C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,i ni s T ∆=≤≤1max ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , n i ,,2,1 =.任取(j i ηξ,)∈i i M M 1-,若极限 i n i ii i n i i i T y s Q x s P ∆+∆∑∑==→110),(),(lim ηη存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为 ⎰cQdy Pdx + 或者⎰AB Qdy Pdx + （1） 或者 ⎰⎰+c c Qdy Pdx 或者⎰AB Qdy Pds AB ⎰+按这一定义 , 有 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰⋅=AB ds F W ⎰⎰+==ABAB Qdy Pdx dy dx Q P ),)(,(. 可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分. 若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为⎰⋅AB ds F dz z y x R dy z y x Q dx z y x P c),,(),,(),,(++=⎰ （4） .介绍有向闭路曲线积分的记法 ⎰cfds平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?(此时无所谓“起点”和”终点”)3 第二型曲线积分的性质（P204）(1)线性 设C 为有向曲线,⎰c fds ,⎰cgds 存在, 则 ,,R ∈∀βα则ds f f c )(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cc c gds fds ds f f βαβα)( (2)可加性 设⎰c fds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且 ⎰⎰⎰+=21c c c fds fds fds （3）第二类曲线积分与曲线C 的方向有关设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰c fds =-⎰c fds （⎰⎰-=BA AB ） （5）第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘积,它与曲线C 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.注1 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分 相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的 思想建立的积分. 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向 量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向 之间的夹角有关.二 第二型曲线积分的计算设L （AB ）为平面有向光滑或按段光滑曲线 , L :βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(或者αβ≤≤t 起点A ())( , )(αψαϕ, 终点B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L ( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+L dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. （6） 证明 略类似，设有空间有向光滑曲线C 的方程是X=x(t),Y=y(t),Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A 到点B 设当t=a 时对应点A ，t=b 对应点B(注意:a<b 或者a>b 均有可能出现);又设)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x f =, 那么dt t z t z t y t x R y t y t z t y t x Q t x t z t y t x P fds ba c )}())](),(),([)())](),(),([)())](),(),([{'''++=⎰⎰ （7） 注2 式中,必须注意定积分上,下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致,那下限对应于起点参数值,上限对应于终点的参数值.注3 曲线的自然方向:设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分 从点A 到点B 或闭合, 路径为 （P205）（1） 直线段AB（2） 抛物线1)1(22+-=x y ;（3） A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ), 折线闭合路径 .注4 此例表明, 第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关,而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点,但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分,积分值就不同),会不会有如下情形发生:积分只与起点和终点有关,而在积分路径无关?（参见例2） 从物理上讲有----重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的,到底需什么呢?以后在讲.例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L : （P206） （1） 沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（2） 沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（3） 沿折线闭合路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).例3 计算第二型曲线积分 I = ⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线bt z t a y t a x === , sin , cos , 从0=t 到π=t 的一段 . （P207） 例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,（1） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中L 1 : bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .（2） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. （P207）补例1 I=⎰+c dy x dx y 22 ;C:22a x + 22b y =1(y 0≥) ,方向：（-a,0）→(a,0). 补例2 I=⎰-cdy x xydx 22 ;C: 直线y=x,方向从原点到（０，０）附录（说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲） 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 设曲线AB 上点1-i M 处的切向量 B 为)sin , (cos αατ=, ( α是切向量方向与X 轴 i M 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 1-i M 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 n 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段⋂-i i M M 1上的流量 ds n v dE ) , (=. )cos , (sin )2sin( , )2cos(ααπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此 ,()=-⋅=||)cos , (sin ),( , ),(ds y x Q y x P dE αα ||cos ),(||sin ),(ds y x Q ds y x P ⋅-⋅=αα. 由 dx ds dy ds dy dx ds =⋅=⋅⇒=||cos , ||sin ), , (αα, 得 dx y x Q dy y x P dE ),(),(-=. 于是流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-==AB ABdx y x Q dy y x P dE E ),(),(.三 两类曲线积分的联系 （P208）作业 1（3）、（4）、（5），2。
数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。
第二类曲线积分奇偶性结论
第二类曲线积分奇偶性结论
1 积分奇偶性
积分奇偶性是积分计算中的一个重要的性质，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分之间的关系。
例如，已知函数f(x)，f(-x)是其变换函数，它们在积分计算中满足积分奇偶性，即：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(-x)dx$$
积分奇偶性可以被称为积分变换法，这种方法可以用来简化复杂的积分计算，减少所需的计算量和时间。
2 第二类曲线
第二类曲线指的是曲线沿着两个坐标轴的分布，其形状是以0，0点为原点和原线段为轴，形成以原点为顶点角，一致增大的两段弧线而构成的曲线。
形状如：。
第二类曲线是分析曲线在图形上比较常见的一种曲线，在积分学中可以将第二类曲线简单的看成是被约分成使被积函数恒等于0的两个部分，从而得到积分的结果。
3 第二类曲线积分奇偶性
第二类曲线积分奇偶性是积分计算中的一个重要概念，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分在第二类曲线范围内存在奇偶性。
具体来说，第二类曲线积分奇偶性的结论为：
给定函数 $f(x)$ 经过变换得到函数 $g(x)$，在给定第二类曲线
范围内有：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$$
从上面可以得出，第二类曲线积分奇偶性包括了一般积分奇偶性，但是在第二类曲线积分范围内，奇偶性结论更为明确，减少了变换所
需要进行的计算，为积分计算提供便利。
第二型曲线积分的对称性
第二型曲线积分的对称性
第二型曲线积分的对称性
1. 什么是第二型曲线积分？
第二型曲线积分是一种常见的数学方法，用于计算函数曲线上某一段不断变化的值。
曲线积分又称为曲面积或曲线下积分，是数学积分的一种，它的原理是将一个范围内的曲面拆分成等份，然后进行积分计算，从而获得此区域的面积。
2. 第二型曲线积分的对称性
第二型曲线积分有很多特性，其中之一就是具有对称性。
当一个函数有某种特殊的对称特性时，即它可以被分解为两部分，这两部分完全相同或一致，那么我们就可以利用第二型曲线积分的对称性来计算函数曲线上某一段不断变化的值。
以给定函数y=x^2为例，在x区间为[a,b]时，对称公式为：
积分结果=[1/3(b^3-a^3)]/2
也就是说，在[a,b]范围内，只需要计算(b-a)的三次方，根据给定的常数1/3乘以结果，就可以得出曲面积的结果。
3. 第二型曲线积分的应用
第二型曲线积分可以让我们更快捷、更准确地计算函数曲线上某一段不断变化的值，它被广泛应用于物理，化学，数学等诸多领域当中，帮助我们更精准的计算空间曲面的曲线积分。
综上，第二型曲线积分具有对称性，可以帮助我们更精确地计算出某一段区域的曲面积，它在物理、化学和数学等领域的应用极为广泛。
2 第二型曲线积分详细版.ppt
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
高等数学-第二类曲线积分
【例8-2】设有一平面力场F(x,y)=(x+y,y-x)，一质点在 F(x,y)作用下运动，求下列情形下F(x,y)所作的功．
（1）质点从点A(1,1)到点C(4,2)沿抛物线y2=x的一段弧；
（2）质点从点A(1,1)到点C(4,2) 的直线段；
（3）质点从点A(1,1)沿直线到点B(1,2)，再沿直线到点
注意 :
在第二类曲线积分中,L 是有方向的,
若 L 表示从 A 到 B 的方向, L 表示从 B 到 A的方向,
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
L
第二类曲线积分的计算
设
r
r
r
F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j (P(x, y),Q(x, y))
(1) 对 uuuuuuur
L
进行分割:Mi (xi , yi )(i
0,1,L
, n), si
M¼i 1M i的长度.
Mi1Mi (xi xi1, yi yi1) (xi , yi ). T m1iaxn {si}.
(2)
求和: 取 (i,ri ) M¼iu1uMuuiu,uuFrr (x, y) 在
曲线
L
:
x y
x(t) y(t)
,
且起点 A 对应 t ,终点 B 对应 t ,则
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
[P(x(t), y(t))x '(t) Q(x(t), y(t)) y '(t)]dt
【例8-1】计算曲线积分 I L xd y yd x ，L为椭圆周 x=acost，y=bsint上对应于t 从0到 的一段弧．
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分得计算定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上得函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=、记各个小弧段弧长为,分割得细度为,又设得分点得坐标为,并记, 、在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点得取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上得第二类曲线积分,记为或也可记作或注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:、(2) 倘若为光滑或分段光滑得空间有向连续曲线,,,为定义在上得函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线得第二类曲线积分,并记为按照这一定义, 有力场沿平面曲线从点到点所作得功为、第二类曲线积分得鲜明特征就是曲线得方向性、对二类曲线积分有,定积分就是第二类曲线积分中当曲线为轴上得线段时得特例、可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作得功、为空间曲线上得第二类曲线积分、与第一类曲线积分得区别首先要弄清楚两类积分得定义,简单地说,第一类曲线积分就就是第二类曲线积分就就是(1)这两种曲线积分得主要区别就在于,第一型曲线积分得积分中就是乘得,就是一小段弧得弧长,总就是正值;而第二类曲线积分与积分与中就是乘得一段弧得坐标得增量,,与就是可正可负得。
当积分得路径反向时,不变,而与反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分就是一样得。
计算曲线积分得基本方法就是利用得参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。
设曲线得参数方程为则第一类曲线积分得计算公式为这里要注意,即对t得定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。
这个问题在计算中也要特别注意。
沿曲线上得点由A 变到B,即t得下限对应曲线积分得起点A,她得上限对应曲线积分得起点A,t得上限对应终点B。
历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内得点M与第四象限内得点N,为L上从点M到点N得一段弧,则下列小于零得选项就是(A)(B)(C)(D)(2007,数一,4分) 【解析】设点,得坐标分别为,,则有题设可知答案为B。
第二类曲线积分与路径无关的条件
探究第二类曲线积分与路径无关的条件
第二类曲线积分又称为弧长积分，是一个沿曲线的长度积分。
对于一个向量场F，我们希望找到一个路径无关性条件，使得F沿一条从A到B的路径的积分等于F沿另一条路径的积分，从而简化积分的计算。
首先我们需要了解一个概念：保守场。
如果一个向量场F满足一定条件，那么F就是保守场，这意味着路径积分只与A、B两点的位置有关，即与路径无关。
具体而言，F是连续可微的，并且满足旋度为零的条件，即curl F=0。
这个条件表明，F的散度为零，即场的通量经过任意一个闭合曲面都等于零。
总之，保守场是第二类曲线积分与路径无关的条件之一。
另外一个条件是单连通域。
一个域是单连通的，当且仅当从该域中任意一点出发的任意路径都可以被连续地收缩为一个点。
单连通域的存在保证了积分的路径无关性。
具体来说，如果F定义在单连通域上，F满足连续和可微的条件，并且：
∮<sub>γ</sub>F·ds=0
对于该域中任意两点A、B以及连接它们的任意两条路径都成立。
当然，这个定理的证明需要一定的拓扑学知识，这里不再详细阐述。
综上所述，第二类曲线积分与路径无关的条件包括保守场和单连通域。
在实际问题中，我们需要根据给定的向量场和曲线来判断是否满足这些条件，以确保积分的计算是正确的。
第二型曲线积分格林公式课件
第二型曲线积分定义为在给定曲线L上，对标量函数f(x,y)进行积分， 即∫Lf(x,y)ds，其中ds是曲线L上任意两点间的弧长。
性质
总结词
第二型曲线积分具有可加性、对称性和绝对性等性质。
详细描述
可加性是指如果曲线L被分成n个小的弧段，则在每个小弧段上的积分等于整个曲 线上的积分；对称性是指如果曲线L关于某一直线对称，则在对称轴一侧的积分 等于另一侧的积分的相反数；绝对性是指对于任意实数k，有 ∫L(k×f(x,y))ds=k×∫Lf(x,y)ds。
第二型曲线积分格林公式课 件
目录
• 第二型曲线积分的定义与性质 • 格林公式及其性质 • 第二型曲线积分与格林公式的联系
目录
• 第二型曲线积分与格林公式的实例分 析
• 第二型曲线积分与格林公式的扩展与 应用
01
第二型曲线积分的定义与 性质
定义
01
总结词
02
详细描述
第二型曲线积分是通过在给定曲线上的积分来计算面积的方法。
02
格林公式及其性质
格林公式
总结词
格林公式是数学分析中的一个重要公式，用于计算第二型曲线积分。
详细描述
格林公式给出了一个封闭曲线上的第二型曲线积分与该曲线所围成的区域上的二重积分之间的关系。 它是由英国数学家格林在1838年提出的，是解决复杂积分问题的一个重要工具。
格林公式的性质
总结词
格林公式的性质包括线性性、可加性、对称性等。
在物理学中的应用
利用第二型曲线积分与格林公式的理论，解决物理中的电磁学、力学等问题。
在工程领域的应用
将第二型曲线积分与格林公式的理论应用到工程领域，如流体动力学、控制理 论等。
第二型曲线积分与格林公式的未来发展
第二型曲线积分格林公式
z 分割： 任取点列 Ao , A1, A2 ,An-1, An ，
把曲线段 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai
(i
1,2,,
n)
，第
i
段弧
⌒
Ai-1 Ai
A1
A2
的长度记为 si 。
A Ao
o
x
B An Ai-1 Ai
Mi
y
2
第五章 多元函数微分学及其应用
近似：
Mi
(i
,i
,
i
)
⌒
0
(6
30t
8t 2 )dt
-23
2
1
3
14
第五章 多元函数微分学及其应用
5、两类曲线积分之间的联系
∵单位切向量T
1
{dx, dy, dz} {cos ,cos ,cos }，
ds
∴ dx cos ds ， dy cosds， dz cosds 。
CATds C Pdx Qdy Rdz C (P cos Q cos R cos )ds
连续，则
C A( x, y, z) ds C Pdx Qdy Rdz
{P[x(t), y(t),z(t)]x(t) Q[x(t), y(t),z(t)]y(t)
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)]}dt
10
第五章 多元函数微分学及其应用
注（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x(t), y y(t) 时，
C
Pdx
Qd
y
D
(
Q x
-
P y
)d
x
dy
其中 C 是 D 的取正向的边界曲线。
第二型曲线积分 面积
第二型曲线积分与面积有关，具体来说，第二型曲线积分可以用来计算曲线的面积。
在数学中，第二型曲线积分定义为：
∫ Pdx+Qdy
其中P和Q是关于x和y的函数，且满足一定的条件。
当P和Q满足条件时，第二型曲线积分可以用来计算曲线的面积。
具体来说，对于一个简单的曲线C，其方程为y=f(x)，那么曲线C的面积可以由以下公式计算：
∫ (f(x)-0)dx
其中∫ (f(x)-0)dx表示从0积分到f(x)的值。
这个公式实际上就是第二型曲线积分的定义。
因此，第二型曲线积分可以用来计算曲线的面积，但需要注意的是，只有当P和Q满足一定的条件时，第二型曲线积分才与面积有关。
第二类曲线积分定义式
第二类曲线积分定义式摘要：一、第二类曲线积分的定义二、第二类曲线积分的性质三、第二类曲线积分的计算方法四、第二类曲线积分的应用示例正文：一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分，又称为曲面积分，是一种在空间曲线上的积分。
它对曲线上的矢量场进行积分，得到的结果是该曲线所包围的曲面的面积分。
第二类曲线积分的定义如下：设空间曲线C 由参数方程x = x(t), y = y(t), z = z(t) 表示，其中t 在[a, b] 上变化，曲面积分S 由矢量场F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) 定义，则第二类曲线积分可表示为：∫(C)F·dS = ∫[a, b]∫(C)F·(x/t × y/t × z/t) dtds其中，×表示向量叉乘，dtds 表示在曲线上的微小面积元。
二、第二类曲线积分的性质1.线性性：若F = (P, Q, R) 和G = (P", Q", R")，则∫(C)F·dS + ∫(C)G·dS = ∫(C)(F + G)·dS。
2.保号性：当曲线C 位于矢量场F 的正半轴或负半轴时，∫(C)F·dS 为正值；当曲线C 位于矢量场F 的零方向时，∫(C)F·dS 为零。
3.分部积分：∫(C)F·dS = ∫(C)d(F·ds) - ∫(C)ds·d(F·ds)。
三、第二类曲线积分的计算方法1.用参数方程直接积分：将曲线C 的参数方程代入矢量场F 和面积元dtds，得到关于参数t 的积分，然后求解该积分。
2.转换为第一类曲线积分：将曲线C 的参数方程转换为直角坐标方程，将矢量场F 表示为直角坐标系下的向量，然后使用第一类曲线积分进行计算。
3.斯托克斯定理：利用斯托克斯定理将第二类曲线积分转换为第一类曲线积分，再利用定积分的性质进行计算。
第二类曲线积分计算公式
第二类曲线积分计算公式曲线积分是数学中的一种重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种类型，其中第二类曲线积分是较为复杂的一种。
本文将介绍第二类曲线积分的计算公式及其应用。
一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是指沿着给定曲线进行积分，积分函数为一个向量场。
具体来说，设曲线C为一条光滑曲线，向量场F为一个连续可微函数，那么曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫CF·ds其中，ds表示曲线C上的线元，F·ds表示向量F与ds的点积。
二、第二类曲线积分的计算公式计算第二类曲线积分的方法有很多种，其中最常用的方法是格林公式。
格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的方法，其公式为：∫CF·ds = D(Q/x - P/y)dA其中，D表示曲线C所包围的区域，P和Q为向量场F的两个分量。
格林公式的应用需要满足一定的条件，即向量场F在D内是连续可微的。
如果F在D内不满足这个条件，那么可以通过对D进行分割，将其分成若干个小区域，在每个小区域内应用格林公式，最后将结果相加得到整个区域D上的曲线积分。
三、第二类曲线积分的应用第二类曲线积分在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，电场的环量可以用第二类曲线积分来表示。
在机械工程中，曲线积分可以用来计算沿着曲线的力的功，以及液体沿着管道流动的工作量。
在计算机科学中，曲线积分可以用来计算图像的边缘。
四、结语第二类曲线积分是数学中的一个重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文介绍了第二类曲线积分的定义、计算公式及其应用。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以获得准确的结果。
第二型曲线积分
u u ( x x, y ) u ( x, y ) ( A C ) P d x Q d y ( A B ) P d x Q d y
x ( B C ) P d x Q d y x x P ( x , y ) d x P ( x x, y ) x u 其中 0 1 . 故 lim lim P ( x x , y ) P ( x, y ) . x 0 x x 0 即 u x P ( x, y ) . 同理可得 u y Q ( x , y ) .
I L (e y x ) d x ( x e y 2 y ) d y , 其中 例 1. 求
x 2 2 y 2 4 , 沿顺时针方向。 L 是椭圆
解： 记 P e x , Q x
故 I 0.
1 1 据已知 I u ( B ) u ( A) cos ( 2 π ) cos ( π ) 1 . 2 2
作业： P 134
2. ( 1 ) ( 4 ) ;
P 135
9. ( 1 ) ( 2 ) .
2 2
令 u ( x , y ) (0, 0) P d x Q d y
( x, y)
x 0 2
2 xd sin x x 2 sin y ) d y y sin x x cos y , 则 d u P d x Q d y .
y x 0 (2 y 2
故方程通解为
例 3. 验证在整个 x o y 面内，x y d x x y d y 是某函数的 全微分，并求此函数。
2 2
P Q 解： 记 P x y , Q x y , 则 2x y y x 在整个x o y 面内成立。 因此 P d x Q d y 是某个函数的 全微分。 它的原函数为：
第二型曲线积分计算公式
第二型曲线积分计算公式在我们学习高等数学的旅程中，第二型曲线积分计算公式可是一个相当重要的家伙。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。
先来说说这第二型曲线积分到底是啥。
想象一下，你在一个弯弯曲曲的小路上跑步，每跑一段，你所感受到的力都不太一样。
而第二型曲线积分就是要计算在这样的曲线路径上，力所做的功。
比如说，有一个力 F = (x, y)，而曲线 C 是由参数方程 x = t^2，y = t^3 给出的，从 t = 0 到 t = 1 。
那这时候，咱们的第二型曲线积分计算公式就派上用场啦！它的公式是这样的：∫_C Pdx + Qdy = ∫(α→β) [P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t)]dt 。
这里面的 P 和 Q 是力在 x 和 y 方向上的分量，x'(t) 和 y'(t) 则是曲线参数方程的导数。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体的例子感受感受。
有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个同学就一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“假设你是个勤劳的小蚂蚁，要沿着一根弯弯曲曲的树枝搬运食物。
你每前进一小段，都要克服不同方向和大小的阻力。
那你想知道自己总共花费了多少力气吗？这时候就得靠咱们的第二型曲线积分计算公式啦！”然后我们就一起做了一道题。
假设曲线 C 是由 x = cos(t)，y = sin(t) 给出的，从 t = 0 到t = π/2 ，力 F = (y, -x) 。
按照公式，先求出 x'(t) = -sin(t) ，y'(t) = cos(t) ，然后代入公式计算：∫_C Pdx + Qdy = ∫(0→π/2) [sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))cos(t)]dt= ∫(0→π/2) (-sin^2(t) - cos^2(t))dt= -∫(0→π/2) 1 dt= -π/2同学们恍然大悟，原来这个公式能这么清楚地算出小蚂蚁花费的力气呀！再深入想想，第二型曲线积分计算公式在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
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且 LP(x,y)d xQ (x,y)dy {P[(t) ,(t)](t)Q [(t) ,(t) ](t)d } t
证明: 下面先证
LP(x,y)dxP[(t) , (t)](t)dt
n
根据定义
P(x,
L
y)dxl im 0i1P(i ,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i , 点(i,i)对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1)(i)ti
n
LP(x,y)dxl i0m i1P[(i),(i)](i)ti
因为L 为光滑弧 , 所以 (t)连续
A M1
i
i
i ) x i Q ( i ,i ) y i . o
x
求和 WnW inF (i,i)ri 近似值
i1
i1
n
[P (i, i) x i Q (i, i) y i].
A B
A B A B
其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分 力所作的功之和或差。
3)如果L分 把成 L1和 L2,则
Fdr Fdr Fdr.
L
L1
L2
4) L是与 L方向相反的有, 向 则曲线弧
F d r F d r
L
L
积分路径相反，则第二型曲线积分变号。
n
l i0m i1P[(i),(i)](i)ti P[(t) , (t)](t)dt 同理可证 LQ(x,y)dyQ[(t) , (t)](t)dt
则有限和的 F(极 x,y)沿 限曲 值L从 线 为A到B的
第二型曲线积分，记作
n
l i0im 1F (i,
i) r iLF (x,y)dr
向量形式
上式也可以写成
LP (x,y)d xQ (x,y)dy
坐标形式
物理意义： 变F 力 (x,y)沿曲 L从 A 线 到对质点所
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
Lf(x,y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
Fri. Apr. 28 §2 第二型曲线积分
第二型曲线积分的概念与性质 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的关系
定理： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L上 线连 弧 续时 , 第二类曲线.积分存在
第二型曲线积分与曲线的方向有关。
三维空间的第二型曲线积分：
对向量场 F ( x , y , z ) { P ( x , y , z ) Q ( x , y , , z ) R ( x , y , , z )}
续,
L的参数
方程为xy
(t), 当参数t单调地由变 (t),
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
Mi1Mi Mi1Mi
点(i ,i
)(,i做r1i数,,2i ,量 1,积 ,2nF,,(M,iin,1,Mi任)i的 取rMi长i记 1M为i上si一 .
求和， i n1F (得 i,i) ri，令 m 1ina{xsi}0，
一 第二型曲线积分的概念与性质
y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
L:A B ,
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
M2
F ( x ,y ) { P ( x ,y ) Q ( x ,,y )}A M1
常力所作的功
o W F A.B
x
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
当封闭曲线的方向后确，定该封闭曲线上第
二型曲线积分的值点与的起位置无关，记作：
F dr
L
规定：当 L 为封闭曲线时，规定 L 的
正向为：当沿封闭曲线行走时，
如果闭曲线所围成的区域总在
人的左侧，则人前进的方向为
正向。
二 第二型曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
3. 计算
• 对光滑曲线弧 L : x ( t ) , y ( t ) , ( t ) ,
Lf(x,y)ds
f[(t) , (t)]
2(t)2(t)dt
• 对光滑曲线弧 L : y ( x ) ( a x b ) ,
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
i 1
n
取极限 W l 0 ii 1 m [P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
精确值
1 概念
定义 设L为xoy面内从点A到点B的一条有
向光滑曲线弧 , 函数F {P(x, y), Q(x, y)}在
L上有界. 将L任意分割成n个有向小弧段
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
y
取 F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i ) j ,
F(i,i)
M
W i F (i,i) M i 1 M i,
y
L Mi1 x i M2
定义第二型曲线积分：
F d r P d Q x d Rydz
2 性质
1 ) k F d r kF d r
A B
A B
2 ) [ F ( x , y ) Q ( x , y ) d r ] F d r Q d r