函数展开成幂级数

n →∞
证明 先证必要性．设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数，即
f ′′(x0 ) (x f(x)=f (x0)+f ′(x0)(xx0) + ( x x0 ) 2 + 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n + ． + n! 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x)，其中sn+1(x)是f(x)
∞
| x | n +1 的一般项 (n + 1)!
eξ | x | n +1 x n +1 | < e | x| ， |R n(x)| =| ( n + 1)! ( n + 1)!
| x | n +1 而 lim ，所以 lim |R n(x)|=0，从而有展开式 ， =0， n → ∞ ( n + 1)! n→∞ 1 1 e x=1+x+ x2+ + xn+ (∞<x<+∞)． 2! n!
§11．4 函数展开成幂级数 ．
一、泰勒级数
泰勒级数、定理、麦克劳林级数 展开式的唯一性
二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数的步骤 函数ex 的幂级数展开 函数sin x 的幂级数展开 求幂级数展开式的间接展开法 幂级数展开式小结
一、泰勒级数
本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样 一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 f(x)． 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内 能展开成幂级数．
f ( n ) ( x0 ) (xx0) n +R n(x) ， + n!
其中
f ( n ) (ξ ) Rn (x)= (xx0) n+1， n! 这里ξ是x0与x 之间的某个值．
泰勒级数： 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f ′(x)，f ′′(x)， ， f (n)(x )， ，则当n→∞时，f(x)在点x0的泰勒多项式
解 因为 f (n)(x)=sin(x + n
π
) (n=1, 2, )， ，所以 f (n)(0)顺序循
对于任何有限的数x、ξ (ξ介于0与x之间)，有
(n + 1)π sin[ξ + ] | x | n +1 2 x n +1 | ≤ |R n(x)| =| →0 (n →∞)． (n + 1)! (n + 1)! 因此得展开式 1 1 3 1 5 n1 x 2 n 1 + (∞<x<+∞)． sin x = x x + x + (1) (2n 1)! 3! 5!
x 1 x 1 收敛域的确定：由1< <1 和1< <1 得1<x<3． 2 4
幂级数展开式小结
1 =1+x+x2+ +xn + (1<x<1)， 1 x 1 2 1 n x e =1+x+ x + + x + (∞<x<+∞)． 2! n! 1 1 3 1 5 n1 x 2 n 1 + (∞<x<+∞)． sin x = x x + x + (1) (2n 1)! 3! 5! 1 1 2 1 4 n x 2 n + (∞<x<+∞)． cos x =1 x + x + (1) (1) (∞< <+∞) =1 (2n)! 2! 4! x2 x3 x4 x n +1 ln(1+x) =x + + +(1)n + (1<x≤1)． 2 3 4 n +1 m(m 1) 2 m (1+ x) =1+ mx + x + 2! m(m 1) (m n + 1) n x + (1<x<1)． + n!
例 4 将函数 f(x) =
解 因为
1 展开成 x 的幂级数． 2 1+ x
1 =1+x+x2+ +xn + (1<x<1)， 1 x
把x换成x2，得
1 =1x2+x4 +(1)nx2n (1<x<1)． 1+ x2
例5 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数．
函数sin x 的幂级数展开： 例2 将函数f(x)=sin x 展开成x的幂级数．
2 环地取0，1，0，1， (n=0, 1, 2, 3, )，于是得级数 1 1 1 x 2 n 1 + ， x x3 + x5 + (1)n1 ( 2n 1)! 3! 5! 它的收敛半径为R=+∞．
函数ex 的幂级数展开： 例1 将函数f(x)=ex 展开成x的幂级数． 解 因为f (n)(x)=e x (n=1, 2, )，所以f (n)(0)=1(n=1, 2, )． 于是得级数
1 2 1 x + + xn+ ， 2! n!
1+x+
它的收敛半径R=+∞．
收敛级数 ∑ n 对于任何有限的数x、ξ (ξ介于0与x之间)，有=0
复习泰勒中值定理： 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)的 阶导数，则当x 在(a，b)内时，f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多 项式与一个余项Rn(x)之和：
f ′′( x0 ) f (x) = f(x0)+ f ′(x0)(xx0)+ (xx0) 2 + 2!
lim Rn(x)=0 (x∈ U(x0))．
n →∞
证明 再证充分性．设R n(x)→0(n→∞)对一切x∈U(x0)成立． 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+R n(x)，于是 sn+1(x)=f(x)R n(x)→f(x) (n→∞) ， 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛，并且收敛于f(x)．
此级数称为f(x)的麦克劳林级数．
展开式的唯一性： 如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这种展式是唯一的，它一 定与f(x)的麦克劳林级数一致． 事实上，如果f(x)在点x0=0的某邻域(R, R)内有幂级数展式 f(x)=a0+a1 x +a2 x2 + an xn + ， 那么必有 f ′(x)=a1+2a2x+3a3x2+ nanxn1+ ， f ′′(x)=2!a2+32a3x+ n(n1)anxn2 + ， f ′′′(x)=3!a3+ n(n1)(n2)anxn3 + ， f (n)(x)= n!an + (n+1)n(n1) 2an+1x + ， 把 x=0代入以上各式，得
m
(1<x<1)．
例 7 将函数 f(x)=sin x 展开成(x
解 因为
π
4
)的幂级数．
2 π π sin x =sin [ +(x )] = [ cos(x )+ sin(x )]， 2 4 4 4 4
并且有
1 π 2 1 π 4 cos(x ) =1 (x ) + (x ) (∞<x<+∞)， 4! 4 2! 4 4 π π 1 π 3 1 π 5 sin(x ) =(x ) (x ) + (x ) (∞<x<+∞)． 5! 4 4 3! 4 4
二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数的步骤： 第一步 求 f ′(x)，f ′′(x)， ，f (n)(x)， ． 第二步 求 f ′(0)，f ′′(0)， ，f (n)(0)， ． 第三步 写出幂级数 f ( n ) (0) n f ′′(0) 2 x + ， f(0)+f ′(0)x + x ++ 2! n! n! 并求出收敛半径R． 第四步 考察当x在区间(R，R)内时余项的极限 f ( n +1) (ξ ) n＋1 lim Rn(x)= lim x n →∞ n →∞ ( n + 1)! 是否为零． 如果为零，则在区间(R，R)内有 f ( n ) (0) n f ′′(0) 2 x + f (x)= f(0)+f ′(0)x + x ++ 2! n!
f ( n ) ( x0 ) f ′′( x 0 ) pn(x) =f (x0)+f ′(x0)(xx0) + ( x x0 ) n ( x x0 ) 2 + + n! 2!
成为幂级数
f ( n ) ( x0 ) f ′′( x 0 ) f (x0)+f ′(x0)(xx0) + ( x x0 ) n + ， ( x x0 ) 2 + + 2! n! 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数． 显然，当x=x0时，f(x)的泰 勒级数收敛于f(x0)．
的泰勒级数的前n+1项的和，又在U(x0)内有sn+1(x)→ f(x)(n→∞)． 于是Rn(x)= f(x) sn+1(x)→0(n→∞)．这就证明了条件是必要的．
定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在 该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的 余项Rn(x)当n→∞时的极限为零，即
上述展开式对x=1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x=1 时收敛，而ln(1+x)在x=1处有定义且连续．
例6 将函数f(x)=(1+ x)m 展开成x的幂级数，其中m为任意常数． 展开结果：
m(m 1) 2 (1+ x) =1+ mx + x + 2! m(m 1) (m n + 1) n x + + n!
麦克劳林级数： 在泰勒级数
f ( n ) ( x0 ) f ′′( x 0 ) f (x0)+f ′(x0)(xx0) + ( x x0 ) n + ( x x0 ) 2 + + 2! n!
中取x0=0，得
f ( n ) (0) n f ′′(0) 2 x + ， f(0)+f ′(0)x + x ++ 2! n!
f ( n ) (0) f ′′(0) a0=f(0)，a1=f ′(0)，a2= ， ，a n = ， 2! n!
．
应注意的问题： 如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是f(x)的麦克 劳林级数．但是，反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻 域内收敛，它却不一定收敛于f(x)．因此，如果f(x)在点x0=0处具 有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个级数是 否在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察．
需回答的问题： 除了x=x0外，f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛，它是否一 定收敛于f(x)?
定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在 该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的 余项Rn(x)当n→∞时的极限为零，即
lim Rn(x)=0 (x∈ U(x0))．
π
π
π
所以
2 π 1 π 1 π [1+(x ) (x )2 (x )3+ ] (∞<x<+∞)． 2 4 2! 4 3! 4 1 3 1 54 2 n1 1 1 2 n cos x = x x + x + (1) n x x +x2 n 1 (∞<x<+∞)． ． + (∞<x<+∞) + (1) sin x =1 ( 22n 1)! 2! 4! ( n )! 3 5!
sin x =
源自文库
例 8 将函数 f(x) =
解 因为
1 展开成(x1)的幂级数． 2 x + 4x + 3
1 1 1 1 = = f(x) = 2 x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) 2(1 + x) 2(3 + x) 1 1 ， = x 1 x 1 4(1 + ) 8(1 + ) 2 4 x 1 n 1 ∞ 1 ∞ n n x 1 n ) ∑ (1) ( ) = ∑ (1) ( 4 n =0 2 8 n =0 4 ∞ 1 1 n = ∑ (1) ( n + 2 2 n + 3 )(x1)n (1<x<3)． 2 2 n =0
1 解 因为 f ′(x)= ， 1+ x
∞ 1 而 是收敛的等比级数 ∑ (1)nxn(1<x<1)的和函数： 1+ x n =0
1 =1x+x2x3+ +(1)n xn + (1<x<1)， 1+ x
所以交上式从0到x逐项积分，得
x2 x3 x4 x n +1 ln(1+x) =x ) + + +(1)n + (1<x≤1)． 2 3 4 n +1
求幂级数展开式的间接展开法： 例3 将函数f(x)=cos x 展开成x的幂级数． 解 已知
1 1 3 1 5 n1 x 2 n 1 + (∞<x<+∞)． sin x = x x + x + (1) ( 2n 1)! 3! 5!
对上式两边求导得
1 1 2 1 4 n x 2 n + (∞<x<+∞)． cos x =1 x + x + (1) (2n)! 2! 4!