高等数学-极限存在准则与两个重要极限

x 0
1 sin x 1 lim sin x 1 lim lim x 0 x 0 cos x x x 0 x cos x
1
解: 原式 = lim
x0
2 x 2 sin 2 2
x
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
1 2 2 1 机动 目录 上页 下页
x
1 tan x 2
sin x x 1
cos x
注
(0 x ) 2
注
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 求 解: lim 例3. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 原式 lim 例4. 求
t
sin t t
t 0 sin t
tan x x
(1 n1 1)
n 1
n
1 n1 1
n n
e
n
lim (1 1 )
n
lim [(1 1 ) （ 1） e 1 ]
n n
x
lim (1 1 ) e
x
x
当
时, 令 x t , 也可证明。
例5. 求
解: 令 t x , 则
由定理 1 知
不存在 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 函数极限存在的两边夹准则
定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x) f (x) h( x) , 且
( x X 0)
x x0 ( x )

lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
机动
目录
上页
下页
Baidu Nhomakorabea
返回
结束
二、 两个重要极限
B D
1
o C A
x
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 则有
1 sin 2
第六节
第一章
极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及两边夹准则 二、两个重要极限
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
且
( xn )
有 lim f ( xn ) A .
作业
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)
第七节 目录
上页
下页
返回
结束
x
x
1 1 sin 1 x lim (1 sin x ) x
x sin
1 x
e
机动
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 法1 找一个数列 xn : xn x0 , 且 xn x0 ( n )
n
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n
的不同数列 xn 及 xn , 使
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
或
注: 代表相同的表达式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
思考与练习 填空题 ( 1～4 )
1. 3.
x
lim
sin x x
_____ ; 1 x ____ ;
2. 4.
x
lim x sin 1
1 x
n
____ ;
lim x sin
x 0
lim (1 ) ____ ; n n
使 lim f ( xn ) 不存在 .
n
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn , 使
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 两个重要极限
2
返回
结束
2. 说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
1 z
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
1 n ) n 1
(1
1 x ) x
(1
1 n 1 ) n
n
lim (1
1 n ) n 1 n 1
lim
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn 1 2n
1 xn 1 xn
及 xn
1 2n 2
(n 1, 2 ,)
有
n
lim sin
lim sin 2n 0
n
n
lim sin
lim sin(2n ) 1 2
n
t
lim (1 1)
t
t
lim
1
t
( x)
说明 ：若利用 lim (1 (1x ) )
( x )
e, 则
原式 lim
x
(1
1 x ) x

1
e
1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6*. 求
解:
lim (1 sin 1 ) 原式 x